Video Transcript
Déterminez le nombre complexe qui se situe au milieu de 𝑧 et 𝑖𝑧 à l'aide du plan complexe donné.
Nous rappelons que tout nombre complexe 𝑧 peut être écrit sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 est la partie, ou composante, réelle et 𝑏 la partie imaginaire. Sur le plan complexe, nous voyons que l’axe horizontal correspond à la partie réelle et l’axe vertical la partie imaginaire. Le point 𝑧 a les coordonnées six, deux. Cela signifie qu’il correspond au nombre complexe six plus deux 𝑖.
Pour calculer 𝑖𝑧, nous devons multiplier six plus deux 𝑖 par 𝑖. Le développement nous donne six 𝑖 plus deux 𝑖 au carré. D’après nos connaissances des nombres complexes, nous savons que 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela signifie que 𝑖𝑧 est égal à six 𝑖 plus deux multiplié par moins un. Cela se simplifie en moins deux plus six 𝑖.
Nous avons maintenant deux nombres complexes, et nous devons trouver leur milieu. Nous pourrions tracer 𝑖𝑧 sur le plan complexe. Il aurait les coordonnées moins deux, six, car sa partie réelle vaut moins deux et sa partie imaginaire vaut six. Le point médian de deux coordonnées est la moitié de la somme de leurs composantes correspondantes. En faisant de la place, nous devons ajouter 𝑧 et 𝑖𝑧, puis diviser par deux. Cela équivaut à six plus deux 𝑖 plus moins deux plus six 𝑖 le tout divisé par deux.
Le regroupement des termes réels sur le numérateur nous donne quatre, car six plus moins deux est égal à quatre. Deux 𝑖 plus six 𝑖 est égal à huit 𝑖. Cela nous donne quatre plus huit 𝑖 divisé par deux. Comme la moitié de quatre est deux et que la moitié de huit 𝑖 est quatre 𝑖, cela se simplifie en deux plus quatre 𝑖. Le milieu de 𝑧, six plus deux 𝑖, et 𝑖𝑧, moins deux plus six 𝑖, est deux plus quatre 𝑖. Ce nombre complexe correspond à la coordonnée deux, quatre dans le plan complexe.
