Fiche explicative de la leçon : Formule de Moivre Mathématiques

Dans cette fiche explicative, Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les puissances et les racines des nombres complexes, et comment utiliser la formule de Moivre pour simplifier le calcul des puissances et des racines.

Commençons par rappeler la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire.

Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, leur produit est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin

Notez que si nous définissons 𝑧=𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin dans l’équation ci-dessus, nous obtenons (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(2𝜃+𝑖2𝜃).cossincossin

Cette équation montre que pour calculer le carré d’un nombre complexe, on peut directement prendre le carré du module et multiplier l’argument par deux. Nous pourrions alors nous demander si cette règle peut être généralisée à d’autres puissances positives d’un nombre complexe.

Il est en fait également possible de démontrer une formule similaire pour une puissance négative d’un nombre complexe. On rappelle la formule du quotient de nombres complexes sous forme polaire, en utilisant les mêmes 𝑧 et 𝑧 que ci-dessus:𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Avec 𝑧=1=1(0+𝑖0)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin dans la formule ci-dessus, on obtient la formule de l’inverse d’un nombre complexe:1𝑟(𝜃+𝜃)=1𝑟((0𝜃)+𝑖(0𝜃)),cossincossin que l’on peut simplifier pour obtenir (𝑟(𝜃+𝜃))=𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃)).cossincossin

En d’autres termes, élever un nombre complexe à la puissance 1 équivaut à élever le module à la puissance 1 et à multiplier l’argument par 1.

Maintenant que nous avons vu que les formules sont similaires pour des puissances positives et négatives d’un nombre complexe, nous pourrions anticiper que ces formules sont généralisables pour toute puissance entière.

Nous pouvons en effet le faire et le résultat est connu sous le nom de la formule de Moivre.

Théorème: Formule de Moivre

Pour tout entier 𝑛, (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃).cossincossin

Nous pouvons la démontrer pour des puissances strictement positives en utilisant un raisonnement par récurrence. Nous commençons par montrer qu’elle est vraie pour 𝑛=1. Avec 𝑛=1, le membre gauche est (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)=𝑟((1×𝜃)+𝑖(1×𝜃)),cossincossincossin qui est égal au membre droit. La formule de Moivre est donc vraie pour 𝑛=1.

Nous supposons maintenant qu’elle est vraie pour un entier positif 𝑘:(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃).cossincossin

Nous devons alors montrer que cela implique que la formule de Moivre est vraie pour 𝑘+1. On écrit donc (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))(𝑟(𝜃+𝑖𝜃)).cossincossincossin

En utilisant l’hypothèse qu’elle est vraie pour 𝑘, on peut la réécrire comme (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃)(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑘𝜃+𝑖𝑘𝜃)(𝜃+𝑖𝜃).cossincossincossincossincossin

En développant les parenthèses, on a (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑘𝜃𝜃+𝑖𝑘𝜃𝜃+𝑖𝑘𝜃𝜃+𝑖𝑘𝜃𝜃.cossincoscoscossinsincossinsin

En utilisant 𝑖=1 et en regroupant les termes réels et imaginaires, on obtient (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑘𝜃𝜃𝑘𝜃𝜃+𝑖(𝑘𝜃𝜃+𝑘𝜃𝜃)).cossincoscossinsincossinsincos

Enfin, en utilisant les formules trigonométriques d’une somme et d’une différence , sinsincoscossincoscoscossinsin(𝐴±𝐵)=𝐴𝐵±𝐴𝐵,(𝐴±𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵, on peut le réécrire comme suit (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟((𝑘𝜃+𝜃)+𝑖(𝑘𝜃+𝜃))=𝑟(((𝑘+1)𝜃)+𝑖((𝑘+1)𝜃)).cossincossincossin

Par conséquent, la formule de Moivre est vraie pour 𝑛=1, et que le fait qu’elle soit vraie pour 𝑛=𝑘 implique qu’elle est vraie pour 𝑛=𝑘+1;par récurrence, elle est donc vraie pour tous les entiers strictement positifs 𝑛. Pour démontrer la formule de Moivre pour les entiers strictement négatifs, nous pouvons utiliser la formule de l’inverse d’un nombre complexe. Soit 𝑛 un entier strictement positif. Alors (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=(𝑟(𝜃+𝑖𝜃)).cossincossin

En utilisant la formule de Moivre pour des entiers positifs, on a (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=(𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃)).cossincossin

On peut maintenant appliquer la formule de l’inverse pour arriver à (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟((𝑛𝜃)+𝑖(𝑛𝜃)).cossincossin

Nous avons ainsi montré que la formule de Moivre est vraie pour des entiers strictement négatifs. Le cas 𝑛=0 est trivial à démontrer. Nous avons donc démontré que la formule de Moivre est valable pour tout 𝑛.

