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Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la fonction trois 𝑥 sur huit 𝑥 plus quatre moins sept 𝑥 au carré divisé par deux 𝑥 plus sept au carré.
Tout d’abord, nous écrivons toute la limite. Nous pourrions être tentés d’essayer d’abord de simplifier notre expression en une seule fraction. Mais nous verrons que c’est une approche plus difficile que nécessaire. Pour ce faire, nous voulons que les dénominateurs de la fraction soient égaux. Nous allons utiliser donc le produit en croix. Nous multiplions le numérateur trois 𝑥 par le dénominateur deux 𝑥 plus sept le tout au carré. Nous soustrayons ensuite le numérateur sept 𝑥 au carré multiplié par huit 𝑥 plus quatre. Et notre dénominateur est trouvé en multipliant les deux dénominateurs ensemble. Donc, huit 𝑥 plus quatre multiplié par deux 𝑥 plus sept au carré.
À ce stade, nous allons utiliser notre règle pour déterminer les limites des fonctions rationnelles. Cette règle qui stipule que nous devrions diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 trouvée dans le dénominateur. Nous pouvons donc nous demander quelle est la plus grande puissance de 𝑥 trouvée dans le dénominateur ? Nous voyons que la plus grande puissance de 𝑥 trouvée dans le dénominateur sera obtenue lorsque nous multiplierons huit 𝑥 et deux 𝑥 au carré. Ainsi, la puissance la plus élevée de 𝑥 sera 𝑥 au cube.
Nous allons diviser ensuite le numérateur et le dénominateur par 𝑥 au cube. Bien que cela fonctionne, nous pouvons voir que cela sera lourd en raison de la quantité de termes algébriques présents. Au lieu de cela, nous pourrions recommencer. Sauf que cette fois, nous commencerons par utiliser le fait que la limite de la différence entre deux fonctions est égale à la différence des limites de ces deux fonctions. Cela nous donne la limite de trois 𝑥 sur huit 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Moins la limite de sept 𝑥 au carré sur deux 𝑥 plus sept au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
Maintenant, nous voulons utiliser notre règle de division par la plus grande puissance de 𝑥 trouvée dans le dénominateur pour nous aider à évaluer les deux limites de ces deux fonctions rationnelles. Si nous commençons avec la première limite, nous voyons que le dénominateur est une fonction linéaire. Ainsi, la puissance la plus élevée de 𝑥 est tout simplement 𝑥. Nous allons donc diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑥. Dans la deuxième limite, nous avons un dénominateur de deux 𝑥 plus sept au carré. La plus grande puissance de 𝑥 ici sera obtenu en élevant au carré le deux 𝑥 ce qui donne quatre 𝑥 au carré. Donc, nous avons que la plus grande puissance au dénominateur de notre deuxième limite est 𝑥 au carré. Par conséquent, nous allons diviser le numérateur et le dénominateur de cette limite par 𝑥 au carré.
Nous voyons que le numérateur de notre première limite sera trois 𝑥 sur 𝑥. Et nous pouvons simplifier ce facteur commun 𝑥 pour nous donner trois. Par conséquent, nous pouvons simplement remplacer le numérateur dans notre expression par seulement trois. Le dénominateur de notre première limite sera huit 𝑥 plus quatre sur 𝑥. Nous pouvons diviser cela en la somme de huit 𝑥 sur 𝑥 plus quatre sur 𝑥, ce qui simplifie pour nous donner huit plus quatre sur 𝑥. Nous pouvons donc remplacer le dénominateur dans notre première limite par huit plus quatre sur 𝑥.
