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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la méthode de Cramer pour résoudre un système d’équations linéaires. Nous allons ainsi utiliser des déterminants pour résoudre des systèmes de deux et trois équations en appliquant la méthode de Cramer.
La méthode de Cramer est un outil utile permettant de résoudre des systèmes d’équations. Elle est particulièrement pratique parce qu’elle nous permet de calculer une seule variable sans avoir à résoudre tout le système d’équations. Mais d’où vient-elle ? Bien, la méthode de Cramer tient son nom de Gabriel Cramer. Il était un mathématicien genevois. Ce qu’il a conçu est une méthode permettant de résoudre des systèmes d’équations en utilisant des matrices ou des équations matricielles et les déterminants de ces matrices. Avant d’étudier quelques exemples d’utilisation de la méthode de Cramer, nous allons présenter la méthode et son fonctionnement.
Notez qu’il existe plusieurs notations pour cette méthode. Pour la méthode de Cramer notée ici dans la bulle, la notation utilise Δ pour représenter des matrices, on a donc le déterminant de la matrice noté Δ 𝑥, mais il peut également être noté D 𝑥. Cela fera également référence au déterminant de la matrice.
Présentons donc la méthode de Cramer ; celle-ci stipule que pour un système d’équations - qui a dans ce cas trois variables, 𝑥, 𝑦 et 𝑧, mais nous allons étudier des systèmes à deux et trois variables dans cette leçon - la solution au système est définie par 𝑥 égale le déterminant de la matrice Δ 𝑥 divisé par le déterminant de la matrice Δ. 𝑦 égale le déterminant de la matrice Δ 𝑦 sur le déterminant de la matrice Δ. Et 𝑧 égale le déterminant de la matrice Δ 𝑧 sur le déterminant de la matrice Δ. Très bien. Mais à quoi correspondent exactement ces matrices ? Regardons ça de plus près.
Supposons que nous souhaitions résoudre ce système de deux équations à deux variables 𝑥 et 𝑦. On a trois 𝑥 plus deux 𝑦 égale 23 et deux 𝑥 moins quatre 𝑦 égale moins 22. Ce que nous pouvons commencer par faire ici est d’exprimer ce système sous forme d’équation matricielle. On a donc la matrice trois, deux, deux et moins quatre. Il s’agit de la matrice des coefficients, où les coefficients de 𝑥 sont dans la première colonne et les coefficients de y dans la deuxième colonne. Elle est multipliée par la matrice 𝑥, 𝑦, qui sont les variables. Tout cela est égal à une matrice des constantes 23, moins 22. Ces valeurs sont en effet les constantes aux membres droits des équations. Très bien. Nous avons donc notre équation matricielle mais nous n’en sommes pas encore aux formules. Alors, quelle est la prochaine étape ?
Commençons par désigner la matrice par Δ. Il s’agit de la matrice des coefficients. Pour calculer la variable 𝑥, on a donc le déterminant de la matrice trois, deux, deux, moins quatre au dénominateur. Jusque-là, tout va bien. Mais à quoi correspond le numérateur ? Quelle est cette matrice Δ 𝑥 ? Bien, la matrice Δ 𝑥 est la matrice que l’on obtient si on remplace la colonne des coefficients de 𝑥 par la matrice colonne des constantes, ce qui nous donne la matrice 23, deux, moins 22, moins quatre et vous pouvez voir que les coefficients de 𝑦 restent les mêmes. On en déduit donc que la solution 𝑥 est égale au déterminant de la matrice 23, deux, moins 22, moins quatre divisé par le déterminant de la matrice trois, deux, deux, moins quatre.
On pourrait ensuite appliquer la méthode de Cramer pour trouver la solution y de la même manière. Nous le verrons dans certains exemples de cette leçon. Mais cet exemple est simplement pour montrer comment la méthode fonctionne. Maintenant, avant de passer à quelques exemples, cette méthode implique beaucoup de déterminants. Nous allons donc rappeler comment calculer le déterminant de matrices deux fois deux et trois fois trois. Vous devriez déjà savoir le faire donc ce sera un rappel très rapide.
