Vidéo : Limite à l’infini et limite infinie

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer les limites d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers l’infini, et nous allons découvrir les limites infinies qui tendent vers l’infini lorsque 𝑥 tend vers une certaine valeur.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir les limites à l’infini et les limites infinies. Nous avons déjà vu ce que signifie la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un certain nombre réel 𝑐. Si la valeur de cette limite est 𝐿, alors cela signifie que si nous choisissons une valeur de 𝑥 assez proche de 𝑐, nous pouvons alors rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le voudrions. Nous pouvons rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement proche de 𝐿. Dans cette vidéo, nous allons interpréter les limites de la forme la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Qu’est-ce que cela signifie pour de telles limites d’avoir comme valeur 𝐿 ?

Nous pouvons simplement essayer de remplacer 𝑐 dans la définition ci-dessus par l’infini. Et donc, nous interprétons cela comme si nous choisissons 𝑥 assez proche de l’infini, nous pouvons alors rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le voudrions. Mais qu’est-ce que signifie pour 𝑥 d’être assez proche de l’infini lorsque l’infini est infiniment loin de toute valeur de 𝑥 que nous pourrions choisir ? Il s’avère qu’au lieu de dire que 𝑥 est assez proche de l’infini, nous devrions dire que la valeur de 𝑥 est assez grande. Ainsi, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini égale 𝐿 signifie que si nous choisissons 𝑥 d’une valeur assez grande, alors nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le voudrions.

En regardant la représentation graphique de la fonction réciproque, nous pouvons voir que si nous choisissons une valeur assez grande de 𝑥, nous pouvons alors rendre la fonction réciproque, une sur 𝑥, aussi proche de zéro que nous le voudrions. Et donc, nous disons que la limite de un sur 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, est zéro. La valeur de cette limite zéro est la valeur de laquelle la fonction un sur 𝑥 se rapproche de plus en plus lorsque 𝑥 augmente sans limite.

Nous pouvons également penser à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini. Cette limite étant 𝐿 signifie que si nous choisissons une valeur assez grande et assez négative de 𝑥, c’est-à-dire que la valeur de 𝑥 est négative mais suffisamment grande, nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le voudrions. Comme avec la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini, nous pouvons penser à cette valeur 𝐿 d’une manière différente. Cette valeur 𝐿 est la valeur de laquelle 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus lorsque 𝑥 diminue sans limite.

Alors, quelle est la limite de un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini ? Eh bien, comme 𝑥 diminue sans limite, un sur 𝑥 se rapproche de plus en plus de zéro. Donc, la valeur de cette limite, encore une fois, est zéro. Ces deux limites sont très utiles à connaître. Il s’avère que les règles des limites que nous avons apprises pour les limites finies, interprétées de manière appropriée, fonctionnent tout aussi bien pour les limites infinies. En utilisant ces règles de limites avec les limites de la fonction réciproque lorsque 𝑥 tend vers l’infini et vers moins l’infini que nous venons de trouver, nous pouvons déterminer la valeur de nombreuses autres limites. Allons voir un exemple.

Trouvez la limite de moins quatre sur 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 plus huit lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

Nous avons ici une limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini, mais toutes les règles normales de limites sont toujours valables. Par exemple, la limite de la somme de fonctions égale la somme des limites. Ainsi, on peut diviser notre limite en trois parties. Elle sera donc égale à la limite de moins quatre sur 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de cinq sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de huit lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

Que peut-on dire de cette limite ? Eh bien, nous savons que la limite d’une constante 𝐾, lorsque 𝑥 tend vers un nombre 𝑐, est juste 𝐾. Et comme pour la règle de limites précédente, cela est vrai, même si 𝑐 n’est pas un nombre réel mais est l’infini ou moins l’infini. La valeur de cette dernière limite est huit.

Qu’en est-il des deux autres limites ? Nous pouvons utiliser le fait que la limite d’un multiple constant d’une fonction est ce multiple constant de la limite de la fonction. La première limite est donc moins quatre fois la limite de un sur 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Et la deuxième est cinq fois la limite de un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Et enfin, nous ajoutons le huit.

