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Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă utiliser la mĂ©thode de Cramer pour rĂ©soudre un systĂšme dâĂ©quations linĂ©aires. Nous allons ainsi utiliser des dĂ©terminants pour rĂ©soudre des systĂšmes de deux et trois Ă©quations en appliquant la mĂ©thode de Cramer.
La mĂ©thode de Cramer est un outil utile permettant de rĂ©soudre des systĂšmes dâĂ©quations. Elle est particuliĂšrement pratique parce quâelle nous permet de calculer une seule variable sans avoir Ă rĂ©soudre tout le systĂšme dâĂ©quations. Mais dâoĂč vient-elle ? Bien, la mĂ©thode de Cramer tient son nom de Gabriel Cramer. Il Ă©tait un mathĂ©maticien genevois. Ce quâil a conçu est une mĂ©thode permettant de rĂ©soudre des systĂšmes dâĂ©quations en utilisant des matrices ou des Ă©quations matricielles et les dĂ©terminants de ces matrices. Avant dâĂ©tudier quelques exemples dâutilisation de la mĂ©thode de Cramer, nous allons prĂ©senter la mĂ©thode et son fonctionnement.
Notez quâil existe plusieurs notations pour cette mĂ©thode. Pour la mĂ©thode de Cramer notĂ©e ici dans la bulle, la notation utilise Î pour reprĂ©senter des matrices, on a donc le dĂ©terminant de la matrice notĂ© Î đ„, mais il peut Ă©galement ĂȘtre notĂ© D đ„. Cela fera Ă©galement rĂ©fĂ©rence au dĂ©terminant de la matrice.
PrĂ©sentons donc la mĂ©thode de Cramer ; celle-ci stipule que pour un systĂšme dâĂ©quations - qui a dans ce cas trois variables, đ„, đŠ et đ§, mais nous allons Ă©tudier des systĂšmes Ă deux et trois variables dans cette leçon â - la solution au systĂšme est dĂ©finie par đ„ Ă©gale le dĂ©terminant de la matrice Î đ„ divisĂ© par le dĂ©terminant de la matrice Î. đŠ Ă©gale le dĂ©terminant de la matrice Î đŠ sur le dĂ©terminant de la matrice Î. Et đ§ Ă©gale le dĂ©terminant de la matrice Î đ§ sur le dĂ©terminant de la matrice Î. TrĂšs bien. Mais Ă quoi correspondent exactement ces matrices ? Regardons ça de plus prĂšs.
Supposons que nous souhaitions rĂ©soudre ce systĂšme de deux Ă©quations Ă deux variables đ„ et đŠ. On a trois đ„ plus deux đŠ Ă©gale 23 et deux đ„ moins quatre đŠ Ă©gale moins 22. Ce que nous pouvons commencer par faire ici est dâexprimer ce systĂšme sous forme dâĂ©quation matricielle. On a donc la matrice trois, deux, deux et moins quatre. Il sâagit de la matrice des coefficients, oĂč les coefficients de đ„ sont dans la premiĂšre colonne et les coefficients de y dans la deuxiĂšme colonne. Elle est multipliĂ©e par la matrice đ„, đŠ, qui sont les variables. Tout cela est Ă©gal Ă une matrice des constantes 23, moins 22. Ces valeurs sont en effet les constantes aux membres droits des Ă©quations. TrĂšs bien. Nous avons donc notre Ă©quation matricielle mais nous nâen sommes pas encore aux formules. Alors, quelle est la prochaine Ă©tape ?
Commençons par dĂ©signer la matrice par Î. Il sâagit de la matrice des coefficients. Pour calculer la variable đ„, on a donc le dĂ©terminant de la matrice trois, deux, deux, moins quatre au dĂ©nominateur. Jusque-lĂ , tout va bien. Mais Ă quoi correspond le numĂ©rateur ? Quelle est cette matrice Î đ„ ? Bien, la matrice Î đ„ est la matrice que lâon obtient si on remplace la colonne des coefficients de đ„ par la matrice colonne des constantes, ce qui nous donne la matrice 23, deux, moins 22, moins quatre et vous pouvez voir que les coefficients de đŠ restent les mĂȘmes. On en dĂ©duit donc que la solution đ„ est Ă©gale au dĂ©terminant de la matrice 23, deux, moins 22, moins quatre divisĂ© par le dĂ©terminant de la matrice trois, deux, deux, moins quatre.
