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Fiche explicative de la leçon : Intégrales produisant des fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer des intégrales de fonctions de la forme 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥), produisant des fonctions logarithmiques.

Les intégrales produisant des fonctions logarithmiques ont de nombreuses applications concrètes car ces fonctions sont utilisées dans des modèles mathématiques pour décrire la croissance démographique, la croissance cellulaire ou la décroissance radioactive.

Les intégrales de la forme 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥) sont des généralisations de l’intégrale des fonctions inverses telles que 1𝑥𝑥=|𝑥|+,dlnC avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑓(𝑥)=1. Pour une fonction générique 𝑓(𝑥), on souhaite calculer l’intégrale 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥.d

On peut la calculer directement en utilisant l’intégration par changement de variable. En prenant le changement de variable 𝑢=𝑓(𝑥), dd𝑢𝑥=𝑓(𝑥).

On peut séparer les variables de cette dérivée en la traitant comme une fraction et en manipulant les différentielles, ou plus précisément, en utilisant dddd𝑢=𝑢𝑥𝑥.

Par conséquent, dd𝑢=𝑓(𝑥)𝑥.

Par conséquent, lors du changement de variable avec 𝑢=𝑓(𝑥), on a 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=1𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=1𝑢𝑢=|𝑢|+=|𝑓(𝑥)|+.dddlnClnC

On a utilisé l’intégrale des fonctions inverses pour calculer cette intégrale. Ce résultat nous amène à la définition suivante.

Définition : Intégrales de la forme 𝑓’(𝑥)/𝑓(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,dlnC(1)

pour tout 𝑎.

On peut le vérifier en dérivant ln|𝑓(𝑥)| par la formule de la dérivée d’une composée et en démontrant que le résultat est égal à l’intégrale en (1) ou en définissant 𝑓(𝑥)=𝑒,() pour une fonction arbitraire 𝑔(𝑥). On peut dériver cela pour obtenir 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑒=𝑔(𝑥)𝑓(𝑥).()

Par conséquent, 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Mais comme 𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|ln, on trouve ddln𝑥(|𝑓(𝑥)|)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

La formule (1) donnée dans la définition permet de calculer une classe particulière d’intégrales;on obtient une fonction logarithmique lorsque l’intégrale est exprimée sous la forme spécifique 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥);il faudra bien identifier 𝑓(𝑥).

Cette méthode fonctionne évidemment pour intégrer des fonctions inverses comme 1𝑥, mais que se passe-t-il si on a des polynômes d’ordre supérieur au numérateur ou au dénominateur?Tant que l’on peut exprimer la dérivée du dénominateur comme un multiple scalaire du numérateur, alors la méthode peut être appliquée. Pour voir cela, on considère l’intégrale 2𝑥𝑥+1𝑥.d

Le dénominateur 𝑓(𝑥)=𝑥+1, peut être dérivé pour donner 𝑓(𝑥)=2𝑥, qui est, en effet, un multiple scalaire du numérateur. Par conséquent, on peut déduire de (1) que 2𝑥𝑥+1𝑥=||𝑥+1||+.dlnC

On considère maintenant l’intégrale 6𝑥+16𝑥+6𝑥+4𝑥+3𝑥+7𝑥.d

Le dénominateur 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥+3𝑥+7, peut être dérivé pour donner 𝑓(𝑥)=3𝑥+8𝑥+3=126𝑥+16𝑥+6, qui est encore une fois un multiple scalaire du numérateur. On peut utiliser immédiatement la définition (1) pour en déduire que 6𝑥+16𝑥+6𝑥+4𝑥+3𝑥+7𝑥=23𝑥+8𝑥+3𝑥+4𝑥+3𝑥+7𝑥=2||𝑥+4𝑥+3𝑥+7||+.ddlnC

Certaines expressions fractionnaires peuvent sembler trop difficiles à traiter à première vue et il peut ne pas être évident que cette méthode puisse être utilisée pour intégrer. Cependant, avec un peu de manipulation astucieuse, comme multiplier l’intégrale par 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥) avec une fonction appropriée 𝑔(𝑥), on peut parfois la mettre sous la forme particulière de la définition (1), qu’il ne reste plus qu’à appliquer.

