Fiche explicative de la leçon: Limites à l’infini

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment étudier les limites d'une fonction lorsque tend vers l'infini.

La limite d’une fonction à l’infini décrit le comportement des valeurs images par la fonction lorsque tend vers l’infini. Contrairement à la limite d’une fonction en un point particulier, la méthode de substitution directe n’est pas une méthode valide pour ces limites car l’infini n’est pas un nombre. À la place, nous devons considérer le comportement de l’image par la fonction lorsque devient plus grand sans qu’il y ait de limite.

Considérons un exemple réel concernant un élément radioactif dans un objet. Nous savons que les éléments radioactifs se dégradent (exponentiellement) au cours du temps ; par conséquent, l’élément radioactif dans un objet disparaît progressivement au cours du temps. Si l’on note la quantité (masse) de l’élément radioactif dans l’objet à un instant donné , cela signifie que la valeur de tendra vers zéro lorsque tend vers l’infini positif. Cela motive la définition de limite à l’infini.

Définissons formellement la limite à l’infini.

Définition : Limite à l’infini

Si les valeurs de s’approchent d’une valeur finie lorsque la valeur de tend vers l’infini, alors on dit que la limite de lorsque se rapproche de l’infini positif existe et est égale à et on note

Si les valeurs de augmentent (ou diminuent) sans limite lorsque tend vers l’infini, alors on dit que la limite de à l’infini est égale à l’infini positif (ou négatif) respectivement.

Nous notons que toutes les lois relatives aux limites concernant la limite d’une somme, d’une différence, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions s’appliquent exactement de la même manière pour la limite à l’infini.

Règle : Lois sur les limites

Soit et des expressions de fonctions dont les domaines de définition s’étendent à l’infini positif et soit une constante non nulle. Alors, les identités suivantes sont valables tant que le membre droit de l’équation n’est pas une forme indéterminée du type, , ou :

Voyons comment la limite à l’infini est vue dans la représentation graphique d’une fonction d’expression .

Pour trouver la limite de cette fonction à l’infini, nous devons déterminer la valeur de laquelle s’approche lorsque tend vers l’infini. Cela signifie que nous considérons l’ordonnée des points sur la courbe lorsque nous nous déplaçons vers le bord droit du graphique. En suivant la courbe donnée de cette manière, l’ordonnée des points sur la courbe conduisent au nombre 2. Cela nous dit que

Cette limite à l’infini est étroitement liée à une asymptote horizontale de la courbe de la fonction, qui est la droite horizontale de laquelle la courbe s’approche lorsque nous nous déplaçons vers la droite ou la gauche.

Définition : Limite à l’infini et asymptotes horizontales

Disons que la limite de la fonction d’expression à l’infini existe et est donnée par

Alors, la courbe d’équation a une asymptote horizontale

Comme que nous avons constaté plus tôt que , on peut conclure que est une asymptote horizontale de cette fonction, comme indiqué ci-dessous.

On peut aussi comprendre la limite à l’infini en regardant le tableau de valeurs de la fonction lorsque devient plus grand. Par exemple, considérons le tableau de valeurs de la fonction d’expression pour de grandes valeurs.

	1	10	100	1‎ ‎000
	1	0, 1	0, 01	0, 001

D’après le tableau ci-dessus, nous pouvons voir que la valeur tend vers zéro lorsque tend vers l’infini positif. Cela conduit à

Cette limite nous indique également que la courbe d’équation a pour asymptote horizontale comme on peut le voir ci-dessous.

Bien que nous considérions principalement des limites à l’infini positif, nous devons garder à l’esprit que les limites à l’infini négatif peuvent être définies et calculées de la même manière. Pour les limites à l’infini négatif, nous devons suivre les points sur la courbe lorsque nous nous dirigeons vers le bord gauche du graphique.

Par exemple, on peut considérer la partie gauche de la courbe d’équation .