On pourrait ensuite appliquer la mĂ©thode de Cramer pour trouver la solution y de la mĂȘme maniĂšre. Nous le verrons dans certains exemples de cette leçon. Mais cet exemple est simplement pour montrer comment la mĂ©thode fonctionne. Maintenant, avant de passer Ă quelques exemples, cette mĂ©thode implique beaucoup de dĂ©terminants. Nous allons donc rappeler comment calculer le dĂ©terminant de matrices deux fois deux et trois fois trois. Vous devriez dĂ©jĂ savoir le faire donc ce sera un rappel trĂšs rapide.
Si nous considĂ©rons tout dâabord une matrice deux fois deux, par exemple la matrice đ, đ, đ, đ, alors son dĂ©terminant est Ă©gal Ă đđ moins đđ. On multiplie les coefficients opposĂ©s et on les soustrait. Pour une matrice trois fois trois, si nous souhaitons par exemple calculer le dĂ©terminant de la matrice đ, đ, đ, đ, đ, đ, đ, â, đ, il est Ă©gal Ă đ fois le dĂ©terminant de la sous-matrice đ, đ, â, đ moins đ fois le dĂ©terminant de la sous-matrice đ, đ, đ, đ plus đ fois le dĂ©terminant de la sous-matrice đ, đ, đ, â.
Il est important de se rappeler dâalterner les signes des coefficients avant de les multiplier par les dĂ©terminants des sous-matrices. Nous allons rappeler rapidement comment trouver ces sous-matrice deux fois deux. Pour le coefficient đ, on supprime la colonne et la ligne dans lesquelles il se trouve. Et il nous reste la sous-matrice deux fois deux đ, đ, â, đ. Maintenant, nous avons rappelĂ© tout cela et nous avons vu comment utiliser la mĂ©thode de Cramer. Nous allons Ă©tudier quelques exemples. Dans le premier exemple, nous allons Ă©tablir une des conditions de la mĂ©thode de Cramer.
La mĂ©thode de Cramer est-elle utile pour trouver des solutions aux systĂšmes dâĂ©quations linĂ©aires ayant une infinitĂ© de solutions ?
Bien, nous pouvons rĂ©pondre Ă cette question trĂšs rapidement en disant simplement non, la mĂ©thode de Cramer nâest pas utile lorsque le systĂšme dâĂ©quations linĂ©aires a une infinitĂ© de solutions. Quand on transforme en effet le systĂšme en une Ă©quation matricielle, on ne peut pas le rĂ©soudre si la matrice nâest pas inversible. Lorsquâil y a une infinitĂ© de solutions, la matrice des coefficients nâest pas inversible. Mais câest une rĂ©ponse un peu courte. Voyons en dĂ©tail pourquoi câest le cas. Comme nous lâavons dĂ©jĂ dit, si la matrice des coefficients dâun systĂšme dâĂ©quations nâest pas inversible, alors il y a une infinitĂ© de solutions. Mais quelles sont les propriĂ©tĂ©s dâune matrice non inversible ?
Bien, une matrice non inversible a un dĂ©terminant Ă©gal Ă zĂ©ro. Si on observe alors la mĂ©thode de Cramer et que lâon souhaite calculer la valeur dâune des trois variables đ„, đŠ ou đ§, on constate que le dĂ©terminant de la matrice est au dĂ©nominateur de la fraction. Et si la matrice nâest pas inversible, alors ce dĂ©terminant est Ă©gal Ă zĂ©ro. Et on sait que diviser par zĂ©ro nâest pas dĂ©fini. Câest pourquoi nous pouvons rĂ©pondre que non, la mĂ©thode de Cramer nâest pas utile pour trouver des solutions aux systĂšmes dâĂ©quations linĂ©aires ayant une infinitĂ© de solutions.