Pour en voir une application, on considère l’intégrale 𝑒1𝑥𝑒+1𝑥.d

Il peut ne pas être immédiatement évident que la définition puisse être appliquée pour cette intégrale, car la dérivée du dénominateur de l’intégrale n’est pas un multiple du numérateur. En particulier, si 𝑓(𝑥)=𝑥𝑒+1, alors 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)𝑒, qui n’est visiblement pas un multiple scalaire du numérateur sous sa forme actuelle. Cependant, on peut manipuler l’intégrale en multipliant le numérateur et le dénominateur par 𝑒:𝑒1𝑥𝑒+1𝑒𝑒=1𝑒𝑥+𝑒.

Sous cette forme, on peut identifier 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑒, ce qui, après dérivation, donne 𝑓(𝑥)=1𝑒.

On voit maintenant que 𝑓(𝑥) est un multiple scalaire du numérateur. En appliquant la formule (1), on trouve 𝑒1𝑥𝑒+1𝑥=1𝑒𝑥+𝑒𝑥=|𝑥+𝑒|+.ddlnC

On considère maintenant l’intégrale 𝑥𝑥(𝑥)𝑥.cossinlnsind

Encore une fois, il peut ne pas être immédiatement évident que la définition puisse être appliquée. Sous cette forme, si on prend le dénominateur, 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥),sinlnsin sa dérivée est 𝑓(𝑥)=𝑥((𝑥)+1),coslnsin

qui n’est pas un multiple scalaire du numérateur. Cependant, si on exprime cotcossin𝑥=𝑥𝑥, on peut réécrire l’intégrale comme cossinlnsincotlnsin𝑥𝑥(𝑥)=𝑥(𝑥).

Sous cette forme, on peut identifier le dénominateur comme 𝑓(𝑥)=(𝑥),lnsin et la dérivée comme 𝑓(𝑥)=𝑥,cot qui est en effet un multiple scalaire du numérateur. Par conséquent, en utilisant (1), on peut en déduire que 𝑥𝑥(𝑥)𝑥=𝑥(𝑥)𝑥=|(𝑥)|+.cossinlnsindcotlnsindlnlnsinC

Ces exemples illustrent l’importance d’exprimer l’intégrale sous la bonne forme et de choisir la fonction 𝑓(𝑥) appropriée pour que cette méthode s’applique. Trouver la technique pour manipuler les expressions pour les mettre sous la bonne forme s’apprend par la pratique et l’expérience, c’est pourquoi il est utile de traiter autant d’exemples que possible. Tous ces types d’intégrales peuvent également être résolus en utilisant l’intégration par changement de variable après avoir choisi un changement de variable approprié.

Étudions maintenant quelques exemples pour pratiquer et approfondir notre compréhension du calcul d’intégrales de fonctions de la forme 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥) en utilisant la formule (1) donnée dans la définition.

Le premier exemple consiste à intégrer une fonction rationnelle avec des polynômes au numérateur et au dénominateur.

Exemple 1: Déterminer l’intégrale d’une fonction rationnelle

Déterminez 2𝑥+1𝑥+𝑥7𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction rationnelle.

On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥7.

On sait que l’on peut utiliser la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎,dlnC si la dérivée du dénominateur de l’intégrale est un multiple scalaire du numérateur. Dans ce cas, on a 𝑓(𝑥)=2𝑥+1.

Puisqu’il s’agit du numérateur de l’intégrale, on peut appliquer la formule pour déterminer 2𝑥+1𝑥+𝑥7𝑥=||𝑥+𝑥7||+.dlnC

Alternativement, on aurait pu utiliser l’intégration par le changement de variable 𝑢=𝑥+𝑥7 pour obtenir la même réponse.

