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Déterminez la dérivée de la fonction 𝑔 de 𝑥 égale deux 𝑥 puissance moins deux en utilisant la définition de la dérivée.
Dans cette question, nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 et il faut trouver sa dérivée en utilisant la définition d'une dérivée. Pour répondre à cette question, nous commençons par rappeler qu'une fonction 𝑔 est dérivable en 𝑥 zéro si la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑔 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑔 de 𝑥 zéro sur ℎ existe et que 𝑥 zéro appartient au domaine de définition de 𝑔. Nous pouvons remplacer 𝑥 zéro par la variable 𝑥 pour trouver la fonction définie en termes de limite, permettant d'obtenir la dérivée de 𝑔. Celle-ci est appelée la dérivée de 𝑔 et est notée 𝑔 prime de 𝑥.
En appliquant cette définition à la fonction donnée 𝑔 de 𝑥, nous obtenons que 𝑔 prime de 𝑥 est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de deux fois 𝑥 plus ℎ puissance moins deux moins deux 𝑥 puissance moins deux le tout sur ℎ. Si nous essayons de calculer cette limite par substitution, le numérateur et le dénominateur donnent zéro, nous nous retrouvons donc avec la forme indéterminée zéro sur zéro. Cela signifie que nous devons calculer cette limite par une autre méthode. Nous pouvons calculer cette limite en réarrangeant notre expression. Nous commençons par isoler 1 sur ℎ, sans le faire sortir de la limite.
Ensuite, nous réécrivons chaque terme comme une fraction en utilisant les lois des exposants. Nous obtenons ainsi la limite, lorsque ℎ tend vers zéro, de un sur ℎ fois deux divisé par 𝑥 plus ℎ au carré moins deux sur 𝑥 au carré. Nous pouvons désormais combiner ces deux fonctions rationnelles par multiplication croisée. Nous obtenons l'expression suivante. Nous pouvons maintenant combiner les numérateurs. Cependant, il faut d'abord développer l'expression entre parenthèses au numérateur du second terme. Cela nous donne deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥ℎ plus deux ℎ au carré. La somme de ces termes nous donne alors la limite lorsque ℎ tend vers zéro de un sur ℎ fois deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥ℎ moins deux ℎ au carré sur 𝑥 au carré fois 𝑥 plus ℎ au carré.
Nous pouvons maintenant simplifier pour calculer cette limite. D'abord, deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au carré égale zéro. Ensuite, nous pouvons remarquer que les deux termes du numérateur ont des facteurs de ℎ. Il est possible de simplifier les facteurs de ℎ au numérateur et au dénominateur à l'intérieur d'une limite puisque nous ne sommes pas intéressés par ce qui se passe lorsque ℎ est égal à zéro, mais seulement lorsque ℎ tend vers zéro. Cela nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro de moins quatre 𝑥 moins deux ℎ sur 𝑥 au carré fois 𝑥 plus ℎ au carré. Il s’agit d’une fonction rationnelle, nous pouvons donc essayer de calculer cette limite par substitution directe. Nous voulons substituer ℎ est égal à zéro dans la fonction pour trouver cette limite. Cela nous donne moins quatre 𝑥 moins deux fois zéro sur 𝑥 au carré fois 𝑥 plus zéro au carré.
Cette expression se simplifie en notant que deux fois zéro est égal à zéro et que 𝑥 plus zéro est juste 𝑥. Nous avons donc moins quatre fois 𝑥 sur 𝑥 au carré fois 𝑥 au carré. À présent, il convient de simplifier par le facteur en commun de 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons faire cela puisque 𝑥 est égal à zéro n'est pas dans le domaine de 𝑔 de 𝑥. Ainsi, 𝑔 n'est pas dérivable en cette valeur de 𝑥 puisqu'elle n'est pas définie ici. Cela nous donne alors moins quatre sur 𝑥 au cube. Nous pouvons utiliser les lois des exposants pour réécrire 𝑔 prime de 𝑥 sous la même forme que 𝑔 de 𝑥.
Ainsi, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 puissance moins deux donne 𝑔 prime de 𝑥 est égal à moins quatre 𝑥 puissance moins trois.