TrĂšs bien. Nous avons ainsi vu la condition sous laquelle la mĂ©thode de Cramer peut ĂȘtre appliquĂ©e. Passons maintenant Ă quelques exemples dâutilisation de la mĂ©thode de Cramer.
Utilisez des dĂ©terminants pour rĂ©soudre le systĂšme moins huit đ„ moins quatre đŠ Ă©gale moins huit, neuf đ„ moins six đŠ Ă©gale moins neuf.
La premiĂšre chose Ă faire pour ce problĂšme est de dĂ©finir une Ă©quation matricielle Ă©quivalente Ă ce systĂšme dâĂ©quations. On obtient alors la matrice moins huit, moins quatre, neuf, moins six fois la matrice đ„, đŠ Ă©gale la matrice des constantes, qui est moins huit, moins neuf. Comme nous devons utiliser des dĂ©terminants pour rĂ©soudre ce systĂšme, nous allons utiliser la mĂ©thode de Cramer. Celle-ci stipule que đ„ est Ă©gal au dĂ©terminant de la matrice Î đ„ sur le dĂ©terminant de la matrice Î. Et que đŠ est Ă©gal au dĂ©terminant de la matrice Î đŠ sur le dĂ©terminant de la matrice Î.
Mais vous pourriez alors vous demander Ă quoi correspond la matrice Î đ„. Bien, il sâagit de la matrice crĂ©Ă©e en remplaçant la colonne des coefficients de đ„ dans la matrice des coefficients par la matrice colonne des constantes. Dans ce cas, par exemple, on remplace la premiĂšre colonne de la matrice par la matrice des constantes. Donc, au lieu de moins huit, neuf, on a moins huit, moins neuf. Nous sommes maintenant prĂȘts Ă calculer les dĂ©terminants. Tout dâabord, on a le dĂ©terminant de la matrice moins huit, moins quatre, neuf, moins six. Il est Ă©gal Ă moins huit fois moins six moins moins quatre fois neuf, ce qui donne 48 plus 36. Cela est Ă©gal Ă 84.
Cela nous permet de vĂ©rifier au passage que le systĂšme dâĂ©quations admet bien une solution, car si la matrice nâĂ©tait pas inversible, alors son dĂ©terminant serait Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous pouvons voir que ce nâest pas le cas ici. Calculons ensuite le dĂ©terminant de la matrice Î đ„. Nous avons dĂ©jĂ indiquĂ© que Î đ„ est la matrice obtenue en remplaçant les coefficients de x par moins huit et moins neuf, la matrice des constantes. On obtient ainsi la matrice moins huit, moins quatre, moins neuf, moins six. Son dĂ©terminant est Ă©gal Ă moins huit fois moins six moins moins quatre fois moins neuf, ce qui fait 12. Parfait. Plus quâun dĂ©terminant Ă calculer.
Celui que nous recherchons Ă prĂ©sent est le dĂ©terminant de la matrice Î đŠ. Il est Ă©gal au dĂ©terminant de la matrice moins huit, moins huit, neuf, moins neuf. Comme prĂ©cĂ©demment, nous lâavons obtenue en remplaçant les coefficients de đŠ par la matrice des constantes. Le dĂ©terminant est donc Ă©gal Ă moins huit fois moins neuf moins moins huit fois neuf, ce qui donne 144. TrĂšs bien. Nous avons ainsi tout ce dont nous avons besoin pour appliquer la mĂ©thode de Cramer et rĂ©soudre le systĂšme dâĂ©quations. Avec la mĂ©thode de Cramer, on obtient đ„ Ă©gale 12 sur 84. Et on peut diviser le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur par 12. En effectuant cette simplification, on trouve que đ„ est Ă©gal Ă un sur sept.