Nous passons maintenant à notre deuxième limite. Le numérateur de notre deuxième limite sera sept 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au carré. Et nous pouvons le simplifier en simplifiant le facteur commun 𝑥 au carré, pour nous donner seulement sept. Nous pouvons donc remplacer le numérateur de notre deuxième limite par la valeur sept. Le dénominateur de notre deuxième limite est deux 𝑥 plus sept au carré sur 𝑥 au carré. On peut alors utiliser le fait que 𝑎 plus 𝑏 tout au carré divisé par 𝑐 au carré est égal à 𝑎 plus 𝑏 sur 𝑐 le tout au carré. Pour réécrire notre dénominateur comme deux 𝑥 plus sept sur 𝑥 le tout au carré. Tout comme nous le faisions auparavant, nous pouvons diviser cela en une somme, ce qui nous donne deux 𝑥 sur 𝑥 plus sept sur 𝑥 le tout au carré. Et puis, nous pouvons simplifier le facteur commun 𝑥, ce qui nous donne deux plus sept sur 𝑥 le tout au carré. Et donc nous pouvons remplacer le dénominateur dans notre deuxième limite par deux plus sept sur 𝑥 le tout au carré.
Maintenant, nous pouvons utiliser la règle du quotient pour les limites. Cette règle qui stipule que la limite d’un quotient de deux fonctions est égale au quotient de la limite de ces deux fonctions. Bien que nous puissions l’utiliser pour réécrire notre première limite comme le quotient de deux limites. Cela nous donne la limite de trois divisée par la limite de huit plus quatre sur 𝑥. Et nous pouvons également réécrire notre deuxième limite comme le quotient de deux limites. Cela nous donne la limite de sept lorsque 𝑥 tend vers l’infini divisé par la limite de deux plus sept sur 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Maintenant, nous allons utiliser le fait que, pour toute constante 𝑘, la limite de 𝑘 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est juste égale à 𝑘. Donc, la limite de trois dans notre numérateur est juste égale à trois. Et la limite de sept dans notre numérateur est juste égale à sept.
Nous savons également que la limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme de la limite de ces deux fonctions. Nous pouvons appliquer cela à la limite du dénominateur de notre première fraction pour obtenir la limite de huit lorsque 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de quatre sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Encore une fois, la limite de la constante huit lorsque 𝑥 tend vers l’infini n’est que huit. Nous savons également que, pour toute constante 𝑘, la limite de 𝑘 multipliée par 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑘 multipliée par la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous pouvons utiliser cela pour voir que la limite de quatre sur 𝑥 est égale à quatre multipliée par la limite de un sur 𝑥.
La prochaine chose que nous voulons utiliser est que la limite de la fonction inverse lorsque 𝑥 tend vers l’infini est égale à zéro. Nous pouvons donc évaluer la limite de la fonction inverse dans notre dénominateur à zéro. Ce qui signifie que nous pouvons simplifier le premier dénominateur pour qu’il soit simplement égal à huit. La dernière règle de limite que nous allons utiliser est que la limite d’une puissance est égale à la puissance de la limite. Nous pouvons utiliser cela pour voir que la limite de deux plus sept sur 𝑥 au carré est égale au carré de la limite de deux plus sept sur 𝑥. On peut alors utiliser le fait que la limite d’une somme est égale à la somme des limites pour diviser la limite dans notre dénominateur. Cela nous donne la limite de deux lorsque 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de sept sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini le tout au carré.
Nous savons que la limite de deux lorsque 𝑥 tend vers l’infini est égale à deux. Nous pouvons alors retirer la constante sept de notre limite. En nous donnant sept multiplié par la limite de la fonction inverse lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Et nous savons aussi que nous pouvons évaluer la limite de la fonction inverse lorsque 𝑥 tend vers l’infini comme étant zéro. Cela nous donne un dénominateur de deux plus sept multiplié par zéro le tout au carré, ce qui donne quatre. Cela nous donne que la limite dans notre question est égale à trois 𝑥 moins sept sur quatre, que nous pouvons évaluer pour avoir moins 11 divisé par huit.
Ce qui nous donne que la limite de la fonction trois 𝑥 divisé par huit 𝑥 plus quatre moins sept 𝑥 au carré sur deux 𝑥 plus sept au carré est égale à moins 11 divisé par huit.
