Vidéo : Intégrales impliquant des fonctions logarithmiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par substitution dans des fonctions sous la forme 𝑓′(𝑥)/𝑓(𝑥).

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Les intégrales impliquant des fonctions logarithmiques. Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par substitution pour une fonction de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Nous allons regarder quelques exemples pour voir sur quel type d’intégrales nous pouvons utiliser cette méthode. Maintenant, commençons par considérer l’intégrale suivante. Et c’est l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous allons essayer de résoudre cette intégrale. Et nous pouvons en fait le faire avec une substitution. Définissons 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥. Et nous pouvons dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. Et cela nous donne d𝑢 par d𝑥 égale 𝑓 prime de 𝑥. Où la notation prime indique une dérivation par rapport à 𝑥. Et cela nous dit que d𝑢 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥.

Maintenant nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de un sur 𝑓 de 𝑥 fois 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥. Nous sommes maintenant prêts à effectuer notre substitution. Nous remplacerons en 𝑢 par 𝑓 de 𝑥 et d𝑢 par 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥. Ainsi vous obtenez que l’intégrale égale l’intégrale de un sur 𝑢 par rapport à 𝑢. Et c’est une intégrale que nous savons résoudre. Nous savons que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Par conséquent, notre intégrale est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 plus notre constante d’intégration 𝑐. Et ici, nous pouvons substituer notre valeur de 𝑢 dans notre équation. Et cela nous amène à notre résultat, qui est que l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐.

Voyons maintenant un exemple sur la façon dont cela fonctionne.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux 𝑥 plus un sur 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥.

Quand nous regardons l’intégrande de cette intégrale, nous pouvons remarquer que le numérateur ressemble beaucoup à la dérivée du dénominateur. Vérifions ça rapidement. Nous pouvons appeler le dénominateur 𝑓 de 𝑥. Donc 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept. Et maintenant, nous pouvons dériver ceci. En utilisant la règle de la puissance sur chaque terme, nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 égale deux 𝑥 plus un. Qui égale le numérateur de notre fraction. Par conséquent, notre intégrande est de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Et nous avons en fait une règle pour intégrer des fonctions de cette forme. Elle nous dit que l’intégrale de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. En utilisant cette règle, nous obtenons que l’intégrale de deux 𝑥 plus un sur 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept plus notre constante d’intégration 𝑐.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment cette méthode peut être très utile lors de l’intégration de certaines fonctions trigonométriques.

Déterminez l’intégrale indéfinie de cot 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant nous savons qu’on peut écrire cot 𝑥 comme 𝑥 sur sin 𝑥. Ainsi, on peut réécrire notre intégrale comme l’intégrale de cos 𝑥 sur sin 𝑥 par rapport à 𝑥. Ensuite, nous utiliserons le fait que la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à cos 𝑥. Et ainsi si nous considérons que notre dénominateur sin 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥, alors notre numérateur, cos 𝑥, sera égal à 𝑓 prime de 𝑥. Et ici, nous pouvons voir que notre intégrale est sous la forme de l’intégrale de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et nous connaissons une formule pour résoudre les intégrales de cette forme. Et cette formule nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Si nous appliquons cette formule à notre intégrale avec 𝑓 de 𝑥 égale sin 𝑥, alors nous arriverons à notre solution. Qui est que l’intégrale indéfinie de cot 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de sin 𝑥 plus 𝑐.

Maintenant, nous pouvons en fait aller plus loin dans cette méthode. Et considérer quand notre numérateur diffère de la dérivée du dénominateur par un facteur constant. Donc si notre intégrande égale 𝑎 fois 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥, où 𝑎 est un nombre réel. Cela peut sembler très simple. Puisque nous pouvons utiliser le fait qu’il est possible de factoriser une constante de l’intérieur d’une intégrale. Cela nous donne que notre intégrale est égale à 𝑎 fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Et cette méthode semble maintenant très simple. C’est juste un petit pas en avant par rapport à ce que nous faisons avant. Cependant, il y a en fait deux parties potentiellement assez difficiles dans la définition de notre intégrale. Nous pouvons donc appliquer cette formule.

Et le premier de ces deux points est de voir que notre intégrale peut être sous cette forme. Puisqu’il n’est pas toujours évident que notre numérateur est une constante multipliée par la dérivée du dénominateur. Parfois, nous pouvons être amenés à multiplier notre intégrande par une fonction sur elle-même, telle que ℎ de 𝑥 sur ℎ de 𝑥. Afin de la mettre sous cette forme pour utiliser cette méthode. La deuxième partie, souvent un peu moins délicate, est de déterminer la valeur de notre constante 𝑎, car elle n’est pas toujours immédiatement évidente.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont nous pouvons utiliser cette méthode.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus sept sur 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥.

