Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer des intégrales de fonctions de la forme , produisant des fonctions logarithmiques.
Les intégrales produisant des fonctions logarithmiques ont de nombreuses applications concrètes car ces fonctions sont utilisées dans des modèles mathématiques pour décrire la croissance démographique, la croissance cellulaire ou la décroissance radioactive.
Les intégrales de la forme sont des généralisations de l’intégrale des fonctions inverses telles que avec et . Pour une fonction générique , on souhaite calculer l’intégrale
On peut la calculer directement en utilisant l’intégration par changement de variable. En prenant le changement de variable ,
On peut séparer les variables de cette dérivée en la traitant comme une fraction et en manipulant les différentielles, ou plus précisément, en utilisant
Par conséquent,
Par conséquent, lors du changement de variable avec , on a
On a utilisé l’intégrale des fonctions inverses pour calculer cette intégrale. Ce résultat nous amène à la définition suivante.
Définition : Intégrales de la forme 𝑓’(𝑥)/𝑓(𝑥)
pour tout .
On peut le vérifier en dérivant par la formule de la dérivée d’une composée et en démontrant que le résultat est égal à l’intégrale en (1) ou en définissant pour une fonction arbitraire . On peut dériver cela pour obtenir
Par conséquent,
Mais comme , on trouve
La formule (1) donnée dans la définition permet de calculer une classe particulière d’intégrales ; on obtient une fonction logarithmique lorsque l’intégrale est exprimée sous la forme spécifique ; il faudra bien identifier .
Cette méthode fonctionne évidemment pour intégrer des fonctions inverses comme , mais que se passe-t-il si on a des polynômes d’ordre supérieur au numérateur ou au dénominateur ? Tant que l’on peut exprimer la dérivée du dénominateur comme un multiple scalaire du numérateur, alors la méthode peut être appliquée. Pour voir cela, on considère l’intégrale
Le dénominateur peut être dérivé pour donner qui est, en effet, un multiple scalaire du numérateur. Par conséquent, on peut déduire de (1) que
On considère maintenant l’intégrale
Le dénominateur peut être dérivé pour donner qui est encore une fois un multiple scalaire du numérateur. On peut utiliser immédiatement la définition (1) pour en déduire que
Certaines expressions fractionnaires peuvent sembler trop difficiles à traiter à première vue et il peut ne pas être évident que cette méthode puisse être utilisée pour intégrer. Cependant, avec un peu de manipulation astucieuse, comme multiplier l’intégrale par avec une fonction appropriée , on peut parfois la mettre sous la forme particulière de la définition (1), qu’il ne reste plus qu’à appliquer.
Pour en voir une application, on considère l’intégrale
Il peut ne pas être immédiatement évident que la définition puisse être appliquée pour cette intégrale, car la dérivée du dénominateur de l’intégrale n’est pas un multiple du numérateur. En particulier, si alors qui n’est visiblement pas un multiple scalaire du numérateur sous sa forme actuelle. Cependant, on peut manipuler l’intégrale en multipliant le numérateur et le dénominateur par :
Sous cette forme, on peut identifier ce qui, après dérivation, donne
On voit maintenant que est un multiple scalaire du numérateur. En appliquant la formule (1), on trouve
On considère maintenant l’intégrale
Encore une fois, il peut ne pas être immédiatement évident que la définition puisse être appliquée. Sous cette forme, si on prend le dénominateur, sa dérivée est
qui n’est pas un multiple scalaire du numérateur. Cependant, si on exprime , on peut réécrire l’intégrale comme
Sous cette forme, on peut identifier le dénominateur comme et la dérivée comme qui est en effet un multiple scalaire du numérateur. Par conséquent, en utilisant (1), on peut en déduire que
Ces exemples illustrent l’importance d’exprimer l’intégrale sous la bonne forme et de choisir la fonction appropriée pour que cette méthode s’applique. Trouver la technique pour manipuler les expressions pour les mettre sous la bonne forme s’apprend par la pratique et l’expérience, c’est pourquoi il est utile de traiter autant d’exemples que possible. Tous ces types d’intégrales peuvent également être résolus en utilisant l’intégration par changement de variable après avoir choisi un changement de variable approprié.
Étudions maintenant quelques exemples pour pratiquer et approfondir notre compréhension du calcul d’intégrales de fonctions de la forme en utilisant la formule (1) donnée dans la définition.
Le premier exemple consiste à intégrer une fonction rationnelle avec des polynômes au numérateur et au dénominateur.
