Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser des schémas vectoriels pour représenter les résultantes de grandeurs vectorielles combinées et les composantes de vecteurs.
Imaginez un pilote qui veut voler vers le nord, alors qu’il décolle dans un vent de travers qui souffle de façon stable vers l’ouest. Représentés sous forme de flèches sur un schéma, le vecteur vitesse de l’avion et le vecteur vitesse du vent pourraient ressembler à ce qui suit.
C’est ce qu’on appelle un schéma vectoriel. Sur les schémas vectoriels, tous les espaces de la grille sont de taille égale, et leurs largeurs et hauteurs représentent une certaine grandeur physique en fonction des vecteurs affichés. En général, les vecteurs de toute grandeur peuvent être représentés sur un schéma vectoriel : accélération, déplacement, force, etc.
L’une des raisons pour lesquelles les schémas vectoriels sont utiles est qu’ils nous permettent d’ajouter des vecteurs graphiquement. Nous faisons cela en utilisant la méthode du bout à bout : en plaçant la pointe d’un premier vecteur à la queue d’un seconde, de sorte que le vecteur dessiné de la queue du premier au bout du second est la résultante.
Dans le schéma ci-dessus, pour déterminer la somme des deux vecteurs, on peut faire une translation du vecteur vitesse du vent de sorte que sa queue chevauche la pointe du vecteur vitesse de l’avion, comme suit.
La somme des vecteurs donne un vecteur (en vert) pointant directement vers le nord.
Notez que les vecteurs peuvent être combinés en utilisant cette méthode même lorsque le type de vecteur sur un schéma donné n’est pas défini.
Exemple 1: Déterminer la résultante de vecteurs sur un schéma vectoriel
Quelques vecteurs sont tracés à l’échelle sur une grille. De quelle couleur est la résultante des vecteurs noirs et ?
- bleu
- jaune
- rouge
- vert
Réponse
Comme tous les objets illustrés sur ce schéma sont des flèches, nous savons que chacun d’eux représente un vecteur. On peut additionner les vecteurs et en utilisant la méthode du bout à bout.
Cela implique soit de faire glisser le vecteur de sorte que sa queue est située à la pointe du vecteur soit de déplacer le vecteur de sorte que sa queue est à la pointe de . Si l’on choisit la deuxième approche et décalons le vecteur , cela ressemblera à ce qui suit.
Un vecteur de la queue de à la pointe de est représenté par le vecteur rouge. Notre réponse est le choix C.
Une autre façon dont les schémas vectoriels sont utiles est qu’ils nous permettent de calculer en fonction des composantes des vecteurs. Disons qu’un vecteur est tracé sur un schéma vectoriel, comme indiqué ci-dessous.
Le schéma nous permet de déterminer la longueur en cases des composantes horizontale et verticale de , comme suit.
Si nous connaissons également l’échelle à laquelle le schéma est tracé, nous pourrons calculer la longueur des deux composantes. Les connaissant, nous pouvons également déterminer la longueur du vecteur d’origine, dans ce cas .
Exemple 2: Déterminer la longueur d’un vecteur sur un schéma vectoriel
Quelques vecteurs sont tracés à l’échelle de la règle sur un quadrillage. Les côtés des carrés font 1 cm de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant, mesurée au centimètre près ?
Réponse
Sur ce schéma vectoriel, nous voyons la pointe du vecteur bleu rencontrer la queue du vecteur vert. Cela signifie qu’un vecteur de la queue du bleu à la pointe du vert est leur résultante, ou somme. Le vecteur rouge est cette résultante.
Étant donné que le vecteur vert est purement vertical sans composante horizontale, et que le vecteur bleu est purement horizontal, nous pouvons les considérer comme les composantes du vecteur rouge.
La règle graduée au centimètre sur le schéma nous indique que chaque carré de la grille à une hauteur de 1 centimètre. Par conséquent, si nous comptons le nombre de carré correspondant à la hauteur du vecteur, nous connaîtrons sa hauteur en centimètres, comme indiqué ci-dessous.
