Video Transcript
Étant donné 𝑧 égal à la racine carrée de trois sur deux moins trois sur deux fois 𝑖, déterminez 𝑧 puissance cinq, en donnant ta réponse sous forme exponentielle.
Cette question nous donne un nombre complexe 𝑧 sous forme algébrique. Nous devons calculer 𝑧 puissance cinq et donner la réponse sous forme exponentielle. Pour ce faire, rappelons d’abord ce qu’est la forme exponentielle d’un nombre complexe. C’est la forme 𝑟 fois 𝑒 puissance 𝑖𝜃, où 𝑟 est le module du nombre complexe et 𝜃 son argument. Il faut écrire 𝑧 à la puissance cinq sous cette forme. Pour ce faire, rappelons un résultat sur les puissances entières des nombres complexes sous forme exponentielle. Nous savons que pour tout entier 𝑛, 𝑟 fois 𝑒 puissance 𝑖𝜃 le tout puissance 𝑛 est égal à 𝑟 puissance 𝑛 fois 𝑒 puissance 𝑖𝑛𝜃. Il s’agit d’une application du théorème de Moivre, où 𝑟𝑒 puissance 𝑖𝜃 est un nombre complexe écrit sous forme exponentielle.
Puisque l’exposant cinq est un entier, on peut utiliser cette formule pour répondre à la question. Il nous suffit d’écrire 𝑧 sous forme exponentielle. Pour écrire un nombre complexe sous forme exponentielle, il faut trouver son module et son argument. Commençons par trouver le module de 𝑧. Rappelons que le module d’un nombre complexe est la racine carrée de la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire. Et on trouve ces valeurs dans l’énoncé. La partie réelle de 𝑧 est racine de trois sur deux, et la partie imaginaire de 𝑧 est moins trois sur deux. Donc, le module de 𝑧 est la racine carrée de la racine de trois sur deux le tout au carré plus moins trois sur deux le tout au carré. Simplifions cela. Racine de trois sur deux le tout au carré est égal à trois sur quatre, et moins trois sur deux au carré est égale à neuf sur quatre. On va ensuite simplement calculer cette expression. Trois quarts plus neuf quarts égal douze quarts, ce qui donne trois. Le module de 𝑧 est donc la racine carrée de trois.
Ainsi, racine carrée de trois est la valeur de 𝑟 dans la forme exponentielle de 𝑧. Mais il nous reste à trouver l’argument de 𝑧. Pour trouver l’argument de 𝑧, on remarque tout d’abord que la partie réelle de 𝑧 est positive et la partie imaginaire de 𝑧 est négative, ce qui veut dire que 𝑧 se situe dans le quatrième quadrant du plan d’Argand. Cela nous permet alors de trouver la valeur de 𝜃, l’argument de 𝑧. Rappelons que tout nombre complexe situé dans le premier ou quatrième quadrant, son argument 𝜃 est la tangente inverse de sa partie imaginaire divisée par sa partie réelle. Donc, dans notre cas, 𝜃 la tangente inverse de moins trois sur deux divisé par la racine de trois sur deux.
Calculons cette expression. Commençons par simplifier par le facteur commun un demi au numérateur et au dénominateur. Cela donne la tangente inverse de moins trois sur racine de trois. On peut simplifier cela en rendant rationnel le dénominateur. On obtient la tangente inverse de moins trois racine de trois sur trois. Ensuite, simplifions par le facteur commun trois au numérateur et au dénominateur. On obtient la tangente inverse de moins racine carrée de trois, ce qui est égal à moins 𝜋 sur trois. On a donc trouvé le module de 𝑧 et l’argument de 𝑧. Ce qui va nous servir à écrire 𝑧 sous forme exponentielle. 𝑧 est égale à racine de trois 𝑒 puissance moins 𝑖 𝜋 sur trois.
Avec ce résultat, nous sommes prêts à calculer 𝑧 puissance cinq. Tout d’abord, élevons chaque côté de cette expression à la puissance cinq. Ensuite, comme l’exposant cinq est un entier, on peut utiliser notre formule pour distribuer l’exposant à l’intérieur des parenthèses. On obtient racine de trois puissance cinq multipliée par 𝑒 puissance moins 𝑖 fois cinq 𝜋 sur trois. On peut alors calculer cette expression. Premièrement, racine de trois puissance cinq est la racine de trois puissance quatre multipliée par racine de trois, ce qui est égal à neuf racine de trois. Ce qui répond à notre question. Mais on peut simplifier ceci légèrement. Appelons 𝜃 un l’argument de ce nombre, il s’agit du coefficient de 𝑖 dans l’exposant. C’est moins cinq 𝜋 sur trois. Rappelez-vous qu’on peut ajouter et retrancher des multiples entiers de deux 𝜋 à l’argument. Cela donne un argument équivalent pour ce nombre. Cela nous donne alors 𝜋 sur trois.
On a donc trouvé la forme exponentielle de 𝑧 puissance cinq. C’est neuf racine de trois multiplié par 𝑒 puissance 𝜋 sur trois fois 𝑖.
