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Fiche explicative de la leçon: Règle de Cramer Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la règle de Cramer pour résoudre un système d'équations linéaires.

Elle impliquera l’utilisation des déterminants pour résoudre des systèmes de deux et trois équations linéaires.

La méthode de Cramer est un moyen utile pour la résolution d’équations simultanées;par exemple, elle nous permet de résoudre un système d’équations par rapport à une variable de manière indépendante sans avoir à déterminer toutes les autres variables.

La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent.

Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation. Commençons par un système de deux équations linéaires.

Définition : Méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Soit le système suivant de deux équations linéaires à deux inconnues, 𝑥 et 𝑦, 𝑎𝑓, 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, qui peut être converti en une équation matricielle 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓, La méthode de Cramer stipule que si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, alors 𝑥=|||𝑒𝑏𝑓𝑑||||||𝑎𝑏𝑐𝑑|||=𝑒𝑑𝑏𝑓𝑎𝑑𝑏𝑐𝑦=|||𝑎𝑒𝑐𝑓||||||𝑎𝑏𝑐𝑑|||=𝑎𝑓𝑒𝑐𝑎𝑑𝑏𝑐et est la solution unique de ce système d’équations.

Cela est souvent simplifié par 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,Δ=|||𝑒𝑏𝑓𝑑|||, Δ=|||𝑎𝑒𝑐𝑓||| et Δ=|||𝑎𝑏𝑐𝑑||| sont les déterminants des matrices obtenues en substituant respectivement les coefficients de la colonne de 𝑥 et de 𝑦 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, et le déterminant de la matrice des coefficients. La méthode de Cramer peut être étendue à tout nombre d’équations linéaires. Par exemple, pour un système de trois équations à trois inconnues, on obtient ce qui suit.

Définition : Méthode de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues

Soit le système suivant de trois équations linéaires à trois inconnues, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑗,𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓𝑧=𝑘,𝑔𝑥+𝑦+𝑖𝑧=𝑙, qui peut être converti en une équation matricielle 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖𝑥𝑦𝑧=𝑗𝑘𝑙, La méthode de Cramer stipule que si Δ est non nul, alors 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ est la solution unique de ce système d’équations, où Δ=||||𝑗𝑏𝑐𝑘𝑒𝑓𝑙𝑖||||, Δ=|||||𝑎𝑗𝑐𝑑𝑘𝑓𝑔𝑙𝑖|||||, Δ=||||𝑎𝑏𝑗𝑑𝑒𝑘𝑔𝑙|||| et Δ=||||𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖|||| sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients des colonnes de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, et le déterminant de la matrice des coefficients.

Cependant, il est utile de noter que la méthode de Cramer peut être généralisée à 𝑛 équations linéaires à 𝑛 inconnues et une notation différente peut être rencontrée;par exemple, pour le déterminant d’une matrice, on peut rencontrer 𝐷 ou |Δ|. Dans ce document explicatif, nous allons utiliser la notation Δ et nous ne traiterons que des systèmes d’équations linéaires avec au plus 3 inconnues.

Nous connaissons maintenant la méthode de Cramer et comment l’utiliser, mais d’où vient-elle?

Pour voir d’où vient la méthode de Cramer, on va essayer de résoudre le système d’équations linéaires suivant:𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑟,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑟.

On souhaite éliminer une variable;en supposant que 𝑏 et 𝑑 sont tous les deux non nuls, on multiplie la première équation par 𝑑 et la deuxième équation par 𝑏 puis on soustrait:𝑎𝑑𝑥+𝑏𝑑𝑦=𝑑𝑟𝑏𝑐𝑥+𝑏𝑑𝑦=𝑏𝑟𝑎𝑑𝑥𝑏𝑐𝑥=𝑑𝑟𝑏𝑟.

La factorisation nous donne (𝑎𝑑𝑏𝑐)𝑥=𝑑𝑟𝑏𝑟.

Enfin, si 𝑎𝑑𝑏𝑐0, 𝑥=𝑑𝑟𝑏𝑟𝑎𝑑𝑏𝑐.

Conformément à notre notation, ceci est ΔΔ;on peut faire exactement la même chose pour 𝑦. En fait, on peut faire de même pour des matrices d’ordre supérieure, à condition que le déterminant soit non nul.

Maintenant, pour notre premier exemple, nous allons examiner une question qui explique une condition de la méthode.

