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Une voiture se déplaçait vers le bas d’une colline inclinée d’un angle thêta par rapport à l’horizontale tel que sinus de thêta est égal à quatre sur 75. Lorsque son moteur a été coupé, elle s’est déplacée à vitesse constante. Si la même voiture se déplaçait vers le haut sur le même colline à 2,8 mètres par seconde et que son moteur avait été coupé, jusqu’où se déplacerait-elle avant de s’immobiliser ? On suppose que l’intensité de la résistance à son mouvement est la même quand elle monte et descend. Prenez 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.
Ok, ceci est la colline inclinée d’un angle thêta par rapport à l’horizontale. Et on nous dit que le sinus de cet angle est égal à quatre sur 75. Il y a une voiture qui se déplace sur cette colline. Et nous avons deux informations à son sujet. Dans le premier cas, on nous dit que lorsque le moteur de la voiture est coupé et qu’elle roule en descente, elle a une vitesse constante. Nous imaginons ensuite un scénario différent où cette même voiture sur la même pente se déplace vers le haut à 2,8 mètres par seconde. Si son moteur s’arrête de sorte que la voiture ne propulse plus son mouvement, nous voulons savoir à quelle distance, et nous pouvons appeler cette distance 𝑑, la voiture s’arrêtera complètement avant de resdecendre.
Pour commence, faisons de l’espace. Et nous commencerons par considérer le cas où la voiture se déplace vers le haut. Après avoir roulé à cette vitesse initiale, on nous dit que le moteur de la voiture s’arrête. Désormais, la voiture n’est propulsée que par sa propre quantité de mouvement. Si nous devions dessiner les forces qui agissent sur la voiture alors qu’elle roule encore vers le haut, nous pourrions dire qu’elle est soumise à son poids, sa masse multipliée par l’accélération due à la gravité, à une réaction ou force normale que nous appellerons 𝑅 agissant perpendiculairement au plan, et enfin a une force de frottement. Puisque la voiture se déplace toujours en montée et que la friction s’oppose à la direction du mouvement, cette force agira vers le bas de la pente.
Si nous devions nous concentrer uniquement sur les forces agissant parallèlement à cette pente, cela inclurait la force de frottement ainsi que cette composante de la force du poids. Selon la deuxième loi du mouvement de Newton, la somme de ces forces est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération dans la direction des forces. Disons que nous mettons en place un système de coordonnées de sorte que la direction des 𝑥 positifs soit en bas de la pente et que la direction des 𝑦 positifs lui soit perpendiculaire. Par cette convention de signe, la force de frottement 𝐹 a une valeur positive, tout comme la composante de la force du poids agissant dans ce que nous avons appelé la direction 𝑥.
Pour trouver cette composante, nous pouvons réaliser que cet angle ici dans le triangle rectangle créé par les composantes de notre force du poids est identique à cet angle dans notre plan. C’est-à-dire égal à thêta. Par conséquent, cette composante dans la direction 𝑥 est égale à 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de thêta. Puisque ce sont les seules forces agissant dans ce que nous avons appelé la direction 𝑥 sur la voiture, leur somme est égale à la masse de la voiture multipliée par son accélération dans cette direction. Maintenant, le sinus de thêta vaut quatre sur 75. Et en plus cela, nous pouvons dire que, en général, la force de frottement sur un objet en mouvement est égale au coefficient de frottement multiplié par la force de réaction agissant sur cet objet. Et à partir de notre diagramme, la force de réaction sur la voiture est d’intensité égale à cette composante de la force du poids.
Cette composante est égale à 𝑚 fois 𝑔 fois le cosinus de thêta. Donc, en multipliant cela par mu, nous avons maintenant une expression pour la force de frottement agissant sur la voiture. Cette force plus 𝑚 fois 𝑔 fois quatre sur 75, rappelons que c’est le sinus de thêta, est égale à 𝑚 fois l’accélération de la voiture dans la direction des 𝑥. Notez que la masse de la voiture apparaît dans ces trois termes. Par conséquent, nous pouvons simplifier. Ensuite, nous pouvons trouver cosinus de thêta. Avec sinus de thêta égal à quatre sur 75, nous pouvons dire que ce sont les longueurs réelles des deux côtés de ce triangle rectangle. Et selon le théorème de Pythagore, ce troisième côté est égal à la racine carrée de 75 au carré moins quatre au carré ou précisément la racine carrée de 5609.
