Vidéo de la leçon : Intégrales ayant pour résultat des fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer les intégrales de fonctions sous la forme 𝑓′(𝑥)/𝑓(𝑥), résultant en des fonctions logarithmiques.

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Intégrales produisant des fonctions logarithmiques. Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par substitution sur la fonction de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Nous verrons quelques exemples pour comprendre le type d’intégrales sur lesquelles nous pouvons utiliser cette méthode. Alors considérons d’abord l’intégrale suivante. Il s’agit de l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons donc essayer de résoudre cette intégrale. Et nous pouvons en fait faire cela avec une substitution. Posons 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥. Et nous pouvons dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. Cela nous donne d𝑢 sur d𝑥 égale 𝑓 prime de 𝑥. Où le prime désigne une dérivation par rapport à 𝑥. Et cela nous dit que d𝑢 égale 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥.

Maintenant, nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de un sur 𝑓 de 𝑥 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥. Nous sommes maintenant prêts à effectuer notre substitution. Nous substituerons 𝑢 pour 𝑓 de 𝑥 et d𝑢 pour 𝑓 prime de 𝑥 d𝑥. Ainsi, nous obtenons que notre intégrale est égale à l’intégrale de un sur 𝑢 par rapport à 𝑢. Et cela est une intégrale que nous savons résoudre. Nous savons que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Par conséquent, notre intégrale est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 plus notre constante d’intégration 𝑐. Et ici, nous pouvons remplacer notre valeur de 𝑢 dans notre équation. Et cela nous amène à notre résultat, qui est que l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont cela fonctionne.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux 𝑥 plus un sur 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥.

Lorsque nous regardons l’intégrande de cette intégrale, nous pouvons remarquer que le numérateur ressemble beaucoup à la dérivée du dénominateur. Vérifions cela rapidement. Nous pouvons noter le dénominateur 𝑓 de 𝑥. Donc 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 𝑥 moins sept. Et maintenant, nous pouvons dériver cela. En utilisant la règle de puissance sur chaque terme, nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus un. Ce qui est égal au numérateur de notre fraction. Par conséquent, notre intégrande est de la forme 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Et nous avons en fait une règle pour intégrer des fonctions de cette forme. Elle nous dit que l’intégrale de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. En utilisant cette règle, nous obtenons que l’intégrale de deux 𝑥 plus un sur 𝑥 carré plus 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 carré plus 𝑥 moins sept plus notre constante d’intégration 𝑐.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment cette méthode peut être très utile lors de l’intégration de certaines fonctions trigonométriques.

Déterminez l’intégrale indéfinie de cot 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous savons que cot 𝑥 peut être écrit comme cos de 𝑥 sur sin de 𝑥. Par conséquent, nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de cos 𝑥 sur sin 𝑥 par rapport à 𝑥. Ensuite, nous utiliserons le fait que la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à cos 𝑥. Et donc si nous posons 𝑓 de 𝑥 égal à notre dénominateur sin 𝑥, alors notre numérateur, cos de 𝑥, sera égal à 𝑓 prime de 𝑥. Et ici, nous pouvons voir que notre intégrale est de la forme intégrale de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et nous connaissons une formule pour résoudre les intégrales de cette forme. Cette formule nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Si nous appliquons cette formule à notre intégrale avec 𝑓 de 𝑥 égale sin 𝑥, alors nous obtiendrons notre solution. C’est-à-dire que l’intégrale indéfinie de cot 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de sin 𝑥 plus 𝑐.

Maintenant, nous pouvons en fait pousser cette méthode un peu plus loin. Considérons le cas où notre numérateur diffère de la dérivée du dénominateur par un facteur constant. C’est-à-dire si notre intégrande est égale à 𝑎 fois 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥, où 𝑎 est un nombre réel. Cela peut intuitivement sembler très simple. Nous pouvons en effet utiliser le fait que nous pouvons factoriser par une constante et la sortir d’une intégrale. Cela nous donne que notre intégrale est égale à 𝑎 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Et cette méthode semble très simple. Elle n’est qu’un léger pas en avant par rapport à ce que nous avions fait précédemment. Cependant, il y a en fait deux points potentiellement difficiles dans la mise en place de notre intégrale. Pour que nous puissions appliquer cette formule.

