Vidéo : Théorème de De Moivre

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer le théorème de Moivre pour simplifier le processus de recherche des puissances et des racines des nombres complexes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser le théorème de Moivre pour simplifier les puissances et les racines des nombres complexes. Nous allons apprendre ce que dit le théorème et regarder d’où il vient avant d’utiliser le théorème de De Moivre pour résoudre des problèmes impliquant des puissances et des racines, y compris ceux impliquant d’autres opérations sur des nombres complexes.

Le théorème de de Moivre nous permet d’évaluer très rapidement les puissances d’un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. Nous savons qu’un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique peut également être exprimé sous forme exponentielle comme 𝑟𝑒 au 𝑖𝜃. Nous allons élever chaque côté de cette équation à la puissance d’une valeur entière. Appelons cela 𝑛. On peut donc dire que 𝑟𝑒 au 𝑖𝜃 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 tous à la puissance 𝑛.

Puisque 𝑛 est une valeur entière, nous pouvons réécrire le côté gauche de cette équation comme 𝑟 à la puissance 𝑛 fois 𝑒 à la puissance 𝑖𝑛𝜃. Mais cela signifie en fait que nous pouvons réécrire le côté droit en utilisant la formule d’Euler. Et nous obtenons 𝑟 à la puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. Et c’est le théorème de De Moivre. Pour une valeur entière de 𝑛, 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 à la puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃.

Il est important de réaliser que ce n’est pas une preuve stricte du théorème de Moivre et qu’une preuve formelle vient d’une compréhension plus approfondie de la forme exponentielle d’un nombre complexe. Cependant, comme mentionné précédemment, ce théorème peut nous permettre d’évaluer facilement les puissances d’un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Simplifiez la racine carrée de cinq fois cos trois 𝜋 par 14 plus 𝑖 sin de trois 𝜋 par 14 à la puissance sept fois racine trois multipliée par cos de cinq 𝜋 par 22 plus 𝑖 sin de cinq 𝜋 par 22 à la puissance 11.

Dans cette question, nous avons le produit de deux nombres complexes qui sont tous deux écrits sous forme trigonométrique. Pour les simplifier, nous devrons utiliser le théorème de Moivre pour nous aider à évaluer les puissances de chaque nombre complexe avant de trouver leur produit. Rappelez-vous que ce théorème dit que pour les valeurs entières de 𝑛, un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique élevé à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 à la puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. Utilisons-le pour évaluer notre premier nombre complexe à la puissance sept.

Pour ce nombre, 𝑟 est racine cinq et 𝜃 est trois 𝜋 par 14. Nous pouvons alors réécrire ceci comme racine cinq à la puissance sept fois cos de sept multiplié par trois 𝜋 par 14 plus 𝑖 sin de sept multiplié par trois 𝜋 par 14. Nous pouvons simplifier cela et nous voyons que le premier nombre complexe élevé à la puissance sept est 125 racine cinq fois cos de trois 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin de trois 𝜋 sur deux. De même, pour notre deuxième nombre complexe, nous élevons le module qui est racine trois à la puissance 11. Et nous obtenons 243 racine trois. Et nous multiplions l’argument — c’est cinq 𝜋 par 22 par 11 — et cela nous donne cinq 𝜋 sur deux.

Notre dernière étape consiste à trouver le produit de ces deux nombres complexes. Pour multiplier des nombres complexes, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments. 125 racine cinq multipliée par 243 racine trois est 30375 racine 15. Et si nous ajoutons leurs arguments, nous obtenons quatre 𝜋 et nous pouvons voir que notre nombre complexe peut être exprimé comme 30375 racine 15 fois cos quatre 𝜋 plus 𝑖 sin quatre 𝜋. En fait, nous pouvons simplifier cela un peu plus loin puisque cos de quatre 𝜋 est un et sin de quatre 𝜋 est zéro. Notre réponse finale est donc 30375 racine 15.

Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment utiliser le théorème de Moivre pour simplifier le quotient des puissances des nombres complexes.

Simplifie 18 fois moins 𝑖 plus un à la puissance 39 divisé par 𝑖 plus un à la puissance 41.

Ici, nous avons le quotient de deux nombres complexes individuellement élevés à la puissance 39 et 41. Nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour les évaluer uniquement lorsqu’ils sont sous forme trigonométrique ou exponentielle. Commençons donc par écrire 𝑖 plus moins un et 𝑖 plus un sous forme trigonométrique. Pour ce faire, nous devons connaître la valeur de leurs modules et arguments. Le module est assez simple. Nous calculons la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires de ce nombre.

