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Calculez la limite de cinq sur 𝑥 puissance quatre plus huit, lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
Nous prenons 𝑥 tend vers l’infini pour dire que 𝑥 augmente sans limite. Alors, que se passe-t-il lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand ? Bien, pour de très grandes valeurs de 𝑥, 𝑥 puissance quatre est très très très grand. Ainsi, lorsque vous divisez cinq par ce nombre très, très, très grand, vous obtenez quelque chose de très petit. Intuitivement, lorsque 𝑥 augmente, cinq sur 𝑥 puissance quatre devient de plus en plus petit, de plus en plus proche de zéro.
En revanche, ce huit ne change pas. Sa valeur reste la même. Il est donc raisonnable de croire que la valeur de la limite de l’ensemble est de huit. En effet, c’est vrai. Nous pouvons utiliser un graphique de la fonction pour montrer que lorsque 𝑥 augmente sans limite, la valeur de la fonction se rapproche de huit. Nous commençons avec 𝑥 est égal à un. Nous voyons que la valeur de la fonction, qui est représentée par la coordonnée 𝑦 d’un point sur le graphique, se rapproche de plus en plus de huit.
En fait, très bientôt, le graphique de la fonction ne se distingue plus de la droite avec l’équation 𝑦 égale huit. Mais en fait, si vous pouviez zoomer, vous pourriez voir que le graphique de la fonction se trouve légèrement au-dessus de cette droite. En plus de la méthode intuitive un peu lourde et de la méthode graphique, il existe une méthode algébrique avec laquelle vous pourriez être plus à l’aise.
Nous revenons à la limite que nous voulons calculer. Nous utilisons le fait que la limite d’une somme de fonctions est égale à la somme des limites des fonctions, en supposant qu’elles existent toutes les deux. Nous pouvons donc décomposer la limite que nous voulons calculer en deux limites. Nous avons la limite de cinq sur 𝑥 à la puissance quatre, lorsque 𝑥 tend vers l’infini et la limite de huit, lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Cette loi est valable non seulement lorsque 𝑎 est un nombre réel vers lequel 𝑥 approche, mais aussi lorsque 𝑥 tend vers l’infini ou moins l’infini.
Nous pouvons utiliser ici une autre loi des limites pour écrire la limite d’un multiple constant de la fonction comme ce multiple constant de la limite de la fonction. La limite de cinq sur 𝑥 puissance quatre est donc cinq fois la limite de un sur 𝑥 puissance quatre. Il est peut-être évident pour vous en ce moment que la valeur de la limite surlignée est juste zéro. Cependant, nous pouvons utiliser une autre loi des limites selon laquelle la limite d’une puissance de la fonction n’est autre que la puissance de la limite de la fonction.
Nous pouvons donc écrire cette limite en fonction de la limite de la fonction réciproque un sur 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Ici, nous avons également dû utiliser le fait que un sur 𝑥 à la puissance quatre est un sur 𝑥 à la puissance quatre. Nous ne pouvons pas continuer ce processus pour toujours, en reliant notre limite, dont nous voulons trouver la valeur, à d’autres limites, comme la limite de la fonction inverse. Finalement, nous allons devoir calculer certaines limites. Nous utilisons le fait que la limite de la fonction inverse un sur 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, est zéro. La limite de la fonction constante huit, lorsque 𝑥 tend vers une valeur ou même l’infini, n’est autre que la constante huit.
Vous pouvez prendre les valeurs de ces limites comme des lois de limites dans un certain sens. Heureusement, elles sont intuitivement vraies. Cependant, elles peuvent aussi être prouvées rigoureusement en utilisant une définition des limites que vous avez peut-être déjà vue.
Notre dernière étape consiste simplement à calculer. Nous obtenons la valeur huit, comme auparavant. Vous avez peut-être pensé que la valeur de cette limite était évidente dès le départ. Si ce n’est pas le cas, alors espérons que vous avez appris ici à améliorer votre intuition. Cependant, il est important de comprendre que dans ce cas, notre intuition peut être justifiée par les lois des limites qui peuvent ensuite être prouvées rigoureusement en utilisant une autre définition.