Si nous considérons tout d’abord une matrice deux fois deux, par exemple la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors son déterminant est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. On multiplie les coefficients opposés et on les soustrait. Pour une matrice trois fois trois, si nous souhaitons par exemple calculer le déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, il est égal à 𝑎 fois le déterminant de la sous-matrice 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 moins 𝑏 fois le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 fois le déterminant de la sous-matrice 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.
Il est important de se rappeler d’alterner les signes des coefficients avant de les multiplier par les déterminants des sous-matrices. Nous allons rappeler rapidement comment trouver ces sous-matrice deux fois deux. Pour le coefficient 𝑎, on supprime la colonne et la ligne dans lesquelles il se trouve. Et il nous reste la sous-matrice deux fois deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Maintenant, nous avons rappelé tout cela et nous avons vu comment utiliser la méthode de Cramer. Nous allons étudier quelques exemples. Dans le premier exemple, nous allons établir une des conditions de la méthode de Cramer.
La méthode de Cramer est-elle utile pour trouver des solutions aux systèmes d’équations linéaires ayant une infinité de solutions ?
Bien, nous pouvons répondre à cette question très rapidement en disant simplement non, la méthode de Cramer n’est pas utile lorsque le système d’équations linéaires a une infinité de solutions. Quand on transforme en effet le système en une équation matricielle, on ne peut pas le résoudre si la matrice n’est pas inversible. Lorsqu’il y a une infinité de solutions, la matrice des coefficients n’est pas inversible. Mais c’est une réponse un peu courte. Voyons en détail pourquoi c’est le cas. Comme nous l’avons déjà dit, si la matrice des coefficients d’un système d’équations n’est pas inversible, alors il y a une infinité de solutions. Mais quelles sont les propriétés d’une matrice non inversible ?
Bien, une matrice non inversible a un déterminant égal à zéro. Si on observe alors la méthode de Cramer et que l’on souhaite calculer la valeur d’une des trois variables 𝑥, 𝑦 ou 𝑧, on constate que le déterminant de la matrice est au dénominateur de la fraction. Et si la matrice n’est pas inversible, alors ce déterminant est égal à zéro. Et on sait que diviser par zéro n’est pas défini. C’est pourquoi nous pouvons répondre que non, la méthode de Cramer n’est pas utile pour trouver des solutions aux systèmes d’équations linéaires ayant une infinité de solutions.
Très bien. Nous avons ainsi vu la condition sous laquelle la méthode de Cramer peut être appliquée. Passons maintenant à quelques exemples d’utilisation de la méthode de Cramer.
Utilisez des déterminants pour résoudre le système moins huit 𝑥 moins quatre 𝑦 égale moins huit, neuf 𝑥 moins six 𝑦 égale moins neuf.
La première chose à faire pour ce problème est de définir une équation matricielle équivalente à ce système d’équations. On obtient alors la matrice moins huit, moins quatre, neuf, moins six fois la matrice 𝑥, 𝑦 égale la matrice des constantes, qui est moins huit, moins neuf. Comme nous devons utiliser des déterminants pour résoudre ce système, nous allons utiliser la méthode de Cramer. Celle-ci stipule que 𝑥 est égal au déterminant de la matrice Δ 𝑥 sur le déterminant de la matrice Δ. Et que 𝑦 est égal au déterminant de la matrice Δ 𝑦 sur le déterminant de la matrice Δ.
Mais vous pourriez alors vous demander à quoi correspond la matrice Δ 𝑥. Bien, il s’agit de la matrice créée en remplaçant la colonne des coefficients de 𝑥 dans la matrice des coefficients par la matrice colonne des constantes. Dans ce cas, par exemple, on remplace la première colonne de la matrice par la matrice des constantes. Donc, au lieu de moins huit, neuf, on a moins huit, moins neuf. Nous sommes maintenant prêts à calculer les déterminants. Tout d’abord, on a le déterminant de la matrice moins huit, moins quatre, neuf, moins six. Il est égal à moins huit fois moins six moins moins quatre fois neuf, ce qui donne 48 plus 36. Cela est égal à 84.