À partir de ce graphique, nous pouvons conclure que l’ordonnée des points sur le graphique tend vers 0 lorsque tend vers l’infini négatif. Nous pouvons écrire cela par

On note que la limite à l’infini négatif de cette fonction est la même que la limite à l’infini positif. Lorsque les limites à l’infini positif et négatif sont identiques, on peut écrire la limite comme . Par exemple, nous avons constaté que

De plus, pour toute constante et un entier positif, on peut appliquer la loi des limites pour les puissances et les multiplications scalaires et écrire

Nous pouvons voir que la conclusion sera la même lorsque nous appliquerons la limite à l’infini négatif. Cela conduit à une règle plus générale, que nous utiliserons pour résoudre divers problèmes de limite à l’infini.

Règle : Limite à l’infini des fonctions inverses

Pour tout nombre réel et entier positif,

Cette règle est très utile pour déterminer la limite à l’infini pour une grande variété de fonctions, comme nous le verrons. Pour illustrer l’idée principale de l’application de cette règle, nous considérerons dans notre premier exemple, la limite à l’infini d’une fonction polynomiale.

Exemple 1: Déterminer les limites de polynômes à l’infini

Considérez le polynôme .

Quelle valeur parmi les suivantes est égale à ?
Déduisez-en .

Réponse

Partie 1

Dans cette partie, nous avons besoin de déterminer la limite d’un polynôme à l’infini. On rappelle que la limite d’une fonction à l’infini décrit le comportement des images par la fonction lorsque augmente sans limite. Lorsque l’on considère substituer une très grande valeur à , disons , le premier terme aura la plus grande valeur des cinq termes de ce polynôme. En effet, ce terme contient le facteur ayant la plus grande puissance de , qui est . Par rapport à ce terme, les quatre autres termes de ce polynôme seront de taille négligeable. Cela conduit à l’idée que la limite de cette fonction à l’infini se comportera comme la limite de à l’infini positif.

Nous pouvons préciser cette idée de manière plus rigoureuse en justifiant ce comportement de manière algébrique. Commençons par factoriser dans le polynôme. On peut écrire

On rappelle que les lois des limites s’appliquent de la même manière pour la limite à l’infini. En utilisant les lois des limites concernant la somme, la différence et le produit d’une de deux fonctions, nous pouvons écrire

On rappelle également que, pour tout nombre réel et un entier positif,

Cela signifie que

Cela conduit à

C’est l’option D.

Partie 2

Dans la partie précédente, nous avons trouvé que la limite donnée à l’infini est la même que

Cette limite décrit le comportement de la fonction d’expression lorsque croît sans limite. Si l’on considère la substitution de plus grandes valeurs de dans cette expression, nous pouvons voir que la valeur obtenue augmentera sans limite. Rappelons que lorsque la valeur de la fonction ne cesse de croître alors que tend vers l’infini, on dit que la limite de la fonction à l’infini est égale à l’infini. Par conséquent,

Cela signifie

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite d’une fonction polynomiale à l’infini en factorisant la plus grande puissance de à partir du polynôme et en appliquant les limites des fonctions inverses à l’infini. En conséquence, nous avons trouvé que la limite de ce polynôme est la même que la limite du terme de plus haut degré, qui est le terme contenant la plus grande puissance de . Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout polynôme en suivant un argument similaire.

Règle : Limite à l’infini d’une fonction polynomiale

Soit l’expression d’une fonction polynomiale donnée par

Alors

Cette limite est égale à l’infini positif ou négatif, si le signe de est respectivement positif ou négatif.

Une idée importante issue de cette règle est qu’un polynôme à l’infini croît de la même manière que le terme de plus haut degré, ou le terme contenant la plus grande puissance de . En utilisant cette idée, nous pouvons également déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Calculer des limites de fonctions rationnelles à l’infini

Considérez la fonction rationnelle d’expression .

Laquelle des valeurs suivantes est égale à ?
Déterminez.

Réponse

Partie 1

Dans cette partie, nous avons besoin de déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini négatif. Puisqu’une fonction rationnelle est un quotient de polynômes, nous pouvons déterminer cette limite en considérant la propriété des polynômes au numérateur et au dénominateur de l’expression de la fonction rationnelle. Nous rappelons que la limite à l’infini d’un polynôme est déterminée par le terme de plus haut degré, ou par le terme de plus grande puissance. Dans le numérateur de la fonction rationnelle donnée, le terme de plus haut degré est , tandis que le terme de plus haut degré du dénominateur est . Par conséquent, la fonction rationnelle donnée doit se comporter à l’infini comme le quotient , qui peut être réduit à une constante .