Maintenant, il faut savoir la limite de la fonction réciproque un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Sa valeur est zéro. Mais qu’en est-il de la limite de un sur 𝑥 carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini ? Eh bien, nous pouvons utiliser le fait que la limite d’une puissance d’une fonction est cette puissance de la limite de la fonction. Cette limite est la limite de la fonction réciproque un sur 𝑥 au carré, car un sur 𝑥 au carré équivaut à un sur 𝑥 le tout au carré. Et selon notre règle de limites, c’est la limite de un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini le tout au carré. On sait que cette limite vaut zéro. Ainsi, notre limite, la limite de un sur 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini égale aussi zéro.

Nous pouvons généraliser en ce sens que vous obtenez une autre règle de limite d’après laquelle la limite de un sur 𝑥 à la puissance de 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers l’infini égale zéro, du moins si 𝑛 est strictement supérieur à zéro. Notre limite initiale est donc moins quatre fois zéro plus cinq fois zéro plus huit, ce qui n’est bien sûr que huit.

Voyons un autre exemple.

Trouvez la limite de moins deux 𝑥 à la puissance moins quatre plus huit 𝑥 à la puissance moins trois moins 𝑥 à la puissance moins deux plus neuf 𝑥 à la puissance moins un moins quatre le tout sur deux 𝑥 à la puissance moins quatre moins six 𝑥 à la puissance moins trois plus sept 𝑥 à la puissance moins deux plus six 𝑥 à la puissance moins un plus trois, lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

C’est la limite d’un quotient de fonctions. Et nous savons que la limite du quotient de fonctions est le quotient de leurs limites. Donc, nous pouvons trouver les limites du numérateur et du dénominateur séparément, si elles existent. Et comme la limite d’une somme de fonctions est la somme de leurs limites, nous pouvons trouver les limites terme par terme.

Nous avons maintenant beaucoup de limites à évaluer, mais ce sont tous des termes très simples. Et nous pouvons les simplifier en prenant les constantes hors des limites. Puisque la limite d’une constante fois une fonction est cette constante fois la limite de la fonction. Et maintenant, la majorité de nos limites sont sous la forme la limite de 𝑥 à la puissance d’un nombre négatif lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

Quelles sont les valeurs de telles limites ? Eh bien, nous pouvons écrire 𝑥 à la puissance moins 𝑛 comme un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Et pour 𝑛 strictement supérieur à zéro, la valeur est zéro. Toutes ces limites sont alors nulles. Et nous n’avons plus que deux limites à évaluer, qui sont toutes deux les limites des constantes quatre et trois. La limite d’une fonction constante est juste cette constante. Et donc, en faisant bien attention à inclure ce signe moins, nous voyons que la réponse est moins quatre sur trois.

La résolution de ce problème était simple car nous n’avions que des constantes et des puissances négatives au numérateur et au dénominateur. Et nous savons ce que vaut la limite de la puissance négative de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini ; c’est zéro.

Voyons maintenant un exemple où nous n’avons que des puissances négatives.

Trouvez la limite de 𝑥 au carré plus trois le tout sur huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

Notre première pensée pourrait être d’utiliser le fait que la limite d’un quotient est le quotient des limites. Cela nous donne la limite de 𝑥 carré plus trois lorsque 𝑥 tend vers l’infini sur limite de huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Mais nous rencontrons des problèmes parce qu’aucune des limites n’est définie. Au numérateur, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 au carré plus trois ne tend vers aucune valeur réelle, sa valeur grandit de plus en plus sans limite. Et la même chose arrive au dénominateur. Lorsque 𝑥 augmente sans limite, le cube huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un augmente aussi sans limite.

Ou peut-être vous pensez que les deux limites devraient être l’infini. Et ainsi, la limite au côté gauche est l’infini sur l’infini. Mais ceci, tout comme zéro sur zéro, est une forme indéterminée. Et ça ne nous indique pas la valeur de notre limite. Il faut donc utiliser une approche différente.

Le piège dans cette question est de trouver la plus grande puissance de 𝑥 qui apparaît au numérateur ou au dénominateur. Ici c’est 𝑥 au cube. Et ayant trouvé la puissance la plus élevée, nous divisons le numérateur et le dénominateur par cette puissance. Qu’obtenons-nous ? 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au cube est 𝑥 à la puissance moins un. Et trois divisé par 𝑥 au cube est trois 𝑥 à la puissance moins trois. Et au dénominateur, huit 𝑥 au cube divisé par 𝑥 au cube est simplement huit. Neuf 𝑥 divisé par 𝑥 au cube est neuf 𝑥 à la puissance moins deux. Et un divisé par 𝑥 au cube est 𝑥 à la puissance moins trois.

