Fiche explicative de la leçon: Formule de Moivre

Dans cette fiche explicative, Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les puissances et les racines des nombres complexes, et comment utiliser la formule de Moivre pour simplifier le calcul des puissances et des racines.

Commençons par rappeler la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire.

Pour deux nombres complexes et , leur produit est

Notez que si nous définissons dans l’équation ci-dessus, nous obtenons

Cette équation montre que pour calculer le carré d’un nombre complexe, on peut directement prendre le carré du module et multiplier l’argument par deux. Nous pourrions alors nous demander si cette règle peut être généralisée à d’autres puissances positives d’un nombre complexe.

Il est en fait également possible de démontrer une formule similaire pour une puissance négative d’un nombre complexe. On rappelle la formule du quotient de nombres complexes sous forme polaire, en utilisant les mêmes et que ci-dessus :

Avec et dans la formule ci-dessus, on obtient la formule de l’inverse d’un nombre complexe : que l’on peut simplifier pour obtenir

En d’autres termes, élever un nombre complexe à la puissance équivaut à élever le module à la puissance et à multiplier l’argument par .

Maintenant que nous avons vu que les formules sont similaires pour des puissances positives et négatives d’un nombre complexe, nous pourrions anticiper que ces formules sont généralisables pour toute puissance entière.

Nous pouvons en effet le faire et le résultat est connu sous le nom de la formule de Moivre.

Théorème: Formule de Moivre

Pour tout entier ,

Nous pouvons la démontrer pour des puissances strictement positives en utilisant un raisonnement par récurrence. Nous commençons par montrer qu’elle est vraie pour . Avec , le membre gauche est qui est égal au membre droit. La formule de Moivre est donc vraie pour .

Nous supposons maintenant qu’elle est vraie pour un entier positif :

Nous devons alors montrer que cela implique que la formule de Moivre est vraie pour . On écrit donc

En utilisant l’hypothèse qu’elle est vraie pour , on peut la réécrire comme

En développant les parenthèses, on a

En utilisant et en regroupant les termes réels et imaginaires, on obtient

Enfin, en utilisant les formules trigonométriques d’une somme et d’une différence , on peut le réécrire comme suit

Par conséquent, la formule de Moivre est vraie pour , et que le fait qu’elle soit vraie pour implique qu’elle est vraie pour ; par récurrence, elle est donc vraie pour tous les entiers strictement positifs . Pour démontrer la formule de Moivre pour les entiers strictement négatifs, nous pouvons utiliser la formule de l’inverse d’un nombre complexe. Soit un entier strictement positif. Alors

En utilisant la formule de Moivre pour des entiers positifs, on a

On peut maintenant appliquer la formule de l’inverse pour arriver à

Nous avons ainsi montré que la formule de Moivre est vraie pour des entiers strictement négatifs. Le cas est trivial à démontrer. Nous avons donc démontré que la formule de Moivre est valable pour tout .

Pour une démonstration plus concise, nous pouvons également utiliser la formule d’Euler :

Comme est un entier, on peut la réécrire comme

En utilisant à nouveau la formule d’Euler, on obtient

Nous allons maintenant étudier plusieurs exemples où l’utilisation de ce théorème simplifie significativement les calculs.

Exemple 1: Utiliser la formule de Moivre pour le produit de puissances de complexes

Simplifiez .

Réponse

En appliquant la formule de Moivre à chaque nombre complexe, on a

En utilisant la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire on peut réécrire cela comme

On peut simplifier en utilisant et :

Cet exemple montre qu’utiliser la formule de Moivre simplifie considérablement les calculs. Sachant cela, si nous devons résoudre un problème impliquant des puissances élevées de nombres complexes, il est préférable de commencer par les exprimer sous forme polaire ou exponentielle. L’exemple suivant illustre ce raisonnement.

Exemple 2: Calculer le quotient de nombres complexes avec de grandes puissances

Simplifiez .

Réponse

Nous commençons par écrire les nombres complexes du numérateur et du dénominateur sous forme polaire. En commençant par le numérateur, son module est . Comme sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire est négative, il se situe dans le quatrième quadrant, on peut donc calculer son argument avec la réciproque de la fonction tangente comme suit :

Sa forme polaire est donc

Quant au dénominateur, son module est . Comme ses parties réelle et imaginaire sont positives, il se situe dans le premier quadrant et on peut trouver son argument en évaluant

Par conséquent, le dénominateur peut être exprimé par sous forme polaire. Nous pouvons reformuler la fraction entière par

En appliquant la formule de Moivre aux nombres complexes au numérateur et au dénominateur, on peut réécrire comme suit

On utilise alors la formule du quotient pour des nombres complexes sous forme polaire : si et , et on peut réécrire comme suit

Une des implications de la formule de Moivre est que nous pouvons généraliser les propriétés du module et de l’argument à toute puissance entière d’un nombre complexe. Nous obtenons alors les propriétés suivantes.

Identités: Module et argument d’une puissance d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe et tout entier ,

Utiliser ces identités est parfois plus efficace qu’utiliser directement la formule de Moivre, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 3: Résoudre des problèmes avec des puissances de nombres complexes

Sachant que , déterminez la mesure principale de l’argument de .