Pour une démonstration plus concise, nous pouvons également utiliser la formule d’Euler:(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑒.cossin

Comme 𝑛 est un entier, on peut la réécrire comme (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑒.cossin

En utilisant à nouveau la formule d’Euler, on obtient (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃).cossincossin

Nous allons maintenant étudier plusieurs exemples où l’utilisation de ce théorème simplifie significativement les calculs.

Exemple 1: Utiliser la formule de Moivre pour le produit de puissances de complexes

Simplifiez 53𝜋14+𝑖3𝜋1435𝜋22+𝑖5𝜋22cossincossin.

Réponse

En appliquant la formule de Moivre à chaque nombre complexe, on a 53𝜋14+𝑖3𝜋1435𝜋22+𝑖5𝜋22=57×3𝜋14+𝑖7×3𝜋14311×5𝜋22+𝑖11×5𝜋22=12553𝜋2+𝑖3𝜋224335𝜋2+𝑖5𝜋2.cossincossincossincossincossincossin

En utilisant la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)),cossin on peut réécrire cela comme 53𝜋14+𝑖3𝜋1435𝜋22+𝑖5𝜋22=125524333𝜋2+5𝜋2+𝑖3𝜋2+5𝜋2=3037515(4𝜋+𝑖4𝜋).cossincossincossincossin

On peut simplifier en utilisant cos4𝜋=1 et sin4𝜋=0:53𝜋14+𝑖3𝜋1435𝜋22+𝑖5𝜋22=3037515.cossincossin

Cet exemple montre qu’utiliser la formule de Moivre simplifie considérablement les calculs. Sachant cela, si nous devons résoudre un problème impliquant des puissances élevées de nombres complexes, il est préférable de commencer par les exprimer sous forme polaire ou exponentielle. L’exemple suivant illustre ce raisonnement.

Exemple 2: Calculer le quotient de nombres complexes avec de grandes puissances

Simplifiez 18(𝑖+1)(𝑖+1).

Réponse

Nous commençons par écrire les nombres complexes du numérateur et du dénominateur sous forme polaire. En commençant par le numérateur, son module est |𝑖+1|=1+(1)=2. Comme sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative, il se situe dans le quatrième quadrant, on peut donc calculer son argument avec la réciproque de la fonction tangente comme suit:argarctan(𝑖+1)=11=𝜋4.

Sa forme polaire est donc 𝑖+1=2𝜋4+𝑖𝜋4.cossin

Quant au dénominateur, son module est |𝑖+1|=1+1=2. Comme ses parties réelle et imaginaire sont positives, il se situe dans le premier quadrant et on peut trouver son argument en évaluant argarctan(𝑖+1)=11=𝜋4.

Par conséquent, le dénominateur peut être exprimé par 𝑖+1=2𝜋4+𝑖𝜋4cossin sous forme polaire. Nous pouvons reformuler la fraction entière par 18(𝑖+1)(𝑖+1)=182+𝑖2+𝑖.cossincossin

En appliquant la formule de Moivre aux nombres complexes au numérateur et au dénominateur, on peut réécrire comme suit 18(𝑖+1)(𝑖+1)=18239×+𝑖39×241×+𝑖41×.cossincossin

On utilise alors la formule du quotient pour des nombres complexes sous forme polaire:si 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)),cossin et on peut réécrire comme suit 18(𝑖+1)(𝑖+1)=18239×𝜋441×𝜋4+𝑖39×𝜋441×𝜋4=9((20𝜋)+𝑖(20𝜋))=9.cossincossin

Une des implications de la formule de Moivre est que nous pouvons généraliser les propriétés du module et de l’argument à toute puissance entière d’un nombre complexe. Nous obtenons alors les propriétés suivantes.

Identités: Module et argument d’une puissance d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe 𝑧 et tout entier 𝑛, |𝑧|=|𝑧|,(𝑧)=𝑛(𝑧).argarg

Utiliser ces identités est parfois plus efficace qu’utiliser directement la formule de Moivre, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 3: Résoudre des problèmes avec des puissances de nombres complexes

Sachant que 𝑍=3𝑖|𝑍|=32and, déterminez la mesure principale de l’argument de 𝑍.

Réponse

Substituer la valeur de 𝑍=3𝑖 dans |𝑍|=32 donne ||3𝑖||=32.