Donc maintenant nous n’avons que des puissances négatives de 𝑥 et une constante au numérateur et au dénominateur. Et par conséquent, lorsque nous appliquons cette règle de limites, nous trouvons que maintenant les limites au numérateur et au dénominateur existent. Déterminons alors leurs valeurs. On peut utiliser le fait que la limite d’une somme de fonctions est la somme de leurs limites. Cela nous permet de trouver la limite de chaque terme séparément. On peut également prendre le coefficient en dehors des limites.

Et maintenant, à part une limite qui est la limite d’une fonction constante et dont la valeur doit donc être huit, toutes les autres limites ont la forme de la limite de 𝑥 à la puissance moins 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Où 𝑛 est bien sûr strictement supérieur à zéro. Et nous connaissons la valeur de telles limites. La valeur est toujours zéro.

Donc, ceci est zéro, et ceci est zéro, et ceci est zéro, et ceci est zéro. En simplifiant, notre réponse est zéro sur huit, ce qui est bien sûr zéro.

Maintenant, lors de la première tentative infructueuse de résoudre de ce problème, nous avons dit que les limites au numérateur et au dénominateur séparément étaient à la fois indéfinies ou infinies. Qu’entendons-nous par la valeur de telles limites peut être infinie ? Allons découvrir cela.

Si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini est l’infini, alors cela signifie que nous pouvons rendre la valeur de 𝑓 de 𝑥 arbitrairement grande en choisissant une valeur de 𝑥 assez grande. Supposons que vous voulez que 𝑓 de 𝑥 soit strictement supérieure à un milliard. Eh bien, il y a une valeur telle que si nous choisissons 𝑥 strictement supérieure à cette valeur, alors 𝑓 de 𝑥 sera strictement supérieure à un milliard tel que requis. Une autre façon de penser à cela est qu’au-delà d’un certain point, lorsque 𝑥 augmente sans limite, 𝑓 de 𝑥 augmente également sans limite.

De même, la limite de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, étant moins infini, cela signifie que lorsque 𝑥 augmente sans limite, 𝑓 de 𝑥 diminue sans limite. Et pour que tout soit complet, nous écrivons les significations lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini aussi. Voyons un exemple.

Trouvez la limite de six 𝑥 sur au carré sur 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

Il y a différentes façons de trouver cette limite. Une méthode consiste à examiner la représentation graphique de 𝑦 égale six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six. Il semble que lorsque 𝑥 augmente sans limite, six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six augmentent également sans limite. En conséquence, on peut dire que cette limite est l’infini. Mais vous pourriez ne pas être convaincus. Peut-être que la courbe représentative se comporte de manière de légèrement différente plus loin le long de l’axe des 𝑥.

Nous pouvons également effectuer une division polynomiale pour déterminer six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six égale six 𝑥 plus 36 plus 216 sur 𝑥 moins six. Et il est facile de prendre des limites du côté droit. Nous pouvons le faire terme par terme. La limite de six 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini doit être l’infini. Lorsque 𝑥 augmente sans limite, six 𝑥 augmente aussi sans limite. La limite de 36 lorsque 𝑥 tend vers l’infini, est juste 36. C’est la limite d’une constante.

Et la dernière limite pourrait être un peu plus délicate. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 que nous voyons ; c’est 𝑥. La limite d’un quotient est le quotient des limites. Et la limite au numérateur est zéro et au dénominateur est un. Donc, la valeur de cette limite est zéro. Notre limite est donc l’infini plus 36. Et quand nous traitons des limites, c’est tout à fait bon de dire que l’infini plus 36 égale l’infini, ce qui donne une autre voie d’obtenir cette réponse.

Bon, voyons un dernier problème.

Déterminez la limite de neuf moins huit 𝑥 plus six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au cube lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini.

