Transcription de la vidéo
Une tangente à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 72 forme un triangle isocèle de sommet l’origine avec les axes 𝑥 et 𝑦 positifs. Quelle est l’équation de cette tangente ?
Commençons par tracer la courbe et la tangente en question. 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale 72 est l’équation d’un cercle ayant son centre à l’origine et un rayon valant la racine de 72 unités. Il y a alors une tangente à ce cercle qui forme un triangle isocèle avec les axes 𝑥 et 𝑦 positifs. Nous savons que ce sont les deux côtés qui se trouvent le long des axes 𝑥 et 𝑦 qui doivent être les deux côtés égaux de ce triangle isocèle. Puisque ce triangle est aussi un triangle rectangle et que dans tout triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long, les deux côtés les plus courts doivent donc être identiques.
Afin de trouver l’équation d’une tangente ou même d’une droite, nous devons connaître sa pente et les coordonnées d’au moins un point qui se trouve sur la droite. Commençons par considérer la pente de cette tangente. La pente de la tangente sera la même que la pente de la courbe au point de contact. Nous ne connaissons pas les coordonnées de ce point, mais commençons par trouver l’équation de la pente de la courbe. Nous le ferons en utilisant la dérivation. Puisque la courbe est définie implicitement, nous devrons utiliser la dérivation implicite lors de la dérivation du deuxième terme par rapport à 𝑥. La dérivation de chaque terme par rapport à 𝑥 donne alors deux 𝑥 plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro.
Nous pouvons isoler d𝑦 sur d𝑥 en soustrayant d’abord deux 𝑥 de chaque côté puis en divisant par deux 𝑦, ce qui donne d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins deux 𝑥 sur deux 𝑦. Enfin, la simplification par un facteur deux donne d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 𝑥 sur 𝑦.
Nous avons donc trouvé une expression pour l’équation de la pente de la courbe, mais nous n’avons pas les coordonnées du point où la tangente rencontre la courbe pour remplacer les inconnues. Cependant, nous savons que le triangle formé par la tangente et les axes 𝑥 et 𝑦 positifs est isocèle. Ainsi, si les coordonnées du point où la tangente coupe l’axe des 𝑥 sont 𝑎, zéro, alors les coordonnées du point où la tangente coupe l’axe des 𝑦 seront égales à zéro, 𝑎 de sorte que les deux segments en rose soient égaux en longueur.
Nous pouvons alors rappeler qu’une autre façon de trouver la pente d’une droite dont nous connaissons deux points est d’utiliser la formule 𝑚 est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. En substituant les deux points avec les coordonnées zéro, 𝑎 et 𝑎, zéro, puis en simplifiant, nous obtenons 𝑚 est égal à moins un.
Nous savons donc maintenant que la pente de la tangente est négative. Afin de trouver son équation, nous devons déterminer les coordonnées du point qui se trouve sur la tangente. Au point où la tangente rencontre la courbe, l’équation de la pente de la courbe doit être égale à la pente de la tangente, que nous savons être négative. Ces deux expressions donnent donc l’équation moins 𝑥 sur 𝑦 est égal à moins un. Multiplier des deux côtés de cette équation par moins 𝑦 donne 𝑥 est égal à 𝑦.
Nous savons maintenant qu’au point où la tangente rencontre la courbe, les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont les mêmes. Nous pouvons donc remplacer 𝑦 au carré par 𝑥 au carré dans l’équation de la courbe pour avoir une équation en 𝑥 seulement, ce qui nous permettra de trouver la coordonnée 𝑥 de ce point. En résolvant cette équation, nous constatons que 𝑥 au carré est égal à 36. 𝑥 est donc égal à la racine carrée de 36, nous prendrons uniquement la solution positive ici car le point se trouve dans le premier quadrant, nous savons donc que 𝑥 est positif. Nous trouvons alors que la coordonnée 𝑥 de ce point est six.
Puisque nous avons déterminé que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont égales en ce point, il s’ensuit que la coordonnée 𝑦 est également égale à six.
Nous avons maintenant déterminé la pente de la tangente et les coordonnées d’un point qui se trouve dessus, nous sommes donc prêts à trouver son équation. En utilisant la forme point-pente de l’équation d’une droite et en substituant moins un à la pente 𝑚 et le point six, six à 𝑥 un, 𝑦 un, nous trouvons que l’équation de la droite est 𝑦 moins six est égal à moins un multiplié par 𝑥 moins six. En développant les parenthèses du côté droit, puis en rassemblant tous les termes du côté gauche de l’équation, nous constatons que l’équation de la tangente est 𝑥 plus 𝑦 moins 12 est égal à zéro.
