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Victor résout le système d'équations suivant en utilisant la règle de Cramer. Il écrit ce qui suit. Δ 𝑥 est le déterminant de la matrice trois fois trois un, deux, trois, quatre, moins trois, moins deux, deux, un, moins quatre. Δ 𝑦 est le déterminant de la matrice trois fois trois deux, un, trois, moins trois, quatre, moins deux, moins un, deux, moins quatre. Δ 𝑧 est le déterminant de la matrice trois fois trois deux, deux, un, moins trois, moins trois, quatre, moins un, un, deux. Qu’est-ce qu’il écrit pour Δ ?
On nous dit dans cette question que Victor essaie de résoudre un système d'équations en utilisant la règle de Cramer. Cependant, on ne nous donne pas le système d'équations. En revanche, on nous donne les expressions utilisées pour calculer Δ 𝑥, Δ 𝑦, et Δ 𝑧. Nous devons utiliser ces expressions pour déterminer l'expression nécessaire pour construire Δ.
Pour répondre à cette question, il faut d'abord rappeler comment nous pouvons utiliser la règle de Cramer pour résoudre un système d'équations. Puisque les expressions qui nous sont données sont des déterminants de matrices trois fois trois, nous pouvons rappeler la version pour un système de trois équations linéaires. 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 est égal à 𝑗 ; 𝑑𝑥 plus 𝑒𝑦 plus 𝑓𝑧 est égal à 𝑘 ; 𝑔𝑥 plus ℎ𝑦 plus 𝑖𝑧 est égal à 𝑙.
Selon la règle de Cramer, si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul – soit, Δ, qui est égal au déterminant de la matrice trois fois trois 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, est non nul - alors le système a une solution unique donnée par 𝑥 est égal à Δ 𝑥 sur Δ, 𝑦 est égal Δ 𝑦 sur Δ et 𝑧 est égal à Δ 𝑧 sur Δ, où Δ 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont trouvés en substituant respectivement les coefficients de la colonne de cette variable dans Δ par les coefficients de la matrice des constantes du système d'équations. Nous pouvons par exemple trouver Δ 𝑥 en remplaçant la première colonne de l'expression de Δ par les valeurs 𝑗, 𝑘 et 𝑙 pour obtenir l'expression suivante de Δ 𝑥.
Nous voulons donc déterminer une expression pour Δ. Ainsi, nous voulons déterminer les valeurs de ces neuf constantes. Il est possible de trouver six de ces constantes en utilisant notre expression pour Δ 𝑥. Puisque la deuxième et la troisième colonne dans les expressions pour Δ 𝑥 et Δ sont les mêmes, nous pouvons ajouter ces deux colonnes dans notre expression pour Δ. Nous pouvons appliquer ce même raisonnement aux deux autres expressions que nous avons. Nous voyons que la première colonne de Δ 𝑦 et Δ 𝑧 nous indique les valeurs de 𝑎, 𝑑, et 𝑔. Nous pouvons alors ajouter cette colonne dans l'expression de Δ pour obtenir qu’il doit être égal au déterminant de la matrice trois fois trois deux, deux, trois, moins trois, moins trois, moins deux, moins un, un, moins quatre.