Étant donné que les espaces de la grille sont carrés, chacun a également une largeur de 1 centimètre. On peut utiliser la même méthode de comptage pour déterminer la longueur du vecteur bleu, comme suit.
Les vecteurs vert et bleu forment les côtés d’un triangle rectangle, le vecteur rouge étant l’hypoténuse.
Plutôt que de calculer la longueur du vecteur rouge, nous voulons la mesurer en utilisant notre échelle en centimètre. Nous pouvons commencer à le faire en utilisant une règle que nous alignons parallèlement au vecteur rouge et marquons à la queue et à la pointe du vecteur, comme indiqué ci-dessous.
La distance entre ces deux marques est égale à la longueur du vecteur rouge. Nous pouvons mesurer cette distance en tournant notre règle de sorte qu’elle s’aligne parallèlement à l’échelle de la règle, comme suit.
La distance entre les marques sur notre règle est légèrement supérieure à 12 cm.
Au centimètre près, la longueur du vecteur rouge est de 12 cm.
Une autre utilisation des schémas vectoriels nous permet de résoudre l’angle formé par un vecteur donné et l’une de ses composantes. Nous le faisons en utilisant un outil appelé rapporteur, illustré ci-dessous.
Ce rapporteur a des angles marqués de 0 à 180 degrés, tous les 1 degré.
Étant donné un angle comme celui ci-dessus, nous pouvons le mesurer en positionnant son sommet à l’origine du rapporteur (indiqué ici par le signe plus) et en alignant un bras de l’angle avec le graduation zéro degré comme suit.
Nous pouvons utiliser une approche similaire pour mesurer les angles dans des schémas vectoriels. Plus précisément, nous cherchons à mesurer l’angle formé par un vecteur et l’une de ses composantes tracés sur un schéma vectoriel.
Exemple 3: Mesure d’un angle à l’aide d’un rapporteur
Certains vecteurs sont tracés à l’échelle sur une grille carrée. Le vecteur vert est la composante verticale du vecteur rouge. Le vecteur bleu est la composante horizontale du vecteur rouge. Quel est l’angle entre le vecteur rouge et sa composante horizontale ?
Réponse
On nous dit dans l’énoncé que les vecteurs vert et bleu sont des composantes du vecteur rouge.
Nous voulons déterminer l’angle formé par le vecteur rouge et sa composante horizontale, qui est le vecteur bleu. Notez que notre rapporteur est déjà placé de sorte qu’un bras de l’angle à mesurer s’aligne avec la graduation zéro degré du rapporteur et le sommet de l’angle est à l’origine du rapporteur.
Par conséquent, nous lisons à partir de la marque du zéro degré jusqu’à l’endroit où la ligne rouge traverse les marques les plus fines.
L’angle en noir, indiqué par la flèche, ci-dessus, est ce que nous cherchons à mesurer. On voit que cet angle est supérieur à 50 degrés et inférieur à 60 degrés. Pour discerner sa mesure au degré près, nous nous concentrons sur la région du rapporteur encerclée. Ici, chaque ligne représente une différence de 1 degré d’angle.
La ligne rouge traverse ces marques deux lignes au-delà des 130 degrés. Il s’agit d’une échelle de mesure différente de celle dont nous nous servons, mais notez que 130 degrés sur cette échelle externe correspond à 50 degrés sur l’échelle interne dont nous nous servons.
L’angle que nous mesurons alors est au-delà de 50 degrés. L’angle formé par le vecteur rouge et sa composante horizontale est 52 degrés.
Points clés
- Les schémas vectoriels représentent des vecteurs de tout type sur une grille.
- Étant donné que les espaces définis sur la grille dans un schéma vectoriel sont de taille égale, nous pouvons nous en servir pour identifier et mesurer les composantes perpendiculaires d’un vecteur.
- Deux vecteurs ou plus peuvent être ajoutés sur un schéma vectoriel en appliquant la méthode du bout à bout.
- L’angle entre un vecteur et l’une de ses composantes peut être mesuré à l’aide d’un rapporteur.