Et le premier de ces deux points est d’identifier que notre intégrale peut être sous cette forme. Il n’est en effet pas toujours évident que notre numérateur est une constante multipliée par la dérivée du dénominateur. Parfois, nous pouvons être amenés à multiplier notre intégrande par une fonction sur elle-même, telle que ℎ de 𝑥 sur ℎ de 𝑥. Afin de l’obtenir sous la forme permettant d’utiliser notre méthode. Le second point, souvent un peu moins compliqué, consiste à déterminer la valeur de notre constante 𝑎, car elle n’est pas toujours évidente.

Voyons maintenant un exemple de la façon dont nous pouvons utiliser cette méthode.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus sept sur 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥.

Alors la première chose que nous remarquons est que le numérateur de notre intégrande ressemble beaucoup à la dérivée du dénominateur. Vérifions cela rapidement. Soit 𝑓 de 𝑥 notre dénominateur. Donc 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq. Et maintenant, nous dérivons. Nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus 21, ce qui n’est pas égal à notre numérateur. Cependant, nous remarquons qu’il en diffère par un facteur trois. Si nous divisons 𝑓 prime de 𝑥 par trois, alors nous obtenons qu’un tiers de 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus sept. Et cela est maintenant égal au numérateur de notre intégrande. Nous pourrions écrire notre intégrale en fonction de 𝑓 de 𝑥. Et nous obtiendrions qu’elle est égale à l’intégrale d’un tiers de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant, nous pouvons utiliser une règle que nous connaissons pour évaluer les intégrales de cette forme. Elle nous dit que l’intégrale de 𝑎 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Nous pouvons donc appliquer cette formule. Et dans notre cas, 𝑎 vaut un tiers. Et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 21𝑥 moins cinq. En faisant cela, nous arrivons à notre solution, qui est que l’intégrale indéfinie de 𝑥 au carré plus sept sur 𝑥 cube plus 21𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥 est égale à un tiers multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 cube plus 21𝑥 moins cinq plus 𝑐.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu comment trouver notre constante 𝑎 par inspection. Cependant, cela n’est pas toujours évident. Une autre façon de la déterminer est d’utiliser une substitution comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 27 sin 𝑥 plus 21 cos 𝑥, le tout sur sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 par rapport à 𝑥.

Ici, nous remarquons que le numérateur de l’intégrande semble être la dérivée du dénominateur. Puisque la dérivée de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à cos 𝑥 et la dérivée de moins cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sin 𝑥. Maintenant, il semble que le numérateur diffère de la dérivée du dénominateur par un facteur constant. Cependant, nous ne savons pas quel est ce facteur. Nous pouvons essayer de le trouver en utilisant une substitution. Posons 𝑢 égal au dénominateur de l’intégrande, soit sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥. Maintenant, nous pouvons dériver 𝑢 par rapport à 𝑥. Nous utilisons le fait que sinus se dérive en cos 𝑥 et moins cos 𝑥 se dérive en sin 𝑥. Nous obtenons que d𝑢 sur d𝑥 est égal à sept cos 𝑥 plus neuf sin 𝑥. Cela nous donne que d𝑢 est égal à neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥.

Maintenant, réorganisons notre intégrale afin d’appliquer cette substitution. Nous remarquons que nous pouvons factoriser notre numérateur par trois. Et cela nous permet d’écrire notre intégrale comme l’intégrale de trois sur sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 multiplié par neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥. Nous pouvons donc substituer 𝑢 au dénominateur de notre fraction. Et nous pouvons substituer d𝑢 à neuf sin 𝑥 plus sept cos 𝑥 d𝑥. Cela est égal à l’intégrale de trois sur 𝑢 d𝑢, qui vaut trois multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑢 plus 𝑐. Pour notre dernière étape, nous substituons simplement de nouveau sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 pour 𝑢. Cela nous donne notre solution, qui est trois multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de sept sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 plus 𝑐.