Ainsi, le module moins 𝑖 plus un est la racine carrée de un carré plus moins un au carré qui est la racine deux. De même, pour 𝑖 plus un, c’est aussi la racine deux. Mais qu’en est-il de leurs arguments ? Nous les examinerons individuellement. Moins 𝑖 plus un a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative. Il doit donc se situer dans le quatrième quadrant. On peut donc trouver son argument en utilisant la formule l’arctan de l’imaginaire divisé par la partie réelle. C’est l’arctan de moins un divisé par un qui est moins 𝜋 sur quatre.

𝑖 plus un se trouve dans le premier quadrant. On peut donc utiliser la même formule. C’est l’arctan d’un divisé par un qui est 𝜋 sur quatre. Et nous pouvons voir que nos deux nombres complexes sont écrits sous forme trigonométrique. Je les ai replacés dans notre fraction. Ce que nous allons devoir faire ensuite est d’évaluer le nombre complexe en haut à la puissance 39 et celui en bas à la puissance 41.

En utilisant le théorème de Moivre, au numérateur, nous avons la racine carrée de deux à la puissance 39 fois cos 39 multipliée par moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 39 multiplié par moins 𝜋 sur quatre. Et sur le dénominateur, le module est racine de deux à la puissance 41 et l’argument est 41 fois 𝜋 sur quatre. Nous n’avons pas encore besoin de les évaluer. Au lieu de cela, nous rappelons le fait que pour diviser deux nombres complexes sous forme trigonométrique, nous divisons leurs modules et soustrayons leurs arguments.

En divisant leurs modules et nous voyons que nous nous retrouvons avec 18 sur la racine deux au carré, ce qui est neuf. Ensuite, en soustrayant leurs arguments, nous obtenons un argument de moins 20𝜋. Maintenant, cos de moins 20𝜋 est un et sin de moins 20𝜋 est zéro. Il nous reste donc neuf.

Maintenant, vous avez probablement remarqué que nous pouvons généraliser les propriétés du module et de l’argument aux puissances entières de 𝑛. Pour un nombre complexe 𝑧 et des valeurs entières de 𝑛, le module de 𝑧 à la puissance 𝑛 est le même que le module de 𝑧 à la puissance 𝑛. Et l’argument de 𝑧 à la puissance 𝑛 est le même que 𝑛 fois l’argument de 𝑧.

Et en fait, il est également utile de savoir que nous pouvons généraliser le théorème de Moivre pour un nombre complexe et son conjugué. Nous n’avons pas le temps de démontrer d’où cela vient dans cette vidéo. Mais il est utile de savoir que pour le conjugué de 𝑧, qui est désigné ici par 𝑧 étoile, le conjugué de 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal au conjugué de 𝑧 à la puissance 𝑛. Cette formule peut être très utile pour nous aider à résoudre des problèmes où nous pourrions ne pas vouloir utiliser pleinement le théorème de De Moivre. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Étant donné que 𝑧 est égal à la racine trois moins 𝑖 à la puissance 𝑛 et que le module de 𝑧 est égal à 32, déterminez l’argument principal de 𝑧.

L’argument principal de 𝑧 est la valeur de 𝜃 telle que 𝜃 est supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. Pour répondre à cette question, nous allons rappeler les propriétés du module. Nous savons que le module de 𝑧 est égal à 32. Nous pouvons donc dire que le module de racine trois moins 𝑖 à la puissance 𝑛 est égal à 32. En utilisant les propriétés du module, nous pouvons réécrire ceci. Et nous pouvons dire que le module de racine trois moins 𝑖 tout à la puissance 𝑛 est égal à 32.

Le module de la racine trois moins 𝑖 est la racine carrée de la racine trois au carré plus moins un au carré. Et c’est tout simplement deux. On peut alors dire que deux à la puissance 𝑛 est égal à 32. Et nous savons que deux à la puissance cinq est 32. Donc 𝑛 doit être égal à cinq. Nous pouvons maintenant réécrire notre nombre complexe en tant que racine trois moins 𝑖 tous à la puissance cinq. On rappelle alors la règle selon laquelle l’argument de 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois l’argument de 𝑧. Cela signifie que l’argument de 𝑧 ou l’argument de la racine trois moins 𝑖 à la puissance cinq est cinq fois l’argument de la racine trois moins 𝑖.

Maintenant, la racine trois moins 𝑖 se trouve dans le quatrième quadrant lorsqu’elle est tracée sur le diagramme d’Argand. Et c’est parce que sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative. Et nous pouvons trouver l’argument de la racine trois moins 𝑖 en utilisant la formule l’arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. C’est arctan de moins un sur racine trois. C’est moins 𝜋 sur six. Ainsi, nous pouvons voir que l’argument de 𝑧 est multiplié par moins cinq 𝜋 sur six qui est moins cinq 𝜋 sur six. Cela répond aux critères d’être inférieur ou égal à 𝜋 et supérieur ou égal à moins 𝜋. Nous avons donc trouvé l’argument principal de 𝑧. C’est moins cinq 𝜋 sur six.