Rendons cette idée plus rigoureuse en utilisant l’algèbre. On commence par diviser le numérateur et le dénominateur du quotient par la plus grande puissance de , qui est . Cela conduit à

On rappelle que les lois des limites s’appliquent de la même manière à la limite à l’infini. En utilisant les lois des limites concernant la différence et le quotient de deux fonctions, on peut écrire

C’est l’option A.

Partie 2

Dans la partie précédente, nous avons obtenu que la limite donnée à l’infini est égale à

On rappelle que pour tout nombre réel et un entier positif,

Cela signifie que

En substituant ces limites ci-dessus, on obtient

Par conséquent,

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite d’une fonction rationnelle en divisant le numérateur et le dénominateur du quotient par la plus grande puissance de et en appliquant la limite à l’infini des fonctions inverses. Cette méthode peut être utilisée pour différentes fonctions lors de la recherche de la limite à l’infini.

Comment : Déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle

Soit et deux polynômes et soit le degré du dénominateur . Pour déterminer la limite , nous devons

multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par ,
simplifier le numérateur et le dénominateur du quotient,
appliquer la règle et en déduire la réponse.

Nous notons que nous multiplions le numérateur et le dénominateur du quotient par l’inverse de la puissance la plus élevée du dénominateur. Dans l’exemple précédent, cela n’a pas affecté notre méthode car le numérateur et le dénominateur du quotient avaient tous deux le même degré. Lorsque nous avons une fonction rationnelle avec différents degrés, il vaut mieux multiplier par l’inverse de la puissance la plus élevée du dénominateur, pour éviter la situation où nous nous retrouvons avec un zéro au dénominateur.

Dans l’exemple suivant, nous considérerons la limite à l’infini d’une fonction rationnelle où le numérateur et le dénominateur des quotients sont des polynômes de différents degrés.

Exemple 3: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini

Déterminez .

Réponse

Dans cet exemple, nous avons besoin de déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. On rappelle que pour déterminer la limite d’une fonction rationnelle, on peut commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par l’inverse de la plus grande puissance de au dénominateur. Dans la fonction rationnelle donnée, la plus grande puissance de au dénominateur est , de sorte que nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par . Cela conduit à

En appliquant les lois des limites, on peut écrire

On rappelle que pour tout nombre réel et un entier positif,

Cela signifie que

En substituant ces limites ci-dessus, on obtient

Par conséquent,

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle où le numérateur a le degré le plus élevé.

Exemple 4: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini

Déterminez .

Réponse

Dans cet exemple, nous avons besoin de déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. On rappelle que pour déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini, on peut commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par l’inverse de la plus grande puissance de pour le dénominateur. Dans la fonction rationnelle donnée, la plus grande puissance de au dénominateur est , de sorte que nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par . Cela conduit à

En appliquant les lois des limites, on peut écrire

On rappelle que pour tout nombre réel et un entier positif,

Cela signifie que

En substituant ces limites ci-dessus, on obtient

Nous savons que ; par conséquent,

Cela nous donne

Dans les exemples précédents, nous avons trouvé la limite à l’infini de différentes fonctions rationnelles. Un travail plus approfondi de notre méthode conduit à la conclusion générale suivante.

Règle : Limites à l’infini des fonctions rationnelles

Soit et deux polynômes.

Si et sont de mêmes degrés, alors est donnée par le rapport des coefficients de plus hauts degrés, qui sont les coefficients de la puissance la plus élevée de à la fois au numérateur et au dénominateur du quotient.
Si a un degré inférieur à , alors .
Si a un degré plus élevé que , alors est égal à l’infini positif ou négatif.

On aurait pu utiliser cette propriété pour résoudre les exemples précédents plus rapidement. Bien que cette règle soit utile à garder à l’esprit, déterminer la limite de manière algébrique est applicable à une plus grande variété de problèmes. S’habituer à la méthode algébrique de déterminer la limite à l’infini conduira également à une compréhension plus concrète de ce sujet.