La première chose que nous remarquons est que le numérateur de notre intégrande ressemble beaucoup à la différentielle du dénominateur. Vérifions ça rapidement. Soit 𝑓 de 𝑥 notre dénominateur. Donc 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq. Et maintenant, nous dérivons. Et nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré plus 21, et ça n’égale pas notre numérateur. Cependant, nous remarquons qu’il l’égale en fait avec un facteur de trois. Si nous divisons 𝑓 prime de 𝑥 par trois, alors nous obtenons qu’un tiers 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus sept. Et ceci est maintenant égal au numérateur de notre intégrande. Nous pourrions écrire notre intégrale en termes de 𝑓 de 𝑥. Et nous obtiendrions qu’elle égale l’intégrale d’un tiers 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant nous pouvons utiliser une règle que nous connaissons pour intégrer des intégrales de cette forme. Elle nous dit que l’intégrale de 𝑎 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 𝑎 fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Nous pouvons donc appliquer cette formule. Sauf dans notre cas, 𝑎 est un tiers. Et 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq. Ce faisant, nous arrivons à notre solution, qui est que l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus sept sur 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥 est égale à un tiers fois le logarithme naturel de la valeur absolue 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq plus 𝑐.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment nous pouvons déterminer notre constante 𝑎 par inspection. Cependant, cela n’est pas toujours évident. Une autre façon de la déterminer est d’utiliser la substitution comme nous verrons dans l’exemple suivant.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 27 sin 𝑥 plus 21 cos 𝑥 le tout sur sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ici, nous remarquons que le numérateur de l’intégrande semble être la dérivée du dénominateur. Puisque la différentielle de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à cos 𝑥 et la différentielle de moins cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à sin 𝑥. Il semble maintenant que le numérateur peut différer de la dérivée du dénominateur par un facteur constant. Cependant, nous ne savons pas ce qu’est ce facteur. Nous pouvons essayer de le trouver en utilisant une substitution. Soit 𝑢 égale le dénominateur de l’intégrande, soit sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥. Maintenant, nous pouvons dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. En utilisant le fait que sinus est dérivée en cos 𝑥 et moins cos 𝑥 est dérivée en sin 𝑥. Nous obtenons d𝑢 par d𝑥 égale sept cos 𝑥 plus neuf sin 𝑥. Cela nous donne que d𝑢 égale neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥.

Maintenant, réorganisons notre intégrale pour pouvoir appliquer cette substitution. Nous remarquons que nous pouvons sortir un facteur de trois à partir de notre numérateur. Et cela nous permet d’écrire notre intégrale comme l’intégrale de trois sur sept sins 𝑥 moins neuf cos 𝑥 fois neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥. Nous pouvons donc substituer 𝑢 au dénominateur de notre fraction. Et nous pouvons substituer dans d𝑢 par neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥. Ce qui nous donne qu’elle égale l’intégrale de trois sur 𝑢 d𝑢, qui peut être intégrée à trois fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 plus 𝑐. Pour notre dernière étape, nous remplaçons simplement dans sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 pour 𝑢. Cela nous donne notre solution, qui est trois fois le logarithme naturel de la valeur absolue de sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 plus 𝑐.

Cette méthode d’intégration peut être utilisée pour intégrer différents types de fonctions. Dans l’exemple suivant, nous allons voir l’intégration d’une fonction impliquant un logarithme naturel.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins trois sur 𝑥 fois le logarithme naturel de huit 𝑥 par rapport à 𝑥.

Or, bien que cette intégrale puisse paraître délicate à évaluer, c’est en fait sous une forme que nous savons intégrer. Si nous considérons 𝑓 de 𝑥 égale le logarithme naturel de huit 𝑥, alors nous pouvons dériver 𝑓 de 𝑥 en utilisant le fait que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est un sur 𝑥 afin de déterminer que 𝑓 prime de 𝑥 égale un sur huit 𝑥. Et puis, puisqu’il s’agit d’une fonction composée, nous avons huit 𝑥 à l’intérieur de la fonction du logarithme naturel. Il ne faut pas oublier de multiplier par la dérivée de huit 𝑥, qui est huit. C’est grâce à la règle de dérivation en chaîne. En simplifiant, nous pouvons obtenir 𝑓 prime de 𝑥 égale un sur 𝑥.

Maintenant, réécrivons notre intégrale. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par un sur 𝑥, alors nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de moins trois sur 𝑥 sur le logarithme naturel de huit 𝑥 par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous pouvons factoriser moins trois au numérateur. Et une fois arrivés à ce stade, nous constatons qu’elle est sous une forme que nous savons intégrer. Puisqu’elle est sous la forme l’intégrale de 𝑎 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Où notre 𝑓 de 𝑥 est le logarithme naturel de huit 𝑥. Et notre 𝑓 prime de 𝑥 est un sur 𝑥. Ainsi, notre valeur de 𝑎 est moins trois. Maintenant nous savons que la valeur de cette intégrale est 𝑎 fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Et nous pouvons simplement substituer dans les valeurs de 𝑎 et 𝑓 de 𝑥 pour trouver notre solution. Qui est moins trois fois le logarithme naturel de la valeur absolue du logarithme naturel de huit 𝑥 plus 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir l’intégration d’une fonction trigonométrique où nous devons multiplier notre intégrande par une fraction d’une fonction sur elle-même.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux fois csc sept 𝑥 par rapport à 𝑥.