Cela nous permet de vérifier au passage que le système d’équations admet bien une solution, car si la matrice n’était pas inversible, alors son déterminant serait égal à zéro. Nous pouvons voir que ce n’est pas le cas ici. Calculons ensuite le déterminant de la matrice Δ 𝑥. Nous avons déjà indiqué que Δ 𝑥 est la matrice obtenue en remplaçant les coefficients de x par moins huit et moins neuf, la matrice des constantes. On obtient ainsi la matrice moins huit, moins quatre, moins neuf, moins six. Son déterminant est égal à moins huit fois moins six moins moins quatre fois moins neuf, ce qui fait 12. Parfait. Plus qu’un déterminant à calculer.
Celui que nous recherchons à présent est le déterminant de la matrice Δ 𝑦. Il est égal au déterminant de la matrice moins huit, moins huit, neuf, moins neuf. Comme précédemment, nous l’avons obtenue en remplaçant les coefficients de 𝑦 par la matrice des constantes. Le déterminant est donc égal à moins huit fois moins neuf moins moins huit fois neuf, ce qui donne 144. Très bien. Nous avons ainsi tout ce dont nous avons besoin pour appliquer la méthode de Cramer et résoudre le système d’équations. Avec la méthode de Cramer, on obtient 𝑥 égale 12 sur 84. Et on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 12. En effectuant cette simplification, on trouve que 𝑥 est égal à un sur sept.
Très bien. Nous avons trouvé la valeur de 𝑥. Passons maintenant à 𝑦. En utilisant à nouveau la méthode de Cramer, on obtient 𝑦 égale le déterminant de la matrice Δ 𝑦 sur le déterminant de la matrice Δ, c’est-à-dire 144 sur 84. Et on peut encore une fois simplifier la fraction. On divise pour cela le numérateur et le dénominateur par 12. On trouve alors que 𝑦 est égal à 12 sur sept. Nous pouvons donc conclure que la solution à ce système d’équations est 𝑥 égale un sur sept et 𝑦 égale douze sur sept.
Très bien. Nous avons vu un exemple de résolution d’un système de deux équations. Nous allons à présent nous pencher sur un système de trois équations à trois variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Utilisez des déterminants pour résoudre le système cinq 𝑥 égale moins deux 𝑦 moins cinq plus trois 𝑧, moins trois 𝑥 moins 𝑦 plus un égale deux 𝑧, et deux 𝑦 moins 𝑧 égale moins cinq 𝑥 plus trois.
Dans un problème comme celui-ci, la première chose à faire est de réorganiser les équations de telle sorte que les variables soient sur le membre gauche. Et que les constantes soient sur le membre droit. La première équation devient donc cinq 𝑥 plus deux 𝑦 moins trois 𝑧 égale moins cinq. Pour la deuxième équation, on a moins trois 𝑥 moins 𝑦 moins deux 𝑧 égale moins un. Et enfin, cinq 𝑥 plus deux 𝑦 moins 𝑧 égale trois.
Très bien. Mais pourquoi avons-nous en fait mis les équations sous cette forme ? C’est parce que nous souhaitons définir une équation matricielle équivalente. En faisant cela, on obtient la matrice cinq, deux, moins trois ; moins trois, moins un, moins deux ; cinq, deux, moins un multipliée par la matrice des variables, qui est 𝑥, 𝑦, 𝑧. Cela est égal à la matrice des constantes : moins cinq, moins un, trois. Très bien. Mais comment cela nous aide-t-il à atteindre notre objectif, qui est de résoudre le système d’équations à l’aide de déterminants ? Bien, nous pouvons à présent utiliser la méthode de Cramer. Et celle-ci nous donne des formules permettant de trouver les solutions au système ; pour 𝑥 par exemple, 𝑥 est égal au déterminant de la matrice Δ 𝑥 sur le déterminant de la matrice Δ. Et de même pour 𝑦 et 𝑧.
