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Vidéo de la leçon : Formule de Moivre Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les puissances et les racines de nombres complexes et à utiliser la formule de Moivre pour simplifier les calculs de puissances et de racines.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la formule de Moivre pour simplifier les puissances et les racines de nombres complexes. Nous allons apprendre la formule de Moivre, voir d’où elle vient, puis nous l’utiliserons dans des problèmes impliquant des puissances, des racines, ainsi que d’autres opérations sur les nombres complexes.

La formule de Moivre permet de calculer très rapidement les puissances d’un nombre complexe écrit sous forme polaire. On sait qu’un nombre complexe sous forme polaire peut également s’écrire sous forme exponentielle 𝑟𝑒 𝑖𝜃. Élevons chaque côté de cette équation à une puissance entière. Notons-la 𝑛. On a donc 𝑟𝑒 𝑖𝜃 puissance 𝑛 égale 𝑟 cos𝜃 plus 𝑖 sin𝜃 le tout à la puissance 𝑛.

𝑛 étant une valeur entière, on peut réécrire le côté gauche de cette équation 𝑟 puissance 𝑛 fois 𝑒 puissance 𝑖𝑛𝜃. Et on peut en fait réécrire le côté droit à l’aide de la formule d’Euler. On obtient 𝑟 puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. Et c’est la formule Moivre. Soit un entier 𝑛, 𝑟 cos𝜃 plus 𝑖 sin𝜃 puissance 𝑛 égale 𝑟 puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃.

Il est important de savoir que ce n’est pas une preuve stricte de la formule de Moivre, et qu’une preuve formelle nécessite une compréhension plus approfondie de la forme exponentielle d’un nombre complexe. Mais comme on l’a dit, cette formule permet de calculer facilement les puissances d’un nombre complexe écrit sous forme polaire. Voyons ce que ça donne.

Simplifiez racine carrée de cinq fois cos trois 𝜋 sur 14 plus 𝑖 sin trois 𝜋 sur 14 puissance sept fois racine de trois multiplié par cos cinq 𝜋 sur 22 plus 𝑖 sin cinq 𝜋 sur 22 puissance 11.

Dans cette question, on a un produit de deux nombres complexes écrits sous forme polaire. Pour les simplifier, on utilise la formule de Moivre pour calculer les puissances de chaque nombre complexe avant de calculer leur produit. Rappelons que, d’après cette formule, pour un entier 𝑛, un nombre complexe sous forme polaire élevé à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. À l’aide de cette formule, élevons le premier nombre complexe à la puissance sept.

Pour ce nombre, 𝑟 égale racine de cinq et 𝜃 égale trois 𝜋 sur 14. On peut réécrire ceci racine de cinq puissance sept fois cosinus de sept multiplié par trois 𝜋 sur 14 plus 𝑖 sinus de sept multiplié par trois 𝜋 sur 14. On simplifie et on voit que le premier nombre complexe élevé à la puissance sept est égal à 125 racine de cinq fois cos trois 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin trois 𝜋 sur deux. De même, pour le deuxième nombre complexe, on élève le module, racine de trois, à la puissance 11. Et on obtient 243 racine de trois. Et on multiplie l’argument — cinq 𝜋 sur 22 — par 11, et on obtient cinq 𝜋 sur deux.

La dernière étape consiste à calculer le produit de ces deux nombres complexes. Pour multiplier deux nombres complexes, on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments. 125 racine de cinq multiplié par 243 racine de trois égale 30375 racine de 15. Si on additionne les arguments, on trouve quatre 𝜋 et on voit que ce nombre complexe s’écrit 30375 racine de 15 fois cos quatre 𝜋 plus 𝑖 sin quatre 𝜋. En fait, on peut encore simplifier puisque cos de quatre 𝜋 égale un et sin de quatre 𝜋 égale zéro. La réponse est donc 30375 racine de 15.

Dans le prochain exemple, on verra comment utiliser la formule de Moivre pour simplifier le quotient des puissances des nombres complexes.

Simplifiez 18 fois moins 𝑖 plus un puissance 39 divisé par 𝑖 plus un puissance 41.

Ici, on a le quotient de deux nombres complexes élevés à la puissance 39 et 41. On ne peut utiliser la formule de Moivre pour les calculer que s’ils sont sous forme polaire ou exponentielle. Commençons donc par exprimer moins 𝑖 plus un et 𝑖 plus un sous forme polaire. Pour ce faire, il faut connaître leurs modules et arguments. Le module est assez simple. On calcule la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire de ce nombre.

