Vidéo de la leçon : Limites à l’infini Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment étudier les limites d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers l’infini.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier les limites à l’infini et les limites infinies. Nous avons appris précédemment ce que signifie la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers un certain nombre réel 𝑐. Si la valeur de cette limite est 𝐿, cela signifie que si nous choisissons une valeur de 𝑥 suffisamment proche de 𝑐, nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le souhaitons. Nous pouvons obtenir une valeur de 𝑓 de 𝑥 infiniment proche de 𝐿. Dans cette vidéo, les limites que nous étudierons seront toutes de la forme la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Que cela signifie-t-il si la valeur d’une telle limite est 𝐿?

Pour répondre à cette question, nous pouvons essayer de remplacer 𝑐 par l’infini dans la définition ci-dessus. Cela nous donne la définition suivante: si nous choisissons une valeur de 𝑥 suffisamment proche de l’infini, nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le souhaitons. Mais cela a-t-il un sens de parler d’une valeur de 𝑥 «suffisamment proche de l’infini», puisque l’infini est infiniment éloigné de toute valeur de 𝑥 que nous pourrions choisir? Au lieu de parler d’une valeur de 𝑥 suffisamment proche de l’infini, nous devrions plutôt parler d’une valeur de 𝑥 suffisamment grande. Donc lorsqu’on dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini est égale à 𝐿, cela signifie que si nous choisissons une valeur de 𝑥 suffisamment grande, nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le souhaitons.

En examinant le graphique de la fonction inverse, nous pouvons voir que si nous prenons une valeur de 𝑥 suffisamment grande, nous pouvons rendre la fonction inverse, un sur 𝑥, aussi proche de zéro que nous le souhaitons. Nous pouvons donc dire que la limite de un sur 𝑥, quand 𝑥 tend vers l’infini, est égale zéro. La valeur de cette limite, c’est-à-dire zéro, est la valeur dont la fonction un sur 𝑥 se rapproche de plus en plus l 𝑥 augmente sans limite.

Nous pouvons également considérer la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers moins l’infini. Si cette limite est égale à 𝐿, cela signifie que si nous choisissons une valeur de 𝑥 suffisamment grande et négative, c’est-à-dire une valeur de 𝑥 négative mais suffisamment grande en valeur absolue, alors nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche de 𝐿 que nous le souhaitons. Tout comme pour la limite en plus l’infini, il existe une autre façon de voir cette valeur 𝐿. 𝐿 est la valeur dont 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus quand 𝑥 diminue sans limite.

Alors quelle est la limite de un sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers moins l’infini? Quand 𝑥 diminue sans limite, un sur 𝑥 se rapproche de plus en plus de zéro. Donc cette limite est elle aussi égale à zéro. Il est important de connaître ces deux limites. Si nous les interprétons de manière appropriée, les propriétés que nous avons apprises pour les limites en un point fini s’appliquent également aux limites à l’infini. En combinant ces propriétés des limites à la limite de la fonction inverse quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, dont nous venons de déterminer la valeur, nous pouvons calculer de nombreuses autres limites. Voyons un exemple.

Calculez la limite de moins quatre sur 𝑥 au carré plus cinq sur 𝑥 plus huit quand 𝑥 tend vers l’infini.

Dans cette question, nous avons une limite à l’infini, mais nous savons que les propriétés habituelles des limites restent valables. Par exemple, nous pouvons utiliser le fait que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites. Cette propriété nous permet de séparer notre limite en trois limites. Nous avons alors la limite de moins quatre sur 𝑥 au carré quand 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de cinq sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini plus la limite de huit quand 𝑥 tend vers l’infini.

Que pouvons-nous dire de cette limite? Nous savons que la limite d’une constante 𝐾, quand 𝑥 tend vers un nombre réel 𝑐, est simplement égale à 𝐾. Comme la propriété précédente, la propriété de la limite d’une constante reste vraie si 𝑐 n’est pas un réel mais l’infini ou moins l’infini. Donc cette dernière limite est simplement égale à huit.

Que pouvons-nous dire des deux autres limites? Nous pouvons utiliser le fait que la limite d’une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la limite de la fonction. Par conséquent, la première limite est égale à moins quatre fois la limite de un sur 𝑥 au carré quand 𝑥 tend vers l’infini. Et la seconde limite est égale à cinq fois la limite de un sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini. Et pour finir, nous additionnons notre huit.