Exemple 1: Déterminer l'applicabilité de la règle de Cramer pour la résolution d'un système d'équations linéaires avec un ensemble de solutions infinies

La méthode de Cramer est-elle utile pour trouver des solutions aux systèmes d’équations linéaires qui ont un ensemble infini de solutions?

Réponse

La réponse courte à cette question est non, car la méthode de Cramer n’est pas applicable lorsque le système d’équations linéaires a un nombre infini de solutions.

On va explorer pourquoi. Il y a deux cas où un système d’équations linéaires pourrait avoir un nombre infini de solutions. Premièrement, il peut y avoir plus de variables que d’équations. Dans ce cas, la méthode de Cramer n’est pas applicable car la matrice des coefficients doit être carrée. Deuxièmement, si le déterminant de la matrice des coefficients est nul, il peut alors y avoir un nombre infini de solutions ou aucune solution. Cependant, comme on peut le voir dans la formule de la méthode de Cramer, on divise par le déterminant de la matrice des coefficients et donc on ne peut pas le faire s’il est nul. Par conséquent, la méthode de Cramer n’est pas applicable.

On peut donc conclure que la méthode de Cramer n’est pas utile pour trouver les solutions de systèmes d’équations linéaires qui ont un ensemble infini de solutions.

On a maintenant fini d’examiner les conditions de la méthode, mais avant de passer à des exemples d’utilisation de celle-ci, nous allons récapituler comment trouver le déterminant des matrices de tailles 2×2 et 3×3.

Comment : Déterminer le déterminant de matrices de tailles 2 × 2 et 3 × 3

Si on commence par une matrice 2×2, 𝑎𝑏𝑐𝑑, alors

On obtient ce résultat en soustrayant le produit des diagonales.

Maintenant, pour une matrice 3×3, 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑖, puis, en utilisant la première ligne pour trouver le déterminant, on obtient

Quand on observe le déterminant d’une matrice 3×3, un point important à retenir est que les coefficients par lesquels on multiplie les déterminants des sous-matrices 2×2 suivent le schéma +, , + comme indiqué ci-dessus.

À ce stade, on rappelle également que le déterminant peut être calculé en utilisant n’importe quelle ligne ou colonne.

On rappelle comment trouver la sous-matrice 2×2:

Si on prend le coefficient a et que l’on supprime la colonne et la ligne dans laquelle il se trouve, les quatre coefficients restants forment alors la sous-matrice.

Maintenant que nous avons rappelé comment calculer les déterminants, nous allons examiner quelques exemples d’utilisation de la méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.

Exemple 2: Résoudre un système de deux équations en utilisant des déterminants

Utilisez les déterminants pour résoudre le système 8𝑥4𝑦=8,9𝑥6𝑦=9.

Réponse

La première étape consiste à définir une équation matricielle du système d’équations:8496𝑥𝑦=89.

On rappelle maintenant la méthode de Cramer lorsque l’on chercher à résoudre un système d’équations.

Si Δ est non nul, 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ est la solution unique de ce système d’équations, où Δ et Δ sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients de la colonne de 𝑥 et de 𝑦 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, comme suit:

Pour appliquer la méthode de Cramer, on doit déterminer Δ, Δet Δ. On commence par Δ:Δ=||8496||=(8×6)(4×9)=48+36=84.

Avec ce résultat, non seulement on a trouvé Δ, mais comme Δ est non nul, on a montré qu’il y a une solution unique au système d’équations.

On calcule ensuite Δ:Δ=||8496||=(8×6)(4×9)=4836=12.

On calcule enfin Δ:Δ=||8899||=(8×9)(8×9)=72+72=144.

On substitue maintenant les valeurs des déterminants dans la solution donnée par la méthode de Cramer pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦:𝑥=ΔΔ,Δ=12,Δ=84; par conséquent, 𝑥=1284=17.

Maintenant, si on se penche sur 𝑦 , 𝑦=ΔΔ,Δ=144,Δ=84; par conséquent, 𝑦=14484=127.

En conclusion, on peut dire que la solution unique du système d’équations linéaires est 𝑥=17𝑦=127.et

À ce stade, on peut effectuer un contrôle rapide en substituant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 dans le système d’équations original pour vérifier que les deux équations sont satisfaites comme suit:8𝑥4𝑦=8,9𝑥6𝑦=9.

Dans la première équation, 8174127=87487=567=8.

Dans la deuxième équation, 9176127=97727=637=9.