On sait alors que le cosinus de thêta est égal à cette valeur divisée par la longueur de l’hypoténuse. En substituant cela au cosinus de thêta et en prenant en compte l’accélération due à la gravité, qui apparaît dans les deux termes du membre de gauche de notre expression, nous arrivons à ce résultat pour l’accélération de la voiture dans la direction 𝑥. Rappelez-vous que c’est parce que la voiture ralentit, monte puis s’arrête. Nous connaissons l’accélération due à la gravité, mais pas mu. C’est le coefficient de frottement entre les pneus de la voiture et le plan incliné.
À ce stade, cependant, nous pouvons nous rappeler une information très importante qui nous a été donnée dans l’énoncé. On nous a dit que lorsque la voiture se trouvait sur cette pente lorsque le moteur était coupé et partait depuis un état de repos, elle roulait en descente à vitesse constante. C’est-à-dire que son accélération était nulle. Dans ce cas, alors que la voiture descend, les forces agissant sur celle-ci ressemblent à ceci. Notez que la force du poids, 𝑚𝑔, et la force de réaction, 𝑅, sont les mêmes que précédemment, mais que maintenant la force de frottement, 𝐹 deux, agit sur la pente, opposée au mouvement de l’objet, comme toujours. Et puisque la voiture se déplace à une vitesse constante lorsqu’elle roule en descente, nous pouvons dire que la composante 𝑥 de la force du poids et la force de frottement s’équilibrent parfaitement.
En d’autres termes, 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de thêta, la composante de la force du poids qui tire la voiture en descente, est égale à mu fois 𝑚 fois 𝑔 fois le cosinus de thêta, la force de frottement opposée à ce mouvement. Notez que la masse de cette voiture et l’accélération due à la gravité apparaissent dans les deux membres de cette équation et peuvent être éliminées. Si nous divisons ensuite les deux membres de l’équation par le cosinus de thêta en éliminant ce facteur à droite, nous pouvons utiliser l’identité mathématique disant que le sinus d’un angle divisé par le cosinus de ce même angle est égal à la tangente de l’angle. Par conséquent, le coefficient de frottement mu est égal à tangente de thêta. Et à partir de notre croquis en bas à gauche, nous savons que c’est égal à quatre divisé par la racine carrée de 5609.
Nous avons donc maintenant une expression du coefficient de frottement que nous pouvons remplacer dans l’équation de l’accélération de la voiture lorsqu’elle se déplace vers le haut. En faisant cette substitution, nous voyons que les facteurs de la racine carrée de 5609 au numérateur et au dénominateur s’éliminent. Et nous constatons que l’accélération de la voiture dans la direction 𝑥 lorsqu’elle se déplace vers le haut vaut huit soixante-quinzièmes fois l’accélération due à la gravité. Nous avons fait de grands progrès, mais nous voulons toujours savoir quelle est la distance parcourue par la voiture avant de s’arrêter. Pour la trouver, nous pouvons noter que puisque la voiture accélère à un rythme constant, son mouvement est décrit par ce qu’on appelle les équations du mouvement.
L’une de ces quatre équations nous dit que la vitesse finale d’un objet au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération multipliée par son déplacement. Dans notre scénario, puisque la voiture s’arrête à la fin, nous savons que 𝑣 indice f est égal à zéro. Nous pouvons donc écrire que zéro est égal à 𝑣 indice zéro carré plus deux fois 𝑎 fois 𝑑 ou que 𝑑 est égal à moins 𝑣 indice zéro carré sur deux fois 𝑎. Notez qu’il y a un signe moins dans ce résultat. Il est là parce que, techniquement, nous calculons un déplacement plutôt qu’une distance. Pour calculer une distance, il suffit de prendre la valeur absolue de cette fraction.
En introduisant les valeurs de 𝑣 zéro et 𝑎 et en laissant de côté leurs unités, nous obtenons cette expression. Et si nous reconnaissons que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré, alors nous pouvons avancer en calculant la distance 𝑑 que cette voiture parcourt avant de s’arrêter. En entrant cette expression sur une calculatrice, nous obtenons 3,75. Et cette distance est en mètres. Sur cette colline, si la voiture se déplace en montée à une vitesse de 2,8 mètres par seconde et que son moteur s’arrête, elle roule 3,75 mètres de plus avant de s’arrêter.