Dans l’exemple suivant, nous appliquerons cette règle pour identifier des constantes inconnues dans une fonction à partir de la limite donnée à l’infini.

Exemple 5: Déterminer les inconnus dans une fonction rationnelle étant donnée sa limite à l’infini

Déterminez les valeurs de et , sachant que .

Réponse

Dans cet exemple, on nous donne la limite d’une fonction rationnelle à l’infini. Nous savons que la limite à l’infini d’une fonction rationnelle dépend des degrés des polynômes au numérateur et au dénominateur de l’expression de la fonction. On rappelle la règle de la limite à l’infini des fonctions rationnelles.

Soit et deux polynômes.

Si , alors est égal au rapport des coefficients de plus hauts degrés.
Si , alors .
Si , alors .

En particulier, on note que la limite à l’infini est égale à un nombre fini pour les deux premiers cas. Comme la limite à l’infini dans cet exemple est infinie, notre fonction rationnelle doit appartenir au troisième cas. C’est-à-dire que le degré du polynôme au numérateur est plus grand que le degré du polynôme au dénominateur. Considérons le degré de ces polynômes dans notre fonction.

Le numérateur de notre fonction est , qui est un polynôme de degré 5. Par conséquent, le degré du polynôme au dénominateur doit être inférieur à 5. Le dénominateur de notre fonction est . Si est non nul, le degré de ce polynôme serait égal à 6, qui est supérieur à 5. Ainsi, nous devons avoir ce qui conduit à . Dans ce cas, le premier coefficient est égal à zéro, ce qui signifie que le dénominateur de notre fonction est s’écrit . De même, si est non nul, le degré de ce polynôme est égal à 5, qui est le même degré que le numérateur. Cela ne peut être vrai à partir de la limite donnée à l’infini. Par conséquent, nous devons avoir ce qui conduit à . Cela signifie que le dénominateur de notre fonction est donné par , dont le degré est égal à 4. On note que comme , le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur. Cela place notre fonction dans la troisième catégorie de la règle ci-dessus, dont la conclusion correspond à la limite donnée à l’infini.

Par conséquent,

Nous avons considéré les limites à l’infini des polynômes et des fonctions rationnelles. Dans ces exemples, nous avons utilisé le fait qu’un polynôme à l’infini se comporte comme son terme de plus haut degré. Cette idée était utile pour évaluer les limites à l’infini des fonctions rationnelles.

Une stratégie similaire peut être utilisée dans une fonction où le numérateur ou le dénominateur contient une racine radicale. Dans ce cas, plutôt que de sélectionner le terme de plus haut degré (qui peut se déterminer sous une racine), nous devons identifier le comportement global du numérateur et du dénominateur en considérant la racine. Nous en tiendrons compte dans l’exemple suivant.

Exemple 6: Déterminer la limite d’une combinaison de fonctions racines et polynomiales à l’infini

Déterminez .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite à l’infini d’un quotient. Nous savons que la limite à l’infini positif décrit le comportement de la valeur de la fonction lorsque augmente. Étudions le comportement du numérateur et du dénominateur du quotient séparément pour des valeurs de grandes.

Pour le numérateur, est une racine carrée d’une fonction polynomiale . Nous savons que le polynôme croît de la même manière que son terme de plus haut degré, qui est le terme avec la plus grande puissance de . Dans ce cas, le terme de plus haut degré de ce polynôme est . En utilisant cette idée avec la règle de puissance des limites, nous obtenons

Cela signifie que le numérateur se comporte comme la fonction d’expression lorsque tend vers l’infini.

Ensuite, on considère le dénominateur . Étant donné que le dénominateur est un polynôme avec comme terme de plus haut degré , il se comporte comme à l’infini. Cela conduit à la conclusion que le quotient donné se comporte comme , ce qui se simplifie par la constante .