Dans notre prochain exemple, nous allons étudier un problème dans lequel nous devons réarranger le système d’équations avant de le résoudre.

Exemple 3: Résoudre un système de deux équations en utilisant des déterminants

Utilisez les déterminants pour résoudre le système 9𝑥=8+8𝑦,6𝑦=7+3𝑥.

Réponse

Dans cette question, il est demandé de résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. On pourrait le faire en éliminant une variable;on va cependant utiliser la méthode de Cramer.

Pour un système d’équations à deux inconnues, la méthode de Cramer stipule que si Δ est non nul, alors 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ est la solution unique du système..

Par conséquent, la première étape consiste à réarranger les équations sous une forme qui peut être facilement convertie en équation matricielle:9𝑥8𝑦=8,3𝑥+6𝑦=7.

Maintenant que le système est sous cette forme, on définit une équation matricielle:9836𝑥𝑦=87.

À ce stade, on rappelle que Δ et Δ sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients des colonnes de 𝑥 et 𝑦 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, comme suit:Δ=||8876||Δ=||9837||.et

L’étape suivante consiste à calculer les déterminants requis. On commence par Δ:Δ=||9836||=(9×6)(8×3)=5424=78.

Avec ce résultat, non seulement on a trouvé Δ, mais on a aussi montré que l’on peut résoudre le système d’équations car le déterminant de la matrice des coefficients est non nul.

On calcule ensuite Δ:Δ=||8876||=(8×6)(8×7)=48+56=8.

On calcule enfin Δ:Δ=||9837||=(9×7)(8×3)=6324=87.

On a tout ce dont on a besoin pour utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système d’équations. On substitue maintenant les valeurs des déterminants pour trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦:𝑥=ΔΔ,Δ=8,Δ=78; par conséquent, 𝑥=878=439.

Maintenant, si on calcule 𝑦 , 𝑦=ΔΔ,Δ=87,Δ=78; par conséquent, 𝑦=8778=2926.

En conclusion, on peut dire que la solution unique au système d’équations est 𝑥=439𝑦=2926.et

Dans les deux exemples précédents, nous avons étudié des problèmes impliquant deux inconnues. Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Exemple 4: Résoudre un système de trois équations en utilisant des déterminants

Utilisez les déterminants pour résoudre le système 5𝑥=2𝑦5+3𝑧,3𝑥𝑦+1=2𝑧,2𝑦𝑧=5𝑥+3.

Réponse

Pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues en utilisant les déterminants, on peut utiliser la méthode de Cramer à condition que le déterminant de la matrice des coefficients soit non nul.

Ensuite, la solution unique est donnée par 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ.

La première étape consiste à réarranger les équations pour isoler les termes constants. On fait cela pour que le système puisse être facilement converti en équation matricielle:5𝑥+2𝑦3𝑧=5,3𝑥𝑦2𝑧=1,5𝑥+2𝑦𝑧=3.

Maintenant que le système est sous cette forme, on définit une équation matricielle:523312521𝑥𝑦𝑧=513.

Ensuite, en utilisant la méthode de Cramer, on rappelle que Δ, Δ et Δ sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients des colonnes de 𝑥, 𝑦et 𝑧 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, comme suit:Δ=||||523112321||||.

L’étape suivante consiste à calculer les déterminants requis;on commence par Δ:Δ=||||523312521||||=5||1221||2||3251||3||3152||=5(1+4)2(3+10)3(6+5)=2.

Avec ce résultat, non seulement on a trouvé Δ, mais on a aussi montré qu’il existe une solution unique au système d’équations. C’est parce que la valeur de Δ est non nulle.

On calcule ensuite Δ:Δ=||||523112321||||=5||1221||2||1231||3||1132||=5(5)2(7)3(1)=42.

Puis Δ:Δ=||||553312531||||=5||1231||+5||3251||3||3153||=5(7)+5(13)3(4)=112.

On calcule enfin Δ:Δ=||||525311523||||=5||1123||2||3153||5||3152||=5(1)2(4)5(1)=8.

On a maintenant tout ce dont on a besoin pour utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système d’équations;on substitue les valeurs des déterminants dans la solution unique donnée par la méthode de Cramer pour trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 comme suit:𝑥=ΔΔ,Δ=42,Δ=2; par conséquent, 𝑥=422=21.

On calcule maintenant 𝑦:𝑦=ΔΔ,Δ=112,Δ=2; par conséquent, 𝑦=1122=56.