TrĂšs bien. Nous avons trouvĂ© la valeur de đ„. Passons maintenant Ă đŠ. En utilisant Ă nouveau la mĂ©thode de Cramer, on obtient đŠ Ă©gale le dĂ©terminant de la matrice Î đŠ sur le dĂ©terminant de la matrice Î, câest-Ă -dire 144 sur 84. Et on peut encore une fois simplifier la fraction. On divise pour cela le numĂ©rateur et le dĂ©nominateur par 12. On trouve alors que đŠ est Ă©gal Ă 12 sur sept. Nous pouvons donc conclure que la solution Ă ce systĂšme dâĂ©quations est đ„ Ă©gale un sur sept et đŠ Ă©gale douze sur sept.
TrĂšs bien. Nous avons vu un exemple de rĂ©solution dâun systĂšme de deux Ă©quations. Nous allons Ă prĂ©sent nous pencher sur un systĂšme de trois Ă©quations Ă trois variables đ„, đŠ et đ§.
Utilisez des dĂ©terminants pour rĂ©soudre le systĂšme cinq đ„ Ă©gale moins deux đŠ moins cinq plus trois đ§, moins trois đ„ moins đŠ plus un Ă©gale deux đ§, et deux đŠ moins đ§ Ă©gale moins cinq đ„ plus trois.
Dans un problĂšme comme celui-ci, la premiĂšre chose Ă faire est de rĂ©organiser les Ă©quations de telle sorte que les variables soient sur le membre gauche. Et que les constantes soient sur le membre droit. La premiĂšre Ă©quation devient donc cinq đ„ plus deux đŠ moins trois đ§ Ă©gale moins cinq. Pour la deuxiĂšme Ă©quation, on a moins trois đ„ moins đŠ moins deux đ§ Ă©gale moins un. Et enfin, cinq đ„ plus deux đŠ moins đ§ Ă©gale trois.
TrĂšs bien. Mais pourquoi avons-nous en fait mis les Ă©quations sous cette forme ? Câest parce que nous souhaitons dĂ©finir une Ă©quation matricielle Ă©quivalente. En faisant cela, on obtient la matrice cinq, deux, moins trois ; moins trois, moins un, moins deux ; cinq, deux, moins un multipliĂ©e par la matrice des variables, qui est đ„, đŠ, đ§. Cela est Ă©gal Ă la matrice des constantes : moins cinq, moins un, trois. TrĂšs bien. Mais comment cela nous aide-t-il Ă atteindre notre objectif, qui est de rĂ©soudre le systĂšme dâĂ©quations Ă lâaide de dĂ©terminants ? Bien, nous pouvons Ă prĂ©sent utiliser la mĂ©thode de Cramer. Et celle-ci nous donne des formules permettant de trouver les solutions au systĂšme ; pour đ„ par exemple, đ„ est Ă©gal au dĂ©terminant de la matrice Î đ„ sur le dĂ©terminant de la matrice Î. Et de mĂȘme pour đŠ et đ§.
Nous devons donc calculer ces dĂ©terminants pour lâappliquer. Le premier dĂ©terminant que nous allons calculer est le dĂ©terminant de Î, qui est la matrice des coefficients. On calcule donc le dĂ©terminant de la matrice cinq, deux, moins trois ; moins trois, moins un, moins deux ; cinq, deux, moins un. Il est Ă©gal Ă cinq fois le dĂ©terminant de la sous-matrice moins un, moins deux, deux, moins un moins deux fois le dĂ©terminant de la sous-matrice moins trois, moins deux, cinq, moins un moins trois fois le dĂ©terminant de la sous-matrice moins trois, moins un, cinq, deux, en rappelant que les coefficients doivent alterner de signe : positif, nĂ©gatif, positif. Pour trouver les sous-matrices, on supprime la colonne et la ligne dans lesquelles se trouve le coefficient correspondant.
TrĂšs bien. Passons maintenant au calcul de cela. On rappelle alors que pour calculer le dĂ©terminant dâune matrice deux fois deux, on multiplie les coefficients opposĂ©s puis on les soustrait ; on obtient ainsi cinq fois un plus quatre moins deux fois trois plus 10 moins trois fois moins six plus cinq, ce qui est Ă©gal Ă deux. Câest une bonne nouvelle car cela nous indique Ă©galement que la matrice est inversible. Nous savons donc quâil nây aura pas une infinitĂ© de solutions. Si câĂ©tait le cas, le dĂ©terminant serait Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous allons maintenant faire un peu de place et calculer les autres dĂ©terminants.