À ce stade, nous devrions connaître par cœur la valeur de la limite de la fonction inverse un sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini. Elle est égale à zéro. Mais qu’en est-il de la limite de un sur 𝑥 au carré quand 𝑥 tend vers l’infini? Nous pouvons utiliser le fait que la limite de la puissance d’une fonction est égale à la puissance de la limite de cette fonction. Cette limite est la limite de la fonction inverse un sur 𝑥 au carré, car un sur 𝑥 au carré est égal à un sur 𝑥, le tout au carré. Donc d’après notre propriété, nous pouvons dire qu’il s’agit de la limite de un sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini élevée au carré. Nous savons que cette limite est égale à zéro. Par conséquent, notre limite, la limite de un sur 𝑥 au carré quand 𝑥 tend vers l’infini, est elle aussi égale à zéro.

Nous pouvons généraliser ce résultat pour obtenir une autre propriété des limites: la limite quand 𝑥 tend vers l’infini de un sur 𝑥 puissance 𝑛 est égale à zéro pour tout 𝑛 supérieur à zéro. Ainsi, notre limite initiale est égale à moins quatre fois zéro plus cinq fois zéro plus huit, ce qui est bien sûr égal à huit.

Voyons un autre exemple.

Calculez la limite de moins deux 𝑥 puissance moins quatre plus huit 𝑥 puissance moins trois moins 𝑥 puissance moins deux plus neuf 𝑥 puissance moins un moins quatre sur deux 𝑥 puissance moins quatre moins six 𝑥 puissance moins trois plus sept 𝑥 puissance moins deux plus six 𝑥 puissance moins un plus trois quand 𝑥 tend vers l’infini.

On nous demande de calculer la limite d’un quotient de fonctions. Nous savons que la limite d’un quotient de fonctions est égale au quotient de leurs limites. Nous pouvons donc déterminer les limites du numérateur et du dénominateur séparément, si ces limites existent. Par ailleurs, nous savons que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites des fonctions, donc nous pouvons déterminer la limite de chaque terme séparément.

Nous avons maintenant un grand nombre de limites à évaluer, mais elles ne contiennent qu’un seul terme très simple. Et nous pouvons les simplifier encore un peu en sortant toutes les constantes des limites. Nous savons en effet que la limite d’une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la limite de la fonction. À présent, presque toutes nos limites sont de la forme la limite d’une puissance négative de 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini.

Comment calculer ces limites? Eh bien, 𝑥 puissance moins 𝑛 peut s’écrire un sur 𝑥 puissance 𝑛. Nous savons que cette limite est égale à zéro pour tout 𝑛 supérieur à zéro. Ce qui signifie que toutes ces limites sont égales à zéro. Il ne nous reste plus que deux limites à évaluer et ce sont toutes les deux des limites de constantes: la limite de quatre et la limite de trois. Nous savons que la limite d’une fonction constante est simplement égale à cette constante. Donc en faisant attention à bien inclure ce signe moins, nous obtenons une réponse de moins quatre sur trois.

Nous avons résolu ce problème sans difficulté car au numérateur comme au dénominateur, nous n’avions que des constantes et des puissances négatives de 𝑥. Et nous savons que la limite à l’infini d’une puissance négative de 𝑥 est toujours égale à zéro.

Voyons maintenant un exemple dans lequel toutes nos puissances de 𝑥 ne seront pas négatives.

Calculez la limite de 𝑥 au carré plus trois sur huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un quand 𝑥 tend vers l’infini.

La première chose qui nous vient en tête est probablement d’utiliser le fait que la limite d’un quotient est égale au quotient des limites. Nous obtiendrions alors la limite de 𝑥 au carré plus trois quand 𝑥 tend vers l’infini sur la limite de huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un quand 𝑥 tend vers l’infini. Mais il y a un problème: aucune de ces deux limites n’est définie. Au numérateur, quand 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 au carré plus trois ne tend pas vers une valeur réelle, mais augmente sans limite. Et il se passe la même chose au dénominateur. Quand 𝑥 augmente sans limite, le polynôme du troisième degré huit 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 plus un augmente sans limite lui aussi.

Voyons ce qui se passe si nous écrivons que ces deux limites sont égales à l’infini Notre limite initiale devient l’infini sur l’infini. Mais tout comme zéro sur zéro, l’infini sur l’infini est une forme indéterminée. Donc cette méthode ne nous permet pas de déterminer la valeur de notre limite. Nous devons utiliser une autre approche.