On calcule enfin 𝑧:𝑧=ΔΔ,Δ=8,Δ=2; par conséquent, 𝑧=82=4.

En conclusion, on peut dire que la solution unique du système d’équations linéaires est 𝑥=21,𝑦=56,𝑧=4.et

Pour le dernier exemple, nous allons étudier une question où le système d’équations est donné en fonction du déterminant.

Exemple 5: Résoudre un système de trois équations en utilisant les déterminants

Résolvez, en utilisant la méthode de Cramer, le système d’équations |||1𝑧4𝑦|||=23,|||2𝑦5𝑥|||=13,||3𝑥5𝑧||=51.

Réponse

Pour utiliser la méthode de Cramer dans ce problème, la première étape consiste à calculer les déterminants des matrices 2×2:|||1𝑧4𝑦|||=(1×𝑦)(𝑧×(4))=𝑦+4𝑧,|||2𝑦5𝑥|||=(2×𝑥)(𝑦×(5))=2𝑥+5𝑦,||3𝑥5𝑧||=(3×𝑧)(𝑥×5)=5𝑥+3𝑧.

Maintenant que l’on a les déterminants, on peut former un système de trois équations qui peut ensuite être utilisé pour définir une équation matricielle:𝑦+4𝑧=23,2𝑥+5𝑦=13,5𝑥+3𝑧=51.

Comme il est demandé de résoudre le système d’équations en utilisant des déterminants, on rappelle la méthode de Cramer:si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, il y a alors une solution unique au système donnée par 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ.

Pour appliquer la méthode de Cramer, on reformule le système comme une équation matricielle;cependant, on doit veiller à inclure des coefficients nuls dans la matrice des coefficients. Pour cela, on peut réécrire le système d’équations pour inclure les coefficients nuls avant de l’écrire comme une équation matricielle:0𝑥𝑦+4𝑧=23,2𝑥+5𝑦+0𝑧=13,5𝑥+0𝑦+3𝑧=51.

Une fois écrit sous forme d’ une équation matricielle, on obtient 014250503𝑥𝑦𝑧=231351.

À ce stade, on rappelle que Δ, Δet Δ, sont d’après la méthode de Cramer, les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients des colonnes de 𝑥, 𝑦et 𝑧 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes, comme suit:Δ=||||231413505103||||.

L’étape suivante consiste à calculer les déterminants nécessaires;on commence par Δ:Δ=||||014250503||||=0||5003||+1||2053||+4||2550||=0+1(60)+4(0+25)=106.

On calcule ensuite Δ:Δ=||||231413505103||||=23||5003||+1||130513||+4||135510||=23(15)+1(39)+4(255)=636.

Puis Δ:Δ=||||023421305513||||=0||130513||23||2053||+4||213551||=023(6)+4(167)=530.

On calcule enfin Δ:Δ=||||012325135051||||=0||513051||+1||213551||+23||2550||=0+1(167)+23(25)=742.

On substitue maintenant les valeurs des déterminants dans la solution unique de la méthode de Cramer pour trouver les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧:𝑥=ΔΔ,Δ=636,Δ=106; par conséquent, 𝑥=636106=6.

On calcule maintenant 𝑦:𝑦=ΔΔ,Δ=530,Δ=106; par conséquent, 𝑦=530106=5.

On se penche enfin sur 𝑧:𝑧=ΔΔ,Δ=742,Δ=106; par conséquent, 𝑧=742160=7.

En conclusion, on peut dire que la solution unique au système d’équations linéaires est 𝑥=6,𝑦=5,𝑧=7.et

Terminons par récapituler quelques points clés.

Points clés

  • Soit le système d’équations à deux inconnues suivant, 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, La méthode de Cramer stipule que si Δ est non nul, alors le système a une solution unique donnée par 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ.
  • Soit le système d’équations à trois inconnues suivant, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑗,𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓𝑧=𝑘,𝑔𝑥+𝑦+𝑖𝑧=𝑙, La méthode de Cramer stipule que si Δ est non nul, alors le système a une solution unique donnée par 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ.
  • La méthode de Cramer peut être étendue à 𝑛 équations linéaires à 𝑛 inconnues.
  • Pour trouver Δ, Δ ou Δ , on substitue la colonne correspondante dans la matrice des coefficients par la matrice des constantes et on calcule le déterminant de la matrice nouvellement formée.
  • Le déterminant de la matrice des coefficients Δ doit être non nul pour pouvoir appliquer la méthode de Cramer.

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