Dans le prochain exemple, nous allons apprendre à intégrer une fonction trigonométrique inverse en appliquant la formule (1).

Exemple 2: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques inverses

Déterminez 𝑥𝑥cotd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction constituée d’une fonction trigonométrique inverse, qui peut elle-même être représentée comme le quotient de deux fonctions trigonométriques. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC

On commence par utiliser la définition de cot𝑥 en fonction de tan𝑥, qui peut aussi être exprimée en fonction de sin𝑥 et cos𝑥, et on peut réécrire l’intégrale sous la forme cottancossin𝑥=1𝑥=𝑥𝑥.

On peut vérifier que cette intégrale est sous la forme appropriée en identifiant le dénominateur comme 𝑓(𝑥)=𝑥,sin et en montrant que la dérivée de celui-ci est un multiple du numérateur. En effet, on trouve 𝑓(𝑥)=𝑥.cos

Par conséquent, on peut utiliser la formule pour en déduire que 𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥=|𝑥|+.cotdcossindlnsinC

On peut aussi trouver cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=𝑥sin.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment intégrer une fonction rationnelle composée du quotient de deux polynômes.

Exemple 3: Déterminer l’intégrale d’une fonction rationnelle

Déterminez 𝑥+7𝑥+21𝑥5𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction rationnelle.

On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=𝑥+21𝑥5, et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. En effet, on a 𝑓(𝑥)=3𝑥+21=3𝑥+7.

Puisqu’il s’agit de la forme appropriée, 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎,dlnC on peut calculer l’intégrale comme 𝑥+7𝑥+21𝑥5𝑥=(3𝑥+21)𝑥+21𝑥5𝑥=133𝑥+21𝑥+21𝑥5𝑥=13||𝑥+21𝑥5||+.dddlnC

On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=𝑥+21𝑥5.

Dans le prochain exemple, nous allons intégrer un quotient de deux fonctions trigonométriques.

Exemple 4: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques

Déterminez 27𝑥+21𝑥7𝑥9𝑥𝑥sincossincosd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC

On identifie d’abord le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=7𝑥9𝑥sincos et on vérifie que sa dérivée est un multiple scalaire du numérateur. En effet, on a 𝑓(𝑥)=7𝑥+9𝑥=13(27𝑥+21𝑥).cossinsincos

Puisqu’il s’agit de la forme requise et que 𝑓(𝑥) est un multiple scalaire du numérateur de l’intégrale, on peut déduire l’intégrale grâce à la formule:27𝑥+21𝑥7𝑥9𝑥𝑥=3(7𝑥+9𝑥)7𝑥9𝑥𝑥=37𝑥+9𝑥7𝑥9𝑥𝑥=3|7𝑥9𝑥|+.sincossincosdcossinsincosdcossinsincosdlnsincosC

On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=7𝑥9𝑥sincos.

Dans les premiers exemples, nous avons appris à appliquer la formule spécifique (1) pour l’intégration, où le numérateur est un multiple scalaire de la dérivée du dénominateur, ce qui donne une fonction logarithmique. On peut aussi appliquer cette formule lorsque l’intégrale elle-même contient déjà des logarithmes. Montrons cela dans le prochain exemple.

Exemple 5: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant une fonction logarithmique

Déterminez 3𝑥8𝑥𝑥lnd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction impliquant une fonction logarithmique. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC

Il peut ne pas être immédiatement évident de savoir comment mettre cette intégrale sous la forme requise par cette formule. Pour cette raison, on reformule l’intégrale:3𝑥8𝑥=8𝑥.lnln

On identifie maintenant le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=8𝑥ln et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. En effet, on trouve 𝑓(𝑥)=1𝑥=133𝑥.