Nous pouvons rendre cet argument plus rigoureux en utilisant l’algèbre. Nous avons vu que le numérateur et le dénominateur du quotient se comportent comme des produits d’une constante et de . Ainsi, divisons le numérateur et le dénominateur de ce quotient par . Cela conduit à

En utilisant les lois des limites, on peut écrire

On rappelle que pour tout nombre réel et un entier positif,

Cela signifie que

En substituant ces limites ci-dessus, on obtient

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite à l’infini d’une fonction dont le numérateur contenait la fonction racine carrée. On peut utiliser la même stratégie pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction qui contient une différence de racines carrées. À première vue, beaucoup de ces problèmes ne sont pas semblables car ils ne sont pas donnés sous forme de quotient. Mais en multipliant par l’expression conjuguée de l’expression de la racine carrée, nous pouvons écrire ces fonctions sous la forme d’un quotient, ce qui rend la méthode établie précédemment utilisable. Nous considérerons une telle limite dans notre dernier exemple.

Exemple 7: Déterminer la limite des fonctions racines à l’infini en utilisant la rationalisation

Déterminez , si elle existe.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la limite à l’infini d’une fonction. Notre fonction est donnée par une différence de deux fonctions d’expression, et . Ces deux fonctions tendent vers l’infini lorsque tend vers l’infini, ce qui signifie que cette limite peut être écrite de manière symbolique . C’est une forme indéterminée, ce qui signifie que nous sommes incapables de déterminer la valeur de cette limite sous la forme actuelle. Pour déterminer la limite d’une fonction sous une forme indéterminée, nous devons simplifier algébriquement la fonction donnée jusqu’à ce que nous soyons en mesure d’évaluer la limite.

Comme la fonction donnée est la différence entre une fonction racine carrée et un polynôme, on peut penser à la méthode du conjugué, qui est souvent utilisée pour simplifier ces expressions algébriques. Rappelons que le conjugué de l’expression est ; par conséquent, le conjugué de la fonction donnée, d’expression , peut être écrit comme suit

Pour simplifier la fonction donnée, on commence par multiplier la fonction par un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont égaux à l’expression conjuguée :

Pour multiplier par le numérateur de cette fraction, on peut utiliser l’identité remarquable de la différence des carrés : . Comme le carré annule la racine carrée du premier terme, cette expression se simplifie par

Maintenant que nous avons simplifié la fonction donnée, considérons la limite à l’infini. On peut écrire

Nous savons que la limite à l’infini positif décrit le comportement de l’image de par la fonction lorsque que celui-ci devient grand. Examinons le comportement du numérateur et du dénominateur du quotient séparément pour des valeurs de grandes.

Pour déterminer la limite à l’infini d’une fonction du quotient, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par l’inverse du terme de plus haut degré. Le numérateur du quotient est un polynôme, où le terme de plus haut degré est . Dans le dénominateur, nous avons la somme d’une fonction de racine carrée, et d’un polynôme, . Bien que l’expression racine carrée contienne le terme de second degré , ce terme est situé sous la racine carrée, ce qui signifie qu’il se comporte comme , qui a le même degré que le terme de plus haut degré du polynôme. Ainsi, le terme de plus haut degré du dénominateur est également .

Ainsi, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur de ce quotient par , ce qui conduit à

En utilisant les lois des limites, on peut écrire

On rappelle que pour tout nombre réel ,

Cela signifie que

En substituant ces limites ci-dessus, on obtient

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

Si les valeurs de tendent vers une valeur finie lorsque les valeurs de tendent vers l’infini, alors on dit que la limite de à l’infini existe et est égale à et nous notons cela par La limite à l’infini négatif est définie de la même manière.
Si les valeurs de augmentent (ou diminuent) sans limite lorsque tend vers l’infini, alors on dit que la limite de à l’infini est égale à l’infini.
Les lois sur les limites s’appliquent de la même manière pour la limite à l’infini, tant que le membre droit d’une identité ne donne pas une forme indéterminée : , ou .
Une fonction polynomiale à l’infini se comporte comme son terme de plus haut degré, qui est le terme contenant la plus grande puissance de .
Pour toute constante et un nombre positif,
Soit et deux polynômes et soit le degré du dénominateur . Pour déterminer la limite , nous devons
- multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par ,
- simplifier le numérateur et le dénominateur du quotient,
- appliquer la règle et en déduire la réponse.