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Laquelle des équations suivantes pourrait correspondre à la représentation graphique ci-dessous ? L’option (A) 𝑥 au carré plus 10𝑥 moins 24 égale zéro. L’option (B) moins 𝑥 au carré moins 24𝑥 plus 10 égale zéro. L’option (C) 𝑥 au carré moins 10𝑥 moins 24 égale zéro. L’option (D) 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 24 égale zéro. Ou est-ce l’option (E) 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 24 égale zéro?
Dans cette question, on a cinq équations différentes. Et il faut déterminer laquelle de ces équations est représentée dans la figure donnée. Pour ce faire, on commence par analyser la représentation graphique donnée. La courbe a une forme parabolique et coupe l’axe des 𝑥 en quatre et six.
À ce stade, on note que la parabole s’ouvre vers le haut. Le coefficient directeur de l’équation du second degré doit donc être positif. Ceci n’est vrai que lorsqu’on trace des fonctions du second degré. Dans ce cas, nous traçons les courbes d’équations. Par exemple, on ne peut pas éliminer l’option (B), car en multipliant les deux côtés de l’équation par moins un, on obtient 𝑥 au carré plus 24𝑥 moins 10 égale zéro. C’est une équation équivalente ; toutes ses solutions sont les mêmes. Cependant, la courbe de l’équation du second degré du côté gauche sera reflétée par rapport à l’axe des 𝑥. On ne peut plus utiliser le coefficient directeur pour éliminer les options dans ce cas.
Par contre, on rappelle que l’ordonnée 𝑦 d’un point de la courbe indique la valeur de sortie de la fonction et l’abscisse 𝑥 indique la valeur d’entrée de la fonction. En particulier, les points de la courbe dont les ordonnées 𝑦 sont nulles sont les racines de ces fonction du second degré et les solutions de l’équation. Donc, pour qu’une équation soit représentée par cette courbe, elle doit avoir les solutions 𝑥 égale six et 𝑥 égale quatre.
Ainsi, nous pouvons vérifier laquelle des cinq équations données a des solutions pareilles par substitution. Commençons par l’option (A). On substitue 𝑥 égale quatre dans le membre de gauche de l’équation pour avoir quatre au carré plus 10 fois quatre moins 24. Après calcul, on trouve que c’est égale à 32. Ainsi, quatre n’est pas une solution de cette équation, elle ne peut donc pas être représentée par la courbe donnée.
On peut procéder exactement de la même manière pour l'option (B). On remplace 𝑥 par quatre dans le côté de gauche de l’équation et on obtient moins 102. Comme c’est différent de zéro, on conclut que quatre n’est pas une racine de cette équation du second degré, donc la courbe ne représente pas cette équation.
Nous pouvons suivre le même processus pour l’option (C). On remplace 𝑥 par quatre dans le côté de gauche de l’équation et évaluons pour obtenir moins 48. Puisque le résultat est différent de zéro, on conclut que la courbe ne représente pas cette équation.
En procédant de la même manière pour l’option (D), on obtient que la valeur de sortie de la fonction du second degré en 𝑥 égale quatre est 80. Puisque la valeur de sortie n’est pas nulle, on conclut que le graphique ne représente pas cette équation.
Pour une diligence raisonnable, on applique ce processus à l’option (E). Si nous substituons 𝑥 égale quatre dans le côté de gauche de l’équation et évaluons, on obtient zéro. Donc 𝑥 égale quatre est une solution de cette équation. De même, si on remplace 𝑥 par six dans le côté de gauche de cette équation et évaluons, on trouve zéro. Donc 𝑥 égale six est aussi une solution de cette équation. Par conséquent, seule l’option (E) a les deux racines mentionnées dans la figure. On note également que l’équation est une expression du second degré en 𝑥. Donc la forme de sa courbe sera une parabole.
Par conséquent, on conclut que parmi les cinq options données, seule l’option (E), 𝑥 au carré moins 10𝑥 plus 24 égale zéro, peut être représentée par le graphique.
