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Trouvez l’intégrale définie de zéro à trois de deux 𝑥 sur neuf plus deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 au centième près.
Maintenant, il y a deux façons d’aborder cette question. La première consiste à remarquer que la dérivée par rapport à 𝑥 du dénominateur de cette fraction, qui est neuf plus deux 𝑥 au carré, est quatre 𝑥. Et c’est un multiple scalaire du numérateur de la fraction deux 𝑥, qui nous dit que nous pourrions aborder cette question en utilisant la méthode de changement de variable. Lorsque nous utilisons la méthode d’intégration par changement de variable, nous introduisons une nouvelle variable. Nous allons donc nommer 𝑢 égal à neuf plus deux 𝑥 au carré, le dénominateur de notre fraction.
Nous avons déjà vu que la dérivée de neuf plus deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est quatre 𝑥. Nous avons donc que d𝑢 sur d𝑥 est égal à quatre 𝑥. Maintenant, d𝑢 sur d𝑥 n’est absolument pas une fraction. Mais lorsque nous effectuons cette méthode, nous la traitons un peu comme telle. On peut donc dire que d𝑢 est équivalent à quatre 𝑥 d𝑥. Ou si nous le voulions, nous pourrions diviser les deux côtés de cette équation par deux et dire qu’un demi d𝑢 équivaut à deux 𝑥d𝑥. Maintenant, pourquoi est-ce utile? Eh bien, si nous regardons l’intégrale originale, nous voyons que nous avons deux 𝑥 d𝑥. Et nous venons de voir que cela équivaut à un demi d𝑢. Nous avons également dit que neuf plus deux 𝑥 au carré était équivalent à 𝑢.
Nous savons donc comment changer tout à l’intérieur de notre intégrale pour exprimer tout en fonction de 𝑢 au lieu d’exprimer tout en fonction de 𝑥. En remplaçant un sur neuf plus deux 𝑥 au carré avec un sur 𝑢 puis deux 𝑥 d𝑥 avec un demi d𝑢, notre intégrale devient un sur 𝑢 fois un demi d𝑢. Mais comme il s’agit d’une intégrale définie, nous devons nous rappeler de changer les limites d’intégration de limites exprimées en fonction de la variable 𝑥 à limites exprimées en fonction de la variable 𝑢. Nous allons utiliser la relation que nous avons déjà définie entre 𝑥 et 𝑢. 𝑢 est égal à neuf plus deux 𝑥 au carré.
Donc, pour notre limite inférieure, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑢 est égal à neuf plus deux fois zéro au carré. Cela fait neuf plus zéro, soit neuf. Et donc, la limite inférieure de notre intégrale en fonction de 𝑢 est neuf. Pour la limite supérieure, lorsque 𝑥 est égal à trois, 𝑢 est égal à neuf plus deux fois trois au carré. C’est neuf plus deux fois neuf ou neuf plus 18, soit 27. Et donc, la limite supérieure de notre intégrale en termes de 𝑢 est 27. Nous avons maintenant l’intégrale définie de 9 à 27 de un sur 𝑢 un demi d𝑢. Nous pouvons amener ce facteur constant de un demi au début de l’intégrale si nous le souhaitons. Et nous pouvons écrire un sur 𝑢 comme 𝑢 à la puissance moins un si cela aide, donnant la moitié de l’intégrale de neuf à 27 de 𝑢 à la puissance moins un par rapport à 𝑢.
Maintenant, pour effectuer cette intégration, nous devons rappeler que lorsque nous intégrons 𝑢 à la puissance moins un par rapport à 𝑢, nous obtenons un logarithme naturel. L’intégrale de 𝑢 à la puissance moins un est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢. Nous avons donc que l’intégrale est égale à la moitié du logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 évaluée entre neuf et 27. La substitution des limites donne la moitié du logarithme naturel de la valeur absolue de 27 moins le logarithme naturel de la valeur absolue de neuf. Mais comme 27 et neuf sont tous deux des valeurs positives, leurs valeurs absolues sont égales à elles-mêmes. Donc, en fait, nous pouvons supprimer les signes de valeur absolue.