Dans un cas comme celui-ci, l’astuce consiste à identifier la plus grande puissance de 𝑥 qui apparaît au numérateur ou au dénominateur. Dans notre cas, il s’agit de 𝑥 au cube. Après avoir identifié la plus grande puissance de 𝑥, nous l’utilisons pour diviser le numérateur et le dénominateur. Qu’obtenons-nous? 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au cube est égal à 𝑥 puissance moins un. Trois divisé par 𝑥 au cube est égal à trois 𝑥 puissance moins trois. Au dénominateur, huit 𝑥 au cube divisé par 𝑥 au cube est égal à huit. Neuf 𝑥 divisé par 𝑥 au cube est égal à neuf 𝑥 puissance moins deux. Et un divisé par 𝑥 au cube est égal à 𝑥 puissance moins trois.

À l’exception d’une constante au dénominateur, notre limite ne contient maintenant plus que des puissances négatives de 𝑥. Et par conséquent, si nous essayons à nouveau d’appliquer cette propriété des limites, nous constatons cette fois-ci que les limites du numérateur et du dénominateur existent. Calculons leurs valeurs. Nous pouvons utiliser le fait que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites. Cela nous permet de déterminer la limite de chaque terme séparément. Nous pouvons également sortir les coefficients des limites.

À l’exception de cette limite, qui est la limite de la fonction constante égale à huit et qui est elle-même égale à huit, toutes nos limites sont maintenant de la forme la limite de 𝑥 puissance moins 𝑛 quand 𝑥 tend vers l’infini. 𝑛 étant bien sûr supérieur à zéro. Et nous savons quelle est la valeur des limites de cette forme. Elles sont toujours égales à zéro.

Donc cette limite est égale à zéro, mais aussi celle-ci, celle-ci et celle-là. En simplifiant, nous obtenons une réponse de zéro sur huit, ce qui est bien sûr égal à zéro.

Lorsque nous avions essayé une première fois de résoudre le problème, sans succès, nous avions trouvé que les limites du numérateur et du dénominateur étaient toutes les deux indéfinies, ou infinies. Mais lorsqu’on dit que la valeur d’une limite à l’infinie peut être infinie, qu’entend-on par là? Découvrons-le.

Si la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini est égale à l’infini, cela signifie que nous pouvons rendre 𝑓 de 𝑥 aussi grand que nous le souhaitons en choisissant 𝑥 suffisamment grand. Imaginons par exemple que nous voulions que 𝑓 de 𝑥 soit supérieur à un milliard. Eh bien, il existe un réel tel que si nous choisissons une valeur de 𝑥 supérieure à ce réel, alors 𝑓 de 𝑥 est supérieur à un milliard, comme nous le souhaitions. Nous pouvons le formuler autrement en disant qu’au-delà d’un certain point, lorsque 𝑥 augmente sans limite, 𝑓 de 𝑥 augmente également sans limite.

De la même manière, si la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini est égale à moins l’infini, alors cela signifie que lorsque 𝑥 augmente sans limite, 𝑓 de 𝑥 diminue sans limite. Pour compléter nos définitions, nous écrivons les significations lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini. Voyons un exemple.

Déterminez la limite de six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six quand 𝑥 tend vers l’infini.

Il y a plusieurs façons de déterminer cette limite. L’une d’elles consiste à observer le graphique de 𝑦 égale six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six. Sur le graphique, il semble que lorsque 𝑥 augmente sans limite, six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six augmente également sans limite. Nous en déduisons que cette limite est égale à l’infini. Mais en sommes-nous bien certains? Il se pourrait que la courbe change de comportement plus loin sur l’axe des 𝑥.

Une autre méthode serait d’utiliser la division polynomiale pour déterminer que six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six est égal à six 𝑥 plus 36 plus 216 sur 𝑥 moins six. Cela nous donne une limite que nous savons déterminer sans problème. Nous pouvons la calculer terme par terme. La limite de six 𝑥 quand 𝑥 tend vers l’infini est égale à l’infini. En effet, lorsque 𝑥 augmente sans limite, six 𝑥 fait de même. La limite de 36 quand 𝑥 tend vers l’infini est égale à 36. Il s’agit d’une simple limite de constante.

La dernière limite est légèrement plus complexe. Nous commençons par diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 que nous voyons, 𝑥. La limite d’un quotient est égale au quotient des limites. La limite du numérateur est égale à zéro et celle du dénominateur est égale à un. Donc cette limite est égale à zéro. Et par conséquent, notre limite initiale est égale à l’infini plus 36. Dans le contexte des limites, il est correct de dire que l’infini plus 36 est égal à l’infini, ce qui conclut notre seconde méthode de résolution.

Étudions un dernier problème.

Calculez la limite de neuf moins huit 𝑥 plus six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au cube quand 𝑥 tend vers moins l’infini.