Pour notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser le théorème de de Moivre pour trouver des racines. Le théorème de De Moivre pour les racines dit que pour un nombre complexe 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, ses 𝑛 racines sont 𝑟 à la puissance d’une sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝑘 sur 𝑛. Et 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un.

Trouvez les racines quatrièmes de moins un, en donnant vos réponses sous forme trigonométrique.

le théorème de Moivre pour les racines dit que la 𝑛 ème racine d’un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique est 𝑟 à un fois 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Nous devons donc exprimer moins un sous forme trigonométrique. Le module de moins un est un et son argument est 𝜋. Sous forme trigonométrique, alors moins un est le même que cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋.

En appliquant la règle de Moivre pour les racines, nous pouvons voir que les racines quatrièmes de moins un sont cos de 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur quatre, où 𝑘 prend des valeurs de zéro à trois. Commençons par considérer la racine lorsque 𝑘 est égal à zéro. Lorsque 𝑘 est nul, notre racine est cos de 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 sur quatre. Lorsque 𝑘 est un, notre racine est cos de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre, ce qui simplifie en cos de trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de trois 𝜋 sur quatre.

Lorsque 𝑘 est deux, nous obtenons cos de 𝜋 plus quatre 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus quatre 𝜋 sur quatre. Et cela nous laisse avec un argument de cinq 𝜋 sur quatre. Mais cet argument n’est pas dans l’intervalle de l’argument principal. N’oubliez pas que nous pouvons ajouter ou soustraire des multiples de deux 𝜋 pour y parvenir. Cette fois, nous soustrayons deux 𝜋 et nous obtenons un argument de moins trois 𝜋 sur quatre. Donc, notre troisième racine est cos de moins trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins trois 𝜋 sur quatre.

Ensuite, lorsque 𝑘 est égal à trois, l’argument est 𝜋 plus six 𝜋 sur quatre. C’est sept 𝜋 sur quatre, ce qui est encore une fois en dehors de la plage de l’argument principal. On soustrait deux 𝜋 et on obtient l’argument principal pour que cette racine soit moins 𝜋 sur quatre. Notre quatrième racine est donc cos de moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur quatre.

Maintenant, la raison pour laquelle nous nous sommes arrêtés ici est que le théorème de Moivre pour les racines dit que 𝑘 prend des valeurs de zéro à 𝑛 moins un. Mis à part le fait que nous savons que la quatrième racine de moins un nous donnera quatre racines, examinons la raison pour laquelle nous nous arrêtons à moins une pour 𝑘. Voyons ce qui se serait passé si nous avions essayé d’évaluer la racine lorsque 𝑘 est égal à quatre.

Nous aurions eu cos de 𝜋 plus huit 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus huit 𝜋 sur quatre. Cela nous donnerait un argument de neuf 𝜋 sur quatre, ce qui est encore une fois en dehors de la plage de l’argument principal. En soustrayant deux 𝜋 de neuf 𝜋 sur quatre et nous obtenons 𝜋 sur quatre. Maintenant, vous devriez pouvoir voir quand 𝑘 est égal à quatre, nous obtenons le même résultat que si 𝑘 est égal à zéro. Nous avons donc juste besoin des quatre valeurs de 𝑘 : zéro, un, deux et trois.

Et nous avons utilisé le théorème de Moivre pour les racines pour trouver la racine quatrième de racine moins un. Ils sont cos de 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin 𝜋 sur quatre, cos de trois 𝜋 quatre plus 𝑖 sin de trois 𝜋 sur quatre, cos de moins trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins trois 𝜋 sur quatre, et cos de moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur quatre.

Dans cette vidéo, nous avons vu que le théorème de Moivre dit que nous pouvons élever un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique à une puissance entière de 𝑛 en utilisant la formule 𝑟 à la puissance 𝑛 fois cos de 𝑛 𝜃 plus 𝑖 sin de 𝑛 𝜃. Nous avons également vu que le théorème de De Moivre s’étend à la recherche des 𝑛 ième racines de nombres complexes. Nous évaluons 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un.

Et bien sûr, nous avons explicitement déclaré tout au long de cette vidéo que le théorème de De Moivre est utilisé pour calculer les 𝑛 ième racines et puissances entières. Mais nous ne pouvons pas réellement supposer qu’il s’applique à des exposants réels ou complexes.

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