Puisqu’il s’agit de la bonne forme et que 𝑓(𝑥) est un multiple scalaire du numérateur de l’intégrale, on peut déduire l’intégrale grâce à la formule:3𝑥8𝑥𝑥=8𝑥𝑥=38𝑥=3|8𝑥|+.lndlndlnlnlnC

On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=8𝑥ln.

Dans le prochain exemple, nous allons apprendre à manipuler une fonction trigonométrique inverse pour la mettre sous la forme 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥) afin de pouvoir calculer son intégrale.

Exemple 6: Intégrer des fonctions trigonométriques inverses

Déterminez 27𝑥𝑥cscd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique inverse. On va calculer cette intégrale en utilisant la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC

Afin d’obtenir l’intégrale sous la forme requise pour cette formule, on doit multiplier le dénominateur et le numérateur par cotcsc7𝑥+7𝑥 car la dérivée du dénominateur obtenu sera un multiple scalaire du numérateur. Si on fait cela, l’intégrale devient 27𝑥7𝑥+7𝑥7𝑥+7𝑥=27𝑥7𝑥+7𝑥7𝑥+7𝑥.csccotcsccotcsccsccotcsccotcsc

On identifie maintenant le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=7𝑥+7𝑥,cotcsc et on vérifie que sa dérivée est un multiple du numérateur. Pour cela, on va utiliser ddcotcscddcsccotcsc𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥,𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑎𝑥.

La dérivée est, par conséquent 𝑓(𝑥)=77𝑥7𝑥77𝑥=77𝑥7𝑥+7𝑥,cotcsccsccsccotcsc qui est en effet un multiple scalaire du numérateur. Puisqu’il s’agit de la forme requise, on peut en déduire l’intégrale grâce à la formule:27𝑥𝑥=27𝑥7𝑥+7𝑥7𝑥+7𝑥𝑥=277𝑥7𝑥77𝑥7𝑥+7𝑥𝑥=2777𝑥7𝑥77𝑥7𝑥+7𝑥𝑥=27|7𝑥+7𝑥|+.cscdcsccotcsccotcscdcotcsccsccotcscdcotcsccsccotcscdlncotcscC

On peut aussi calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=7𝑥+7𝑥cotcsc.

Dans le dernier exemple, nous allons à nouveau utiliser les identités trigonométriques pour nous aider à calculer une intégrale.

Exemple 7: Intégrer des fonctions trigonométriques

Déterminez 56𝑥𝑥tand.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale d’une fonction trigonométrique.

En reconnaissant l’identité trigonométrique, tansincos𝑥=𝑥𝑥, on peut écrire l’intégrale sous la forme tansincos6𝑥=6𝑥6𝑥.

On peut identifier le dénominateur de l’intégrale comme 𝑓(𝑥)=6𝑥,cos ce qui, après dérivation, donne 𝑓(𝑥)=66𝑥.sin

Par conséquent, l’intégrale est sous la forme spécifique voulue et on peut appliquer la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC

Par conséquent, 56𝑥𝑥=56𝑥𝑥=56𝑥6𝑥𝑥=5(66𝑥)6𝑥𝑥=5666𝑥6𝑥𝑥=56|6𝑥|+.tandtandsincosdsincosdsincosdlncosC

On peut aussi trouver cette intégrale en utilisant le changement de variable 𝑢=6𝑥cos.

Points clés

  • Les intégrales de la forme 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥) peuvent être calculées à l’aide de la formule 𝑎𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥=𝑎|𝑓(𝑥)|+,𝑎.dlnC
  • Cette méthode peut être utilisée pour trouver les intégrales de fonctions trigonométriques telles que cot𝑥, tan𝑥, csc𝑥, etc.
  • Parfois, il n’est pas immédiatement évident que cette méthode puisse être appliquée pour calculer l’intégrale, mais on peut manipuler une intégrale pour obtenir la forme requise en réécrivant l’intégrale ou en la multipliant par un 𝑔(𝑥)𝑔(𝑥) approprié.

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