Notre premier réflexe est certainement de réécrire cette limite d’une somme sous la forme d’une somme de limites. Nous pouvons maintenant calculer chacune de ces limites séparément. La limite de la fonction constante égale à neuf est simplement neuf. Que pouvons-nous dire de la limite de huit 𝑥 quand 𝑥 tend vers moins l’infini? En nous remémorant le graphique de 𝑦 égale huit 𝑥, nous constatons que lorsque 𝑥 diminue sans limite, 𝑦 diminue également sans limite. Donc la limite de huit 𝑥 quand 𝑥 tend vers moins l’infini est égale à moins l’infini.

Qu’en est-il de la limite de six 𝑥 au carré quand 𝑥 tend vers moins l’infini? À nouveau, nous nous remémorons le graphique de la fonction et nous constatons que lorsque 𝑥 diminue sans limite, 𝑦 augmente sans limite. Donc cette limite est égale à l’infini. Enfin, pour la limite de deux 𝑥 au cube quand 𝑥 tend vers moins l’infini, nous nous visualisons l’allure d’une fonction cubique. Nous pouvons alors voir que lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini, 𝑦 tend également vers moins l’infini. Cette limite est égale à moins l’infini.

Donc notre limite initiale est égale à neuf moins moins l’infini plus l’infini moins moins l’infini. En traitant l’infini comme un nombre, moins moins l’infini devient plus l’infini, et notre limite devient neuf plus l’infini plus l’infini plus l’infini. Cette somme est égale à l’infini. Notons cependant qu’il faut toujours être prudents lorsque nous manipulons l’infini de cette manière. Il s’avère que dans cette situation, toutes nos étapes étaient correctes. Cependant, nous avons eu la chance de ne pas avoir de signe moins dans notre somme finale, car l’infini moins l’infini n’est pas défini.

Pour diverses raisons, il serait donc utile de voir comment résoudre ce problème autrement. Cette fois-ci, nous factorisons l’expression à l’intérieur de la limite par sa plus grande puissance de 𝑥, 𝑥 au cube. Cela nous donne la limite de 𝑥 au cube multiplié par neuf 𝑥 puissance moins trois moins huit 𝑥 puissance moins deux plus six 𝑥 puissance moins un moins deux quand 𝑥 tend vers moins l’infini. La limite d’un produit est égale au produit des limites.

Quelle est la limite de 𝑥 au cube quand 𝑥 tend vers moins l’infini? Nous pouvons modifier légèrement notre courbe pour obtenir la courbe de 𝑦 égale 𝑥 au cube. Nous pouvons alors voir que cette limite est égale à moins l’infini. Qu’en est-il de cette limite? Ces puissances négatives de 𝑥 ne contribuent pas à la limite, donc nous pouvons les éliminer pour obtenir la limite de moins deux quand 𝑥 tend vers moins l’infini. Et cette limite est bien sûre égale à moins deux. Il nous reste plus qu’à multiplier moins l’infini par moins deux. Les deux signes moins deviennent un signe plus. Nous obtenons alors l’infini.

Nous aurions aussi pu factoriser par le terme moins deux 𝑥 au cube en entier, puis le sortir de la limite. Dans ce cas, la seconde limite de notre produit de limites aurait simplement été égale à un. Il est facile de montrer que la première limite du produit est égale à l’infini. Et il est certainement plus facile de concevoir que l’infini fois un égale l’infini, plutôt que moins l’infini fois moins deux égale l’infini.

Avec cette méthode, nous pouvons montrer que la limite d’un polynôme quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est simplement égale à la limite quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini du terme de plus haut degré de ce polynôme. Il ne nous reste ensuite plus qu’à regarder ou imaginer la courbe de ce monôme.

Récapitulons les points clés de cette vidéo. Certaines limites sont de la forme la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. Les propriétés des limites s’appliquent également à ces limites. La limite de la fonction inverse un sur 𝑥 quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est égale à zéro. En combinant ce résultat à l’une des propriétés des limites, nous pouvons montrer que la limite de un sur 𝑥 puissance 𝑛 quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est elle aussi égale à zéro pour tout 𝑛 supérieur à zéro.

Nous pouvons déterminer la limite d’une fonction rationnelle en divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 et en utilisant ensuite le résultat précédent. De la même manière, nous pouvons montrer que la limite d’un polynôme quand 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini est simplement égale à la limite de son terme de plus haut degré. Il faut faire attention lorsque nous manipulons l’infini. Mais dans le contexte des limites, hormis quelques exceptions telles que les formes indéterminées l’infini sur l’infini et l’infini moins l’infini, nous pouvons manipuler l’infini comme s’il s’agissait d’un réel.

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