Ainsi, le module de moins 𝑖 plus un est la racine carrée de un au carré plus moins un au carré, donc racine de deux. De même, pour 𝑖 plus un, c’est aussi racine de deux. Mais qu’en est-il de leurs arguments ? Examinons-les individuellement. Moins 𝑖 plus un a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative. Il appartient donc au quatrième quadrant. On trouve son argument à l’aide de la formule arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. C’est arctan de moins un divisé par un, qui est moins 𝜋 sur quatre.

𝑖 plus un appartient au premier quadrant. On peut utiliser la même formule. C’est arctan de un divisé par un, soit 𝜋 sur quatre. Et voilà les deux nombres complexes sous forme polaire. On les utilise dans la fraction. Ensuite, il faut élever le nombre complexe du haut à la puissance 39 et celui du bas à la puissance 41.

À l’aide de la formule de Moivre, au numérateur, on a racine carrée de deux puissance 39 fois cos 39 multiplié par moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin 39 multiplié par moins 𝜋 sur quatre. Et au dénominateur, le module est racine de deux puissance 41 et l’argument est 41 fois 𝜋 sur quatre. Il n’y a pas encore besoin de les calculer. Au lieu de cela, rappelons que, pour diviser deux nombres complexes sous forme polaire, on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments.

On divise les modules, on obtient 18 sur racine de deux au carré, ce qui est égal à neuf. Ensuite, on soustrait les arguments, on obtient un argument de moins 20𝜋. Cos de moins 20𝜋 égale un et sin de moins 20𝜋 égale zéro. Il reste donc neuf.

Vous avez probablement compris qu’on peut généraliser les propriétés du module et de l’argument aux puissances entières de 𝑛. Pour un nombre complexe 𝑧 et un entier 𝑛, le module de 𝑧 puissance 𝑛 est le même que le module de 𝑧 à la puissance 𝑛. Et l’argument de 𝑧 puissance 𝑛 est 𝑛 fois l’argument de 𝑧.

Il est également utile de savoir qu’on peut généraliser la formule de Moivre pour un nombre complexe et son conjugué. On n’a pas le temps d’expliquer d’où ça vient dans cette vidéo. Mais il est utile de savoir que pour le conjugué de 𝑧, noté ici 𝑧 étoile, le conjugué de 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal au conjugué de 𝑧 puissance 𝑛. Cette formule peut être très utile pour résoudre des problèmes sans utiliser la formule de Moivre complète. Voyons ce qu’il en est.

Soit 𝑧 égale racine de trois moins 𝑖 puissance 𝑛 ; sachant que le module de 𝑧 est 32, déterminez l’argument principal de 𝑧.

L’argument principal de 𝑧 est la valeur de 𝜃 telle que 𝜃 soit supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. Pour répondre à cette question, rappelons les propriétés du module. On sait que le module de 𝑧 est 32. Donc, le module de racine de trois moins 𝑖 puissance 𝑛 est 32. En utilisant les propriétés du module, on peut réécrire ceci. Donc, le module de racine de trois moins 𝑖 le tout à la puissance 𝑛 est 32.

Le module de racine de trois moins 𝑖 est la racine carrée de racine de trois au carré plus moins un au carré. Et c’est tout simplement deux. On en déduit que deux puissance 𝑛 égale 32. On sait que deux puissance cinq égale 32. Donc 𝑛 est égal à cinq. On peut maintenant écrire ce nombre complexe racine de trois moins 𝑖 puissance cinq. Rappelons la formule selon laquelle l’argument de 𝑧 puissance 𝑛 est égal à 𝑛 fois l’argument de 𝑧. Donc, l’argument de 𝑧, c’est-à-dire l’argument de racine de trois moins 𝑖 puissance cinq, est cinq fois l’argument de racine de trois moins 𝑖.