C’est une fonction très délicate à intégrer. Cela exige que nous connaissions vraiment nos dérivés des fonctions trigonométriques. Maintenant, puisque nous essayons de déterminer l’intégrale indéfinie de deux csc sept 𝑥, notons ce qu’est la dérivée de csc sept 𝑥. Elle est égale à moins sept csc sept 𝑥 fois cot sept 𝑥. Maintenant, ce que nous voulons faire à ce stade c’est d’essayer de mettre notre intégrande sous la forme de 𝑎 fois 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Puisque nous savons comment l’intégrer et pour essayer de mettre notre intégrale sous cette forme. Nous allons essayer de multiplier l’intégrande par une fraction constituée d’une fonction sur elle-même, qui est bien sûr égale à un. La partie difficile est d’essayer de trouver une fonction 𝑔 de 𝑥. Ainsi, notre intégrale finira sous la forme que nous savons intégrer.

Voyons ce qui se passera si nous posons 𝑔 de 𝑥 égale csc sept 𝑥. Nous multiplions notre intégrande par csc sept 𝑥 sur csc sept 𝑥. Et nous obtenons l’intégrale de deux csc au carré sept 𝑥 sur csc sept 𝑥 par rapport à 𝑥. Toutefois, il est clair que ce n’est pas la forme requise. Cependant, cela nous donne un indice puisque nous avons csc au carré sept 𝑥 au numérateur. Et nous connaissons en fait une autre fonction trigonométrique dont la dérivation nous donnerait un multiple de csc au carré sept 𝑥. C’est cot sept 𝑥. La dérivée de cot sept 𝑥 est moins sept csc au carré sept 𝑥.

Maintenant, c’est à ce stade que nous pourrions commencer à repérer ce que notre 𝑔 de 𝑥 est. Lorsque nous multiplions par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 dans notre intégrande, nous aurons toujours ce facteur de csc sept 𝑥, qui est initialement dans l’intégrande. Si l’on exclut un facteur de csc sept 𝑥 de nos deux dérivées, il nous reste cot sept 𝑥 fois une constante et csc sept 𝑥 fois la même constante. Maintenant, c’est très important puisque les fonctions que nous dérivons sont csc sept 𝑥 et cot sept 𝑥.

Et donc peut-être, pour notre fonction suivante 𝑔 de 𝑥, nous pouvons essayer d’additionner ces deux fonctions ensemble. Mais d’abord, notons rapidement quel est la dérivée de la somme de ces deux fonctions. En utilisant le fait que la dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées des fonctions. Et en gardant le terme de factorisation csc sept 𝑥. Nous avons que la dérivée de csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 est égale à csc sept 𝑥 fois moins cot sept 𝑥 moins sept csc sept 𝑥.

Maintenant nous pouvons essayer 𝑔 de 𝑥 étant égale à csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥. Nous avons l’intégrale de deux csc sept 𝑥 fois csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 sur csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons réécrire ceci avec les deux csc sept 𝑥 au numérateur. Maintenant, nous pouvons remarquer que notre intégrale est très proche de la forme que nous exigeons. Si nous posons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥, alors nous pouvons voir que le dénominateur de notre intégrande est 𝑔 de 𝑥. Et si nous comparons le numérateur avec la dérivée de 𝑔 de 𝑥, alors nous pouvons voir qu’elle est très similaire. Les deux petites différences sont qu’il y a ce facteur constant deux au numérateur de l’intégrande et un facteur de moins sept dans la dérivée. Et ainsi nous pouvons arriver à la conclusion que le numérateur de notre intégrande égale deux sur moins sept fois 𝑔 prime de 𝑥.

Nous pouvons maintenant voir plus clairement que notre intégrale a en fait la forme que nous exigeons. Dans notre cas, 𝑎 égale moins deux sur sept. Et 𝑓 de 𝑥 égale csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥. Et nous pouvons donc appliquer la formule. Ici, nous arrivons à notre solution, qui est que l’intégrale indéfinie de deux csc sept 𝑥 par rapport à 𝑥 égale moins deux septièmes fois le logarithme naturel de la valeur absolue de csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 plus 𝑐.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment on peut parfois trouver l’intégrale d’une fonction compliquée en utilisant cette méthode, en multipliant par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 pour une certaine fonction 𝑔 de 𝑥. Et la partie la plus difficile de cette méthode est de déterminer ce que 𝑔 de 𝑥 doit être. Connaître les différences entre les différents types de fonctions est certainement un outil très utile pour y parvenir.

Nous avons maintenant couvert une variété d’exemples dans cette vidéo. Récapitulons quelques points clés. Points clés. L’intégrale indéfinie de 𝑎 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 multipliée par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 est un nombre réel. Cette méthode peut être utilisée pour trouver les intégrales de différents types de fonctions, y compris les fonctions trigonométriques telles que cot 𝑥, tan 𝑥, csc 𝑥, etc. Parfois, il n’est pas immédiatement évident que nous pouvons utiliser cette méthode pour intégrer. Mais la multiplication par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 pour une certaine fonction 𝑔 de 𝑥 peut nous permettre de l’utiliser.

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