Réponse

Substituer la valeur de dans donne

En utilisant les propriétés du module, on peut le réécrire comme

Et , donc

Par conséquent, . D’où

En prenant l’argument des deux membres, on a

Et en utilisant les propriétés de l’argument, on a

Nous calculons alors l’argument de . Comme sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire négative, il se situe dans le quatrième quadrant et son argument est défini par

Par conséquent,

Nous pouvons confirmer qu’il s’agit bien de la mesure principale de l’argument car . Ainsi, la mesure principale de l’argument de est .

Il peut parfois être utile de simplifier l’expression sur laquelle nous travaillons ou de remarquer les propriétés clés qu’elle pourrait avoir avant d’appliquer la formule de Moivre. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment les puissances de conjugués complexes peuvent être traitées en utilisant la formule de Moivre.

Exemple 4: Calculer la différence de puissances de nombres complexes

Calculez .

Réponse

Pour cet exemple, nous pourrions écrire chaque nombre sous forme polaire et appliquer la formule de Moivre. Cependant, il convient de noter d’abord que cette équation est de la forme . Sachant cela, nous devrions déterminer si nous pouvons appliquer certaines des propriétés des conjugués complexes pour simplifier le calcul. Considérons tout d’abord un nombre complexe sous forme polaire et son conjugué . En appliquant la formule de Moivre, on peut alors écrire

En utilisant la propriété des conjugués complexes, on définit et on a

En combinant les équations (1) et (2), on trouve

Par conséquent,

Nous pouvons à présent calculer le module et l’argument de . Tout d’abord, son module . Comme sa partie réelle est négative et sa partie imaginaire positive, il se situe dans le deuxième quadrant et on peut calculer son argument en évaluant

En utilisant la formule de Moivre, on peut écrire

Par conséquent,

Remarquez que dans l’exemple précédent, en utilisant la formule de Moivre, nous avons démontré que pour tout nombre complexe ,

Nous allons maintenant étudier comment utiliser la formule de Moivre pour calculer les racines des nombres complexes.

Exemple 5: Utiliser la formule de Moivre pour calculer les racines d’un nombre complexe

On considère l’équation .

Exprimez sous forme polaire en utilisant la forme générale de l’argument.
En appliquant la formule de Moivre au membre gauche, reformulez l’équation sous forme polaire.
En posant les modules égaux et les arguments égaux et en considérant différentes valeurs de l’argument, déterminez les 3 racines cubiques de sous forme exponentielle.

Réponse

Partie 1

Nous commençons par calculer le module de comme suit :

Nous calculons ensuite son argument. Comme ses parties réelle et imaginaire sont positives, le nombre complexe est situé dans le premier quadrant et on calcule la mesure principale de son argument en évaluant

Nous obtenons la forme générale de l’argument en ajoutant des multiples entiers de . Par conséquent, la forme générale de son argument est , où . Nous pouvons alors exprimer sous forme polaire en utilisant la forme générale de l’argument : pour .

Partie 2

Nous pouvons exprimer sous forme polaire comme suit

L’équation devient alors

En appliquant la formule de Moivre, on obtient

Partie 3

Poser les modules égaux nous donne , donc . Poser les arguments égaux nous donne

Donc,

Nous considérons maintenant trois valeurs consécutives de pour trouver les trois racines distinctes. En commençant avec , on a . Ensuite, donne . Enfin, avec , on obtient . Comme cette valeur n’est pas dans l’intervalle , on peut soustraire pour obtenir l’argument principal : . Par conséquent, les trois racines distinctes de sont

En généralisant la méthode utilisée dans la question précédente, la formule de Moivre nous permet de déterminer les racines d’un nombre complexe.

Théorème : Racines d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe , ses racines sont définies par pour .

Notez qu’il peut être nécessaire de soustraire aux arguments ci-dessus pour obtenir leur mesure principale.

Pour terminer cette fiche explicative, nous allons étudier un dernier exemple où nous appliquons la formule de Moivre pour déterminer des racines.

Exemple 6: Déterminer les racines complexes d’un nombre

Déterminez les racines quatrièmes de , en donnant vos réponses sous forme polaire.

Réponse

Commençons par exprimer sous forme polaire. Son module est bien sûr 1 et son argument est . Par conséquent, en appliquant le théorème pour les racines, ses 4 racines quatrièmes sont pour et 3. On substitue alors chaque valeur de une par une. En commençant par , on a

Pour , on a

Cependant, comme cet argument n’est pas une mesure principale, on peut soustraire pour obtenir

Enfin, pour , on a

Une fois de plus, cet argument n’est pas une mesure principale donc on peut soustraire pour obtenir

Nous concluons donc que les racines quatrièmes de sont , , et .

Terminons par résumer les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

La formule de Moivre stipule que pour tout , Elle nous permet de simplifier significativement les calculs impliquant de grandes puissances entières de nombres complexes.
Pour tout nombre complexe et tout entier , Ces identités nous permettent d’appliquer des puissances directement au module et à l’argument d’un nombre complexe.
La formule de Moivre peut alors être étendue pour déterminer les racines de nombres complexes en évaluant pour . Les mesures principales des arguments peuvent être trouvées en soustrayant aux arguments si nécessaire.