Nous devons donc calculer ces déterminants pour l’appliquer. Le premier déterminant que nous allons calculer est le déterminant de Δ, qui est la matrice des coefficients. On calcule donc le déterminant de la matrice cinq, deux, moins trois ; moins trois, moins un, moins deux ; cinq, deux, moins un. Il est égal à cinq fois le déterminant de la sous-matrice moins un, moins deux, deux, moins un moins deux fois le déterminant de la sous-matrice moins trois, moins deux, cinq, moins un moins trois fois le déterminant de la sous-matrice moins trois, moins un, cinq, deux, en rappelant que les coefficients doivent alterner de signe : positif, négatif, positif. Pour trouver les sous-matrices, on supprime la colonne et la ligne dans lesquelles se trouve le coefficient correspondant.
Très bien. Passons maintenant au calcul de cela. On rappelle alors que pour calculer le déterminant d’une matrice deux fois deux, on multiplie les coefficients opposés puis on les soustrait ; on obtient ainsi cinq fois un plus quatre moins deux fois trois plus 10 moins trois fois moins six plus cinq, ce qui est égal à deux. C’est une bonne nouvelle car cela nous indique également que la matrice est inversible. Nous savons donc qu’il n’y aura pas une infinité de solutions. Si c’était le cas, le déterminant serait égal à zéro. Nous allons maintenant faire un peu de place et calculer les autres déterminants.
Le prochain est le déterminant de Δ 𝑥. On remplace pour cela les coefficients de 𝑥 dans la première colonne de la matrice par la matrice des constantes. Et on peut à présent calculer le déterminant de cette matrice. On utilise la même méthode que pour le déterminant précédent, ce qui nous donne une valeur de moins 42. Et vous pouvez voir le détail des calculs ici. Très bien. Faisons à nouveau un peu de place et calculons le prochain déterminant.
Il s’agit du déterminant de la matrice Δ 𝑦. On remplace pour cela les coefficients de 𝑦 de la matrice des coefficients par la matrice des constantes. En utilisant la même méthode pour calculer le déterminant, on trouve une valeur de 112. Les calculs sont également détaillés ici. Faisons encore une fois de la place pour le dernier déterminant. Il s’agit du déterminant de la matrice Δ 𝑧. On suit à nouveau la même méthode pour calculer le déterminant de cette matrice trois fois trois. Cela nous donne un résultat de huit.
Nous avons à présent tous les déterminants dont nous avons besoin pour utiliser la méthode de Cramer et calculer les valeurs des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. En commençant par 𝑥, il est égal à moins 42 sur deux. On obtient cela parce que cela correspond au déterminant de Δ 𝑥 sur le déterminant de Δ. On trouve donc que 𝑥 est égal à moins 21. Pour 𝑦, on a ensuite 112 sur deux, ce qui fait 56. Enfin, on a 𝑧 égale huit sur deux, ce qui nous donne 𝑧 égale quatre. Nous pouvons donc conclure que la solution au système d’équations est 𝑥 égale moins 21, 𝑦 égale 56 et 𝑧 égale quatre.
Nous avons donc étudié trois exemples différents : le premier nous a permis d’identifier une des conditions de la méthode de Cramer. Nous avons ensuite essayé de résoudre un système de deux équations. Et nous venons de voir comment résoudre un système de trois équations. Récapitulons à présent les points clés de cette leçon.
Le premier point à retenir est que la première chose à faire avec un système d’équations est de le réorganiser de manière à avoir uniquement les constantes sur le membre droit. Cela nous permet ensuite de l’écrire sous la forme d’une équation matricielle avec la matrice des constantes à droite du signe égal. Nous avons également vu que pour pouvoir utiliser la méthode de Cramer, la matrice doit être inversible. C’est-à-dire, la matrice des coefficients. Cela signifie que son déterminant est différent de zéro.
La méthode de Cramer permet alors de calculer les solutions en utilisant des déterminants. Si on souhaite par exemple calculer 𝑥, il est égal au déterminant de Δ 𝑥 sur le déterminant de Δ, en rappelant que la notation peut varier et qu’il est possible de rencontrer D 𝑥 à la place du déterminant de Δ 𝑥. Ainsi que D 𝑦 et D. Nous avons enfin vu comment calculer le déterminant de la matrice Δ 𝑥. On trouve cette matrice en remplaçant les coefficients de 𝑥 par la matrice des constantes, ce qui donne le déterminant de la matrice moins huit, moins huit, sept, six pour notre exemple.