En utilisant les propriétés du module, on peut le réécrire comme ||3𝑖||=32.

Et ||3𝑖||=3+(1)=4=2, donc 2=32.

Par conséquent, 𝑛=5. D’où 𝑍=3𝑖.

En prenant l’argument des deux membres, on a argarg(𝑍)=3𝑖.

Et en utilisant les propriétés de l’argument, on a argarg(𝑍)=53𝑖.

Nous calculons alors l’argument de 3𝑖. Comme sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire négative, il se situe dans le quatrième quadrant et son argument est défini par argarctan3𝑖=13=𝜋6.

Par conséquent, arg(𝑍)=5×𝜋6=5𝜋6.

Nous pouvons confirmer qu’il s’agit bien de la mesure principale de l’argument car 𝜋<5𝜋6<𝜋. Ainsi, la mesure principale de l’argument de 𝑍 est 5𝜋6.

Il peut parfois être utile de simplifier l’expression sur laquelle nous travaillons ou de remarquer les propriétés clés qu’elle pourrait avoir avant d’appliquer la formule de Moivre. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment les puissances de conjugués complexes peuvent être traitées en utilisant la formule de Moivre.

Exemple 4: Calculer la différence de puissances de nombres complexes

Calculez (2+2𝑖)(22𝑖).

Réponse

Pour cet exemple, nous pourrions écrire chaque nombre sous forme polaire et appliquer la formule de Moivre. Cependant, il convient de noter d’abord que cette équation est de la forme 𝑧𝑧. Sachant cela, nous devrions déterminer si nous pouvons appliquer certaines des propriétés des conjugués complexes pour simplifier le calcul. Considérons tout d’abord un nombre complexe sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et son conjugué 𝑧=𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃))cossin. En appliquant la formule de Moivre, on peut alors écrire

𝑧𝑧=𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃)𝑟((𝑛𝜃)+𝑖(𝑛𝜃))=𝑧(𝑧).cossincossin(1)

En utilisant la propriété des conjugués complexes, 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧),Im on définit 𝑧=𝑧 et on a

𝑧(𝑧)=2𝑖(𝑧).Im(2)

En combinant les équations (1) et (2), on trouve 𝑧𝑧=2𝑖(𝑧).Im

Par conséquent, (2+2𝑖)(22𝑖)=2𝑖(2+2𝑖).Im

Nous pouvons à présent calculer le module et l’argument de (2+2𝑖). Tout d’abord, son module |2+2𝑖|=(2)+2=22. Comme sa partie réelle est négative et sa partie imaginaire positive, il se situe dans le deuxième quadrant et on peut calculer son argument en évaluant argarctan(22𝑖)=22+𝜋=𝜋4+𝜋=3𝜋4.

En utilisant la formule de Moivre, on peut écrire (2+2𝑖)=224×3𝜋4+𝑖4×3𝜋4=64(3𝜋+𝑖3𝜋).cossincossin

Par conséquent, (2+2𝑖)(22𝑖)=2𝑖(2+2𝑖)=128𝑖3𝜋=0.Imsin

Remarquez que dans l’exemple précédent, en utilisant la formule de Moivre, nous avons démontré que pour tout nombre complexe 𝑧, 𝑧=(𝑧).

Nous allons maintenant étudier comment utiliser la formule de Moivre pour calculer les racines des nombres complexes.

Exemple 5: Utiliser la formule de Moivre pour calculer les racines d’un nombre complexe

On considère l’équation 𝑧=23+2𝑖.

  1. Exprimez 23+2𝑖 sous forme polaire en utilisant la forme générale de l’argument.
  2. En appliquant la formule de Moivre au membre gauche, reformulez l’équation sous forme polaire.
  3. En posant les modules égaux et les arguments égaux et en considérant différentes valeurs de l’argument, déterminez les 3 racines cubiques de 23+2𝑖 sous forme exponentielle.

Réponse

Partie 1

Nous commençons par calculer le module de 23+2𝑖 comme suit:||23+2𝑖||=23+2=12+4=16=4.

Nous calculons ensuite son argument. Comme ses parties réelle et imaginaire sont positives, le nombre complexe est situé dans le premier quadrant et on calcule la mesure principale de son argument en évaluant argarctan23+2𝑖=223=𝜋6.

Nous obtenons la forme générale de l’argument en ajoutant des multiples entiers de 2𝜋. Par conséquent, la forme générale de son argument est 𝜋6+2𝜋𝑘, 𝑘. Nous pouvons alors exprimer 23+2𝑖 sous forme polaire en utilisant la forme générale de l’argument:23+2𝑖=4𝜋6+2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘cossin pour 𝑘.