Maintenant, cette méthode d’intégration peut être utilisée pour intégrer différents types de fonctions. Dans l’exemple suivant, nous allons voir l’intégration d’une fonction impliquant un logarithme naturel.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins trois sur 𝑥 multiplié par le logarithme naturel de huit 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant, bien que cela puisse sembler une intégrale délicate à évaluer, elle est en fait sous une forme que nous savons intégrer. Si nous posons 𝑓 de 𝑥 égal au logarithme naturel de huit 𝑥, alors nous pouvons dériver 𝑓 de 𝑥 en utilisant le fait que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est un sur 𝑥 afin de trouver que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à un sur huit 𝑥. Et puisqu’il s’agit d’une fonction composée, nous avons huit 𝑥 à l’intérieur de la fonction du logarithme naturel. Nous ne devons donc pas oublier de multiplier par la dérivée de huit 𝑥, qui est simplement huit. Cela en raison de la règle de dérivation des fonctions composées. En simplifiant, nous pouvons obtenir 𝑓 prime de 𝑥 égale un sur 𝑥.

Maintenant, réécrivons notre intégrale. Si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de notre fraction par un sur 𝑥, alors nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de moins trois sur 𝑥 sur le logarithme naturel de huit 𝑥 par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous pouvons factoriser moins trois au numérateur. Et une fois ce stade atteint, nous remarquons que cela se présente sous une forme que nous savons intégrer. Puisqu’elle est de la forme intégrale de 𝑎 multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Avec notre 𝑓 de 𝑥 étant le logarithme naturel de huit 𝑥. Et notre 𝑓 prime de 𝑥 est un sur 𝑥. Par conséquent, notre valeur de 𝑎 est moins trois. Nous savons maintenant que cette intégrale vaut 𝑎 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐. Et nous pouvons simplement substituer les valeurs de 𝑎 et 𝑓 de 𝑥 pour trouver notre solution. Qui est moins trois fois le logarithme naturel de la valeur absolue du logarithme naturel de huit 𝑥 plus 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous verrons l’intégration d’une fonction trigonométrique où nous devons multiplier notre intégrande par une fraction d’une fonction sur elle-même.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux multiplié par csc sept 𝑥 par rapport à 𝑥.

Alors cela est une fonction vraiment délicate à intégrer. Elle nous demande de bien connaître nos dérivées des fonctions trigonométriques. Alors puisque nous essayons de déterminer l’intégrale indéfinie de deux csc de sept 𝑥, écrivons la dérivée de csc de sept 𝑥. Il s’agit de moins sept csc de sept 𝑥 multiplié par cot de sept 𝑥. Ce que nous voulons faire à ce stade est d’essayer d’obtenir notre intégrande sous la forme 𝑎 multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Puisque nous savons comment l’intégrer ; et pour essayer d’obtenir notre intégrale sous cette forme. Nous allons essayer de multiplier l’intégrande par une fraction constituée d’une fonction sur elle-même, ce qui est bien sûr égal à un. La partie difficile est d’essayer de trouver une fonction 𝑔 de 𝑥. De sorte que notre intégrale se retrouve sous la forme que nous savons intégrer.

Voyons ce qui se passe si nous posons 𝑔 de 𝑥 égale csc sept 𝑥. Nous multiplions notre intégrande par csc sept 𝑥 sur csc sept 𝑥. Et nous obtenons l’intégrale de deux csc au carré de sept 𝑥 sur csc de sept 𝑥 par rapport à 𝑥. Il est clair que cela n’est pas de la forme requise. Cependant, cela nous donne un indice puisque nous avons un csc au carré de sept 𝑥 au numérateur. Et nous connaissons en fait une autre fonction trigonométrique qui se dérive pour donner un multiple de csc au carré de sept 𝑥. Il s’agit de cot de sept 𝑥. La dérivée de cot de sept 𝑥 est moins sept csc au carré de sept 𝑥.