Le prochain est le dĂ©terminant de Î đ„. On remplace pour cela les coefficients de đ„ dans la premiĂšre colonne de la matrice par la matrice des constantes. Et on peut Ă prĂ©sent calculer le dĂ©terminant de cette matrice. On utilise la mĂȘme mĂ©thode que pour le dĂ©terminant prĂ©cĂ©dent, ce qui nous donne une valeur de moins 42. Et vous pouvez voir le dĂ©tail des calculs ici. TrĂšs bien. Faisons Ă nouveau un peu de place et calculons le prochain dĂ©terminant.
Il sâagit du dĂ©terminant de la matrice Î đŠ. On remplace pour cela les coefficients de đŠ de la matrice des coefficients par la matrice des constantes. En utilisant la mĂȘme mĂ©thode pour calculer le dĂ©terminant, on trouve une valeur de 112. Les calculs sont Ă©galement dĂ©taillĂ©s ici. Faisons encore une fois de la place pour le dernier dĂ©terminant. Il sâagit du dĂ©terminant de la matrice Î đ§. On suit Ă nouveau la mĂȘme mĂ©thode pour calculer le dĂ©terminant de cette matrice trois fois trois. Cela nous donne un rĂ©sultat de huit.
Nous avons Ă prĂ©sent tous les dĂ©terminants dont nous avons besoin pour utiliser la mĂ©thode de Cramer et calculer les valeurs des variables đ„, đŠ et đ§. En commençant par đ„, il est Ă©gal Ă moins 42 sur deux. On obtient cela parce que cela correspond au dĂ©terminant de Î đ„ sur le dĂ©terminant de Î. On trouve donc que đ„ est Ă©gal Ă moins 21. Pour đŠ, on a ensuite 112 sur deux, ce qui fait 56. Enfin, on a đ§ Ă©gale huit sur deux, ce qui nous donne đ§ Ă©gale quatre. Nous pouvons donc conclure que la solution au systĂšme dâĂ©quations est đ„ Ă©gale moins 21, đŠ Ă©gale 56 et đ§ Ă©gale quatre.
Nous avons donc Ă©tudiĂ© trois exemples diffĂ©rents : le premier nous a permis dâidentifier une des conditions de la mĂ©thode de Cramer. Nous avons ensuite essayĂ© de rĂ©soudre un systĂšme de deux Ă©quations. Et nous venons de voir comment rĂ©soudre un systĂšme de trois Ă©quations. RĂ©capitulons Ă prĂ©sent les points clĂ©s de cette leçon.
Le premier point Ă retenir est que la premiĂšre chose Ă faire avec un systĂšme dâĂ©quations est de le rĂ©organiser de maniĂšre Ă avoir uniquement les constantes sur le membre droit. Cela nous permet ensuite de lâĂ©crire sous la forme dâune Ă©quation matricielle avec la matrice des constantes Ă droite du signe Ă©gal. Nous avons Ă©galement vu que pour pouvoir utiliser la mĂ©thode de Cramer, la matrice doit ĂȘtre inversible. Câest-Ă -dire, la matrice des coefficients. Cela signifie que son dĂ©terminant est diffĂ©rent de zĂ©ro.
La mĂ©thode de Cramer permet alors de calculer les solutions en utilisant des dĂ©terminants. Si on souhaite par exemple calculer đ„, il est Ă©gal au dĂ©terminant de Î đ„ sur le dĂ©terminant de Î, en rappelant que la notation peut varier et quâil est possible de rencontrer D đ„ Ă la place du dĂ©terminant de Î đ„. Ainsi que D đŠ et D. Nous avons enfin vu comment calculer le dĂ©terminant de la matrice Î đ„. On trouve cette matrice en remplaçant les coefficients de đ„ par la matrice des constantes, ce qui donne le dĂ©terminant de la matrice moins huit, moins huit, sept, six pour notre exemple.