Partie 2

Nous pouvons exprimer 𝑧 sous forme polaire comme suit 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

L’équation devient alors (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=4𝜋6+2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘.cossincossin

En appliquant la formule de Moivre, on obtient 𝑟(3𝜃+𝑖3𝜃)=4𝜋6+2𝜋𝑘+𝑖𝜋6+2𝜋𝑘.cossincossin

Partie 3

Poser les modules égaux nous donne 𝑟=4, donc 𝑟=4. Poser les arguments égaux nous donne 3𝜃=𝜋6+2𝜋𝑘.

Donc, 𝜃=+2𝜋𝑘3=𝜋18+2𝜋𝑘3.

Nous considérons maintenant trois valeurs consécutives de 𝑘 pour trouver les trois racines distinctes. En commençant avec 𝑘=0, on a 𝜃=𝜋18. Ensuite, 𝑘=1 donne 𝜃=13𝜋18. Enfin, avec 𝑘=2, on obtient 𝜃=25𝜋18. Comme cette valeur n’est pas dans l’intervalle ]𝜋;𝜋], on peut soustraire 2𝜋 pour obtenir l’argument principal:𝜃=11𝜋18. Par conséquent, les trois racines distinctes de 23+2𝑖 sont 𝑧=4𝑒,4𝑒,4𝑒.et

En généralisant la méthode utilisée dans la question précédente, la formule de Moivre nous permet de déterminer les racines d’un nombre complexe.

Théorème : Racines d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, ses racines 𝑛-ièmes sont définies par 𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛cossin pour 𝑘=0;1,,𝑛1.

Notez qu’il peut être nécessaire de soustraire 2𝜋 aux arguments ci-dessus pour obtenir leur mesure principale.

Pour terminer cette fiche explicative, nous allons étudier un dernier exemple où nous appliquons la formule de Moivre pour déterminer des racines.

Exemple 6: Déterminer les racines complexes d’un nombre

Déterminez les racines quatrièmes de 1, en donnant vos réponses sous forme polaire.

Réponse

Commençons par exprimer 1 sous forme polaire. Son module est bien sûr 1 et son argument est 𝜋. Par conséquent, en appliquant le théorème pour les racines, ses 4 racines quatrièmes sont 1𝜋+2𝜋𝑘4+𝑖𝜋+2𝜋𝑘4=𝜋+2𝜋𝑘4+𝑖𝜋+2𝜋𝑘4cossincossin pour 𝑘=0;1;2 et 3. On substitue alors chaque valeur de 𝑘 une par une. En commençant par 𝑘=0, on a cossin𝜋4+𝑖𝜋4.

Pour 𝑘=1, on a cossin3𝜋4+𝑖3𝜋4.

Pour 𝑘=2, on a cossin5𝜋4+𝑖5𝜋4.

Cependant, comme cet argument n’est pas une mesure principale, on peut soustraire 2𝜋 pour obtenir cossin3𝜋4+𝑖3𝜋4.

Enfin, pour 𝑘=3, on a cossin7𝜋4+𝑖7𝜋4.

Une fois de plus, cet argument n’est pas une mesure principale donc on peut soustraire 2𝜋 pour obtenir cossin𝜋4+𝑖𝜋4.

Nous concluons donc que les racines quatrièmes de 1 sont 𝜋4+𝑖𝜋4cossin, 3𝜋4+𝑖3𝜋4cossin, 𝜋4+𝑖𝜋4cossin et 3𝜋4+𝑖3𝜋4cossin.

Terminons par résumer les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • La formule de Moivre stipule que pour tout 𝑛, (𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟(𝑛𝜃+𝑖𝑛𝜃).cossincossin Elle nous permet de simplifier significativement les calculs impliquant de grandes puissances entières de nombres complexes.
  • Pour tout nombre complexe 𝑧 et tout entier 𝑛, |𝑧|=|𝑧|,(𝑧)=𝑛(𝑧).argarg Ces identités nous permettent d’appliquer des puissances 𝑛-ièmes directement au module et à l’argument d’un nombre complexe.
  • La formule de Moivre peut alors être étendue pour déterminer les racines 𝑛-ièmes de nombres complexes en évaluant 𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛cossin pour 𝑘=0;1,,𝑛1. Les mesures principales des arguments peuvent être trouvées en soustrayant 2𝜋 aux arguments si nécessaire.

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