Exemple 1: Déterminer l’intégrale d’une fonction rationnelle
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction rationnelle.
On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme
On sait que l’on peut utiliser la formule si la dérivée du dénominateur de l’intégrale est un multiple scalaire du numérateur. Dans ce cas, on a
Puisqu’il s’agit du numérateur de l’intégrale, on peut appliquer la formule pour déterminer
Alternativement, on aurait pu utiliser l’intégration par le changement de variable pour obtenir la même réponse.
Dans le prochain exemple, nous allons apprendre à intégrer une fonction trigonométrique inverse en appliquant la formule (1).
Exemple 2: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction constituée d’une fonction trigonométrique inverse, qui peut elle-même être représentée comme le quotient de deux fonctions trigonométriques. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule
On commence par utiliser la définition de en fonction de , qui peut aussi être exprimée en fonction de et , et on peut réécrire l’intégrale sous la forme
On peut vérifier que cette intégrale est sous la forme appropriée en identifiant le dénominateur comme et en montrant que la dérivée de celui-ci est un multiple du numérateur. En effet, on trouve
Par conséquent, on peut utiliser la formule pour en déduire que
On peut aussi trouver cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment intégrer une fonction rationnelle composée du quotient de deux polynômes.
Exemple 3: Déterminer l’intégrale d’une fonction rationnelle
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction rationnelle.
On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. En effet, on a
Puisqu’il s’agit de la forme appropriée, on peut calculer l’intégrale comme
On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Dans le prochain exemple, nous allons intégrer un quotient de deux fonctions trigonométriques.
Exemple 4: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule
On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme et on vérifie que sa dérivée est un multiple scalaire du numérateur. En effet, on a
Puisqu’il s’agit de la forme requise et que est un multiple scalaire du numérateur de l’intégrale, on peut déduire l’intégrale grâce à la formule :
On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Dans les premiers exemples, nous avons appris à appliquer la formule spécifique (1) pour l’intégration, où le numérateur est un multiple scalaire de la dérivée du dénominateur, ce qui donne une fonction logarithmique. On peut aussi appliquer cette formule lorsque l’intégrale elle-même contient déjà des logarithmes. Montrons cela dans le prochain exemple.
Exemple 5: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant une fonction logarithmique
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction impliquant une fonction logarithmique. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule
Il peut ne pas être immédiatement évident de savoir comment mettre cette intégrale sous la forme requise par cette formule. Pour cette raison, on reformule l’intégrale :
On identifie maintenant le dénominateur de l’intégrale comme et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. En effet, on trouve
Puisqu’il s’agit de la bonne forme et que est un multiple scalaire du numérateur de l’intégrale, on peut déduire l’intégrale grâce à la formule :
On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Dans le prochain exemple, nous allons apprendre à manipuler une fonction trigonométrique inverse pour la mettre sous la forme afin de pouvoir calculer son intégrale.
Exemple 6: Intégrer des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique inverse. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule
Afin d’obtenir l’intégrale sous la forme requise pour cette formule, on doit multiplier le dénominateur et le numérateur par car la dérivée du dénominateur obtenu sera un multiple scalaire du numérateur. Si on fait cela, l’intégrale devient
On identifie maintenant le dénominateur de l’intégrale comme et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. Pour cela, on va utiliser
La dérivée est, par conséquent qui est en effet un multiple scalaire du numérateur. Puisqu’il s’agit de la forme requise, on peut en déduire l’intégrale grâce à la formule :
On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Dans le dernier exemple, nous allons à nouveau utiliser les identités trigonométriques pour nous aider à calculer une intégrale.
Exemple 7: Intégrer des fonctions trigonométriques
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique.
En reconnaissant l’identité trigonométrique, , on peut écrire l’intégrale sous la forme
On peut identifier le dénominateur de l’intégrale comme ce qui, après dérivation, donne
Par conséquent, l’intégrale est sous la forme spécifique voulue et on peut appliquer la formule
Par conséquent,
On peut aussi trouver cette intégrale en utilisant le changement de variable .
Points clés
- Les intégrales de la forme peuvent être calculées à l’aide de la formule
- Cette méthode peut être utilisée pour trouver les intégrales de fonctions trigonométriques telles que , , , etc.
- Parfois, il n’est pas immédiatement évident que cette méthode puisse être appliquée pour calculer l’intégrale, mais on peut manipuler une intégrale pour obtenir la forme requise en réécrivant l’intégrale ou en la multipliant par un approprié.