Or, racine de trois moins 𝑖 appartient au quatrième quadrant du plan complexe. C’est parce que sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative. On peut calculer l’argument de racine de trois moins 𝑖 à l’aide de la formule arctan de la partie imaginaire divisée par la partie réelle. C’est arctan de moins un sur racine de trois. C’est moins 𝜋 sur six. Donc, l’argument de 𝑧 est cinq multiplié par moins 𝜋 sur six, ce qui est égal à moins cinq 𝜋 sur six. Le critère est rempli, c’est inférieur ou égal à 𝜋 et supérieur ou égal à moins 𝜋. On a donc trouvé l’argument principal de 𝑧. C’est moins cinq 𝜋 sur six.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment utiliser la formule de Moivre pour trouver des racines. D’après la formule de Moivre pour les racines, pour un nombre complexe 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, ses 𝑛 racines sont 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois cos 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin 𝜃 plus deux 𝑘 sur 𝑛. Et 𝑘 est un entier qui prend les valeurs zéro jusqu’à 𝑛 moins un.

Déterminez les racines quatrièmes de moins un sous forme trigonométrique.

D’après la formule de Moivre pour les racines, la 𝑛-ième racine d’un nombre complexe écrit sous forme polaire est 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois cos 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 est un entier qui prend les valeurs de zéro à 𝑛 moins un. Il faut donc écrire moins un sous forme polaire. Le module de moins un est un et son argument est 𝜋. Sous forme polaire, moins un est égal à cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋.

En appliquant la formule de Moivre, on obtient que les racines quatrièmes de moins un sont cos de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre, où 𝑘 prend les valeurs de zéro à trois. Commençons par la racine pour 𝑘 égale zéro. Pour 𝑘 égale zéro, la racine est cos de 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 sur quatre. Pour 𝑘 égale un, la racine est cos de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus deux 𝜋 sur quatre, ce qui se simplifie en cos de trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de trois 𝜋 sur quatre.

Pour 𝑘 égale deux, on obtient cos de 𝜋 plus quatre 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus quatre 𝜋 sur quatre. L’argument est donc cinq 𝜋 sur quatre. Mais cet argument n’est pas l’argument principal. Rappelez-vous qu’on peut ajouter ou retrancher des multiples de deux 𝜋. Dans ce cas, on retranche deux 𝜋 et on obtient un argument de moins trois 𝜋 sur quatre. Donc, la troisième racine est cos de moins trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins trois 𝜋 sur quatre.

Ensuite, pour 𝑘 égale trois, l’argument est 𝜋 plus six 𝜋 sur quatre. C’est sept 𝜋 sur quatre, ce qui, encore une fois, n’est pas l’argument principal. On retranche deux 𝜋 et on obtient l’argument principal : moins 𝜋 sur quatre. Donc, la quatrième racine est cos de moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur quatre.

On s’arrête là parce que, d’après la formule de Moivre pour les racines, 𝑘 prend les valeurs de zéro à 𝑛 moins un. Bien qu’on sache déjà que moins un possède quatre racines quatrièmes, regardons pourquoi 𝑘 s’arrête à 𝑛 moins un. Voyons ce qu’on trouve si on évalue la racine pour 𝑘 égale quatre.

On trouve cos de 𝜋 plus huit 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 plus huit 𝜋 sur quatre. Ça donne un argument de neuf 𝜋 sur quatre, ce qui, encore une fois, n’est pas l’argument principal. En soustrayant deux 𝜋 de neuf 𝜋 sur quatre, on obtient 𝜋 sur quatre. Vous pouvez constater que pour 𝑘 égale quatre, on obtient le même résultat que pour 𝑘 égale zéro. On n’a donc besoin que de ces quatre valeurs de 𝑘 : zéro, un, deux et trois.

On a utilisé la formule de Moivre pour trouver les racines quatrièmes de moins un. C’est cos de 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de 𝜋 sur quatre, cos de trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de trois 𝜋 sur quatre, cos de moins trois 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins trois 𝜋 sur quatre et cos de moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur quatre.

Dans cette vidéo, on a vu la formule de Moivre ; on élève un nombre complexe sous forme polaire à la puissance 𝑛 à l’aide de la formule 𝑟 puissance 𝑛 fois cos de 𝑛 𝜃 plus 𝑖 sin de 𝑛 𝜃. On a également vu que la formule Moivre se généralise au calcul des racines 𝑛-ièmes des nombres complexes. On calcule 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un.

Et bien sûr, on a dit explicitement tout au long de cette vidéo que la formule de Moivre permet de calculer les racines 𝑛-ièmes et les puissances entières. Mais on ne peut pas supposer qu’elle s’applique à des exposants réels ou complexes.

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