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On considère un heptagone régulier d’arête 36 cm. Calculez son aire au centième d’unité près.
Dans cette question, nous devons trouver l’aire d’un heptagone régulier qui a une longueur latérale de 36 centimètres. Nous devons donner notre réponse au centième près. Puisque cette question nous demande de trouver l’aire d’un polygone régulier, nous pouvons le faire en utilisant notre formule pour trouver l’aire des polygones réguliers. Nous rappelons que l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés avec une longueur latérale de 𝑥 est donnée par la formule suivante. Son aire est égale à 𝑛𝑥 au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 divisé par 𝑛.
Il y a quelques points qui méritent d’être soulignés au sujet de cette formule. Tout d’abord, nous prenons notre angle en degrés. Deuxièmement, les unités de notre aire vont être le carré des unités que nous utilisons pour notre longueur. Ainsi, dans notre question, puisque nous prenons la longueur en centimètres, notre aire va être en centimètres carrés. Pour trouver l’aire d’un polygone régulier, il suffit donc de savoir deux choses. Nous devons savoir combien de côtés notre polygone a et nous devons connaître l’une des longueurs des côtés.
Tout d’abord, dans la question, on nous dit que nous travaillons avec un heptagone régulier. Un heptagone est un polygone à sept côtés, notre valeur de 𝑛 va donc être sept. On nous dit également dans la question que la longueur latérale de notre heptagone régulier est de 36. Nous avons donc fixé notre valeur de 𝑥 égale à 36 centimètres. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de substituer ces valeurs dans notre formule. En substituant 𝑛 est égal à sept et 𝑥 est de 36 centimètres dans notre formule, nous obtenons que l’aire de notre heptagone régulier est égale à sept fois 36 centimètres au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 degrés divisé par sept.
Maintenant, nous pouvons commencer à évaluer cette expression. Tout d’abord, bien sûr, puisqu’il s’agit d’une aire et que nous élevons la valeur en centimètres au carré, nos unités seront exprimées en centimètres carrés. Ensuite, nous allons évaluer notre coefficient. Sept multiplié par 36 au carré sur quatre est égal à 2268.
Enfin, nous rappelons que la cotangente d’un angle vaut un divisé par la tangente de cet angle. Nous pouvons donc simplifier la cotangente de 180 divisé par sept degrés pour en faire un divisé par la tangente de 180 divisé par sept degrés. Par conséquent, l’aire de notre heptagone régulier est de 2268 multiplié par un divisé par la tangente de 180 divisé par sept degrés centimètres carrés. Maintenant, nous pouvons calculer cette expression. Bien, nous nous souvenons que nous devons mettre notre calculatrice en mode degrés. Nous obtenons que l’aire est égale à 4709.550 etc centimètres carrés.
Rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse au centième près. Nous regardons donc la troisième décimale dans notre développement et nous voyons qu’elle est égale à zéro. Puisque ce nombre est inférieur à cinq, cela signifie que nous devons arrondir vers le bas. Cela nous donne notre réponse finale. Dans cette question, nous avons pu trouver l’aire d’un heptagone régulier de 36 centimètres de côté. Nous avons pu montrer que son aire au centième près est de 4709.55 centimètres carrés.