La première chose que nous pourrions être tentés de faire est d’écrire cette limite de somme comme la somme de certaines limites. Nous pouvons ensuite évaluer chacune de ces limites une par une. La limite de la fonction constante neuf n’est que de neuf. Que pouvons-nous dire de la limite de huit 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini ? Eh bien, avec la courbe représentative de 𝑦 égale huit 𝑥 en tête, on peut voir que lorsque 𝑥 diminue sans limite, 𝑦 aussi diminue sans limite. Et ainsi, la limite de huit 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini est moins l’infini.

Qu’en est-il de la limite de six 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini ? Encore une fois, nous avons la représentation graphique en tête, et nous voyons que lorsque 𝑥 diminue sans limite, 𝑦 augmente sans limite. Donc, cette limite est l’infini. Et enfin, la limite de deux au cube lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini, nous savons à quoi ressemble une courbe cubique. Et nous voyons que lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini, 𝑦 tend également vers moins l’infini. Cette limite est moins l’infini.

Il semble donc que notre limite égale neuf moins moins l’infini plus l’infini moins moins l’infini. Et si nous traitons l’infini comme un nombre, nous pouvons écrire moins moins l’infini comme plus l’infini, ce qui donne neuf plus l’infini plus l’infini plus l’infini. Et cette somme est égale à l’infini. Maintenant, nous devons être un peu prudent avec la manipulation de l’infini de cette manière. Mais il s’avère que toutes ces étapes sont acceptables dans cette situation. Nous avons eu la chance de ne pas avoir de signe moins à la fin, car l’infini moins l’infini n’est pas défini.

Pour diverses raisons, il serait peut-être intéressant de voir comment résoudre ce problème d’une façon différente. Au lieu de cela, nous factorisons en prenant la puissance la plus élevée de 𝑥, c’est-à-dire 𝑥 au cube, de l’intérieur de la limite. Cela nous donne la limite de 𝑥 au cube fois neuf 𝑥 à la puissance moins trois moins huit 𝑥 à la puissance moins deux plus six 𝑥 à la puissance moins un moins deux lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini. La limite d’un produit est le produit des limites.

Maintenant, quelle est la limite de 𝑥 au cube lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini ? Eh bien, nous pouvons légèrement modifier notre graphique et appeler ceci la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑥 au cube. Et nous verrons que cette limite est moins l’infini. Qu’en est-il de cette limite ? Eh bien, ces termes avec des puissances négatives de 𝑥 ne contribuent en rien, et nous n’avons donc plus que la limite de moins deux lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini. Et ce n’est bien sûr que moins deux. La seule manipulation de l’infini qu’il faut faire est de multiplier moins l’infini par moins deux. Les signes moins s’annulent. Et nous obtenons l’infini.

Alternativement, nous aurions pu factoriser le terme entier moins deux 𝑥 au cube de la limite. Et la valeur de la deuxième limite de notre produit serait alors un. Nous pouvons facilement montrer que la première limite du produit est l’infini. Et vous aurez peut-être une plus grande tendance à croire que l’infini fois un est l’infini que de croire que moins l’infini multiplié par moins deux est l’infini.

En utilisant cette méthode, nous pouvons montrer que la limite d’un polynôme, lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, n’est que la limite du terme de plus haut degré de ce polynôme lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. Ensuite, tout ce qu’il faut faire c’est d’observer ou d’imaginer la représentation graphique de cette fonction monôme.

Voyons les points clés que nous avons abordés dans cette vidéo. Nous pouvons considérer les limites sous la forme de limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. Et dans ces cas, les règles sur les limites sont toujours valables. La limite de la fonction réciproque un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est zéro. Et par conséquent, en combinant cela avec l’une des règles sur les limites, nous voyons que la limite de un sur 𝑥 à la puissance 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini égale aussi zéro, si 𝑛 est strictement supérieur à zéro.

Nous pouvons déterminer les limites des fonctions rationnelles en divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 et en utilisant le résultat ci-dessus. Et de la même façon, nous pouvons montrer que la limite d’un polynôme lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini n’est que la limite de son terme de plus haut degré. Il faut être prudent en travaillant avec l’infini. Mais avec quelques exceptions, par exemple, les formes indéterminées telles que l’infini sur l’infini et l’infini moins l’infini, l’infini peut être traité comme un nombre réel dans le contexte des limites.

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