Enfin, nous pouvons utiliser les lois des logarithmes pour réécrire ceci comme la moitié du logarithme naturel de 27 sur neuf, et 27 sur neuf est, bien sûr, juste trois. Nous avons donc que cette intégrale est égale à la moitié du logarithme naturel de trois. On nous a demandé de donner la réponse au centième près. Donc, à l’aide d’une calculatrice, nous obtenons 0,5493. Et au centième près, c’est 0,55.
Notez que parce que nous avons changé les limites de notre intégrale aux limites en fonction de 𝑢 plutôt que des limites en fonction de 𝑥, il n’était pas nécessaire d’inverser notre substitution à la fin.
Maintenant, c’est une façon parfaitement valable d’aborder cette question: la méthode d’intégration par changement de variable. Mais en fait, il existe un moyen plus rapide si nous reconnaissons que l’intégrande est sous une forme particulière. Nous avons dit au début de la question que le numérateur de cette fraction était un multiple scalaire de la dérivée du dénominateur. Donc, ce que nous avons est une intégrale de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥, par rapport à 𝑥, le tout multiplié par une constante. Nous avons vu que cette intégrale conduisait à un logarithme naturel.
Et en fait, nous pouvons citer un résultat général, qui est que si nous intégrons quelque chose de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, alors cela est égal au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥. C’est le logarithme naturel de la valeur absolue du dénominateur de notre fraction.
Si l’intégrale que nous effectuions était indéfinie, il faudrait alors ajouter une constante d’intégration 𝑐. Mais comme nous travaillons avec une intégrale définie dans cette question, nous pouvons inclure les limites de l’intégrale de 𝑎 et 𝑏. Donc, si nous pouvons repérer que notre intégrale est de ce type, sujet à une multiplication par une constante, alors nous pouvons accélérer le processus. Nous avons déjà dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de neuf plus deux 𝑥 au carré est quatre 𝑥. Le numérateur de notre fraction est deux 𝑥. Donc, si nous voulons qu’elle soit exactement la même que la dérivée du dénominateur, nous devrons multiplier par deux, ce qui signifie que nous devrons multiplier l’intégrale globale par un demi pour ne pas changer sa valeur globale.
On peut alors dire que l’intégrale de zéro à trois de deux 𝑥 sur neuf plus deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est équivalente à la moitié de l’intégrale de zéro à trois de quatre 𝑥 sur neuf plus deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous avons notre fonction 𝑓 de 𝑥 au dénominateur et sa dérivée 𝑓 prime de 𝑥 au numérateur. En appliquant alors notre résultat standard, nous pouvons dire que cela équivaut à la moitié du logarithme naturel de la valeur absolue de neuf plus deux 𝑥 au carré, évaluée entre zéro et trois.
Maintenant, cela semble assez différent de la réponse que nous avons obtenue lorsque nous avons utilisé la méthode d’intégration par changement de variable. Mais rappelez-vous, nous avons changé notre variable de 𝑥 à 𝑢. La substitution des limites de cette intégrale donne la moitié du logarithme naturel de la valeur absolue de neuf plus deux fois trois au carré moins le logarithme naturel de la valeur absolue de neuf plus deux fois zéro au carré.
La simplification donne la moitié du logarithme naturel de la valeur absolue de 27 moins le logarithme naturel de la valeur absolue de neuf. Et comme neuf et 27 sont tous deux positifs, leurs valeurs absolues sont égales à leurs propres valeurs. Nous avons donc la moitié du logarithme naturel de 27 moins le logarithme naturel de neuf. Et maintenant, nous voyons que cela est identique à ce que nous avons obtenu en utilisant notre méthode précédente. De la même manière, nous pouvons donner une réponse exacte de la moitié du logarithme naturel de trois ou une valeur de 0,55 au centième près.
Ces deux méthodes sont également valables. Mais si vous pouvez repérer des intégrandes de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 et rappeler le résultat général de l’intégration de ces derniers ou de leurs multiples constants. C’est-à-dire qu’elle est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥, la fonction dans le dénominateur, alors cela accélérera le processus.
Notre réponse à ce problème est que l’intégrale de zéro à trois de deux 𝑥 sur neuf plus deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 au centième près est 0,55.