Alors c’est à ce stade que nous pourrions commencer à être en mesure de repérer ce que serait notre 𝑔 de 𝑥. Lorsque nous multiplions par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 dans notre intégrande, nous aurons toujours ce facteur de csc sept 𝑥, qui est à l’origine dans l’intégrande. Si nous factorisons par csc de sept 𝑥 dans nos deux dérivées, alors il nous reste un cot de sept 𝑥 multiplié par une constante et un csc de sept 𝑥 multiplié par la même constante. Cela est très important puisque les fonctions que nous dérivons sont csc de sept 𝑥 et cot de sept 𝑥.

Et donc peut-être, pour notre prochain 𝑔 de 𝑥, nous pouvons essayer d’additionner ces deux fonctions ensemble. Mais d’abord, notons rapidement quel est la dérivée de la somme de ces deux fonctions. Nous utilisons le fait que la dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées des fonctions. Et nous gardons le csc de sept 𝑥 terme factorisé. Nous avons alors que la dérivée de csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 est égale à csc sept 𝑥 multiplié par moins sept cot sept 𝑥 moins sept csc sept 𝑥.

Alors maintenant, nous pouvons essayer de poser 𝑔 de 𝑥 égale csc de sept 𝑥 plus cot de sept 𝑥. Nous avons l’intégrale de deux csc sept 𝑥 multiplié par csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 sur csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous pouvons réécrire cela avec les deux csc sept 𝑥 au numérateur. Maintenant, nous pouvons remarquer que notre intégrale est très proche de la forme dont nous avons besoin. Si nous posons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥, alors nous pouvons voir que le dénominateur de notre intégrande est 𝑔 de 𝑥. Et si nous comparons le numérateur avec la dérivée de 𝑔 de 𝑥, alors nous pouvons voir qu’il est vraiment très similaire. Les deux seules petites différences sont qu’il y a ce facteur constant de deux au numérateur de l’intégrande et un facteur de moins sept dans la dérivée. Et ainsi nous pouvons arriver à la conclusion que le numérateur de notre intégrande est égal à deux sur moins sept fois 𝑔 prime de 𝑥.

Nous pouvons maintenant voir plus clairement que notre intégrale est en fait de la forme dont nous avons besoin. Dans notre cas, 𝑎 est égal à moins deux sur sept. Et 𝑓 de 𝑥 est égal à csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥. Et donc nous pouvons appliquer la formule. Ici, nous arrivons à notre solution, qui est que l’intégrale indéfinie de deux csc sept 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins deux septièmes fois le logarithme naturel de la valeur absolue de csc sept 𝑥 plus cot sept 𝑥 plus 𝑐.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment nous pouvons parfois trouver l’intégrale d’une fonction difficile en utilisant cette méthode en multipliant par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 pour un certain 𝑔 de 𝑥. Et la partie la plus difficile de cette méthode est de déterminer ce que 𝑔 de 𝑥 doit être. Connaître les dérivées de nombreux types de fonctions est certainement un outil très utile pour ce faire.

Nous avons maintenant couvert une variété d’exemples dans cette vidéo. Récapitulons certains des points clés. Points clés. L’intégrale indéfinie de 𝑎 multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 est un nombre réel. Cette méthode peut être utilisée pour trouver les intégrales de nombreux types de fonctions, y compris les fonctions trigonométriques telles que cot 𝑥, tan 𝑥, csc 𝑥, etc. Parfois, il n’est pas immédiatement évident que nous pouvons utiliser cette méthode pour intégrer. Mais multiplier par 𝑔 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 pour un certain 𝑔 de 𝑥 peut nous permettre de l’utiliser.

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