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Laquelle des courbes représentatives ci-dessous correspond à 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus cinq ? Le graphique (A), (B), (C), (D) ou (E).
Dans la question, on nous donne cinq graphiques. Nous devons déterminer lequel de ces cinq graphiques représente la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus cinq. Nous pouvons répondre à cette question de plusieurs façons différentes. Par exemple, nous pourrions analyser la fonction 𝑓 de 𝑥 pour déterminer comment tracer la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Il y a beaucoup de choses différentes que nous pourrions vérifier à propos de cette fonction. Nous pourrions par exemple analyser ses dérivées premières et secondes pour déterminer ses intervalles de croissance et de décroissance, ses points critiques et sa convexité. Même si cela fonctionne, cette démarche est très compliquée. Nous pouvons voir en effet qu'il s'agit seulement d’une fonction du second degré.
Puisque nous n'avons aucun terme de degré un dans notre fonction du second degré, nous pouvons tracer le graphique de cette fonction uniquement à l'aide des transformations. Pour cela, nous appelons la fonction 𝑥 au carré 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons alors noter que 𝑓 de 𝑥 est égale à deux fois 𝑔 de 𝑥 plus cinq. Nous multiplions les sorties de 𝑔 de 𝑥 par deux, puis nous ajoutons cinq à ces sorties. En multipliant les valeurs que peut prendre la fonction 𝑔 de 𝑥 par deux, nous obtenons un agrandissement vertical de rapport deux, puis nous ajoutons cinq aux valeurs obtenues, ce qui correspond à une translation verticale de cinq unités dans le sens positif. Nous pouvons donc tracer 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en appliquant ces transformations au graphique 𝑦 égale 𝑥 au carré.
En effet, nous savons que cette courbe a une forme parabolique s'ouvrant vers le haut et qu'elle passe par l'origine. Son graphe ressemble à ce qui suit. Si nous multiplions les valeurs que peut prendre la fonction par deux, son graphique s'étire verticalement de rapport deux. Le déplacement de chaque point de la courbe par rapport à l'axe des 𝑥 est doublé ; nous obtenons ce qui suit. Nous voulons ensuite ajouter cinq aux valeurs que peut prendre la fonction cette fonction. Le graphique sera ainsi déplacé de cinq unités vers le haut. Nous obtenons la courbe suivante. Nous pouvons trouver les coordonnées de l'ordonnée à l'origine 𝑦 de cette courbe.
Étirer la courbe verticalement n'affectera pas son ordonnée à l'origine 𝑦, puis la translater de cinq unités vers le haut fera translater l'ordonnée à l'origine 𝑦 de cinq unités vers le haut. L'ordonnée à l'origine de 𝑦 égale 𝑥 au carré était à zéro, zéro. Ainsi, en déplaçant ce point de cinq unités vers le haut, l'ordonnée à l'origine de 𝑦 sera le point zéro, cinq. Ainsi, notre courbe doit avoir une forme parabolique. Cela ne peut pas être l'option (C) ou (D).
Nous savons que la parabole doit s'ouvrir vers le haut, clae ne peut donc pas être l'option (A). Nous savons que son ordonnée à l'origine est à zéro, cinq, donc cela ne peut pas être l'option (B). Il nous reste donc l'option (E), qui correspond à notre dessin. Nous avons donc pu montrer que, parmi les cinq graphiques donnés suivants, seule l'option (E) représente le graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus cinq.
