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Déterminez la limite de six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
Il s’agit de la limite d’une fonction rationnelle lorsque 𝑥 tend vers l’infini. En tant que fonction rationnelle, cette fonction est le quotient de deux polynômes. Comme nous avons des notions sur les limites des polynômes, nous pourrions nous précipiter pour utiliser le fait que la limite d’un quotient de fonctions est le quotient de leurs limites, si ces limites existent. Si nous essayons d’appliquer cette loi, nous obtenons la limite de six 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini divisée par la limite de 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini.
A présent, quelle est la limite de six 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers l’infini ? Bien, comme 𝑥 devient de plus en plus grand, 𝑥 carré devient de plus en plus grand. Six 𝑥 carré devient de plus en plus grand ou sans limite. Cette limite est donc l’infini.
Maintenant, qu’en est-il de la limite du dénominateur, la limite de 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini ? Bien, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 moins six n’a toujours que six de retard. Ainsi, 𝑥 moins six va aussi à l’infini. Nous avons donc également l’infini au dénominateur. Nous nous retrouvons avec la forme indéterminée l’infini sur l’infini. Cette forme indéterminée ne nous donne aucune information sur la limite que nous recherchons. La limite pourrait être l’infini. Cela pourrait également être zéro ou, en fait, tout autre nombre réel.
Tout aussi rapidement, vous pourriez être tenté d’annuler les infinis au numérateur et au dénominateur pour obtenir une réponse de un. Malheureusement, vous ne pouvez pas simplement diviser un infini par un autre et vous attendre à obtenir une bonne réponse. Si nous obtenons une forme indéterminée comme l’infini sur l’infini ou l’infini moins l’infini ou zéro sur zéro, cela nous dit que nous devons trouver la limite d’une autre manière. Appliquer immédiatement la loi des limites du quotient n’a pas fonctionné. Nous allons devoir être un peu plus intelligents ici.
Pour trouver la limite d’une fonction rationnelle à l’infini ou moins l’infini, l’astuce consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée de la variable au dénominateur, avant d’appliquer la loi des limites du quotient. Pour notre fonction rationnelle, le dénominateur est le polynôme 𝑥 moins six. La puissance la plus élevée de 𝑥 dans ce dénominateur est juste 𝑥 ou 𝑥 puissance un. Après avoir identifié la plus grande puissance de 𝑥 au dénominateur, nous devons maintenant diviser le numérateur et le dénominateur par cela. Le numérateur est donc maintenant six 𝑥 au carré sur 𝑥. Le dénominateur est maintenant 𝑥 moins six sur 𝑥.
Nous pouvons simplifier le numérateur et le dénominateur. Six 𝑥 au carré sur 𝑥 est juste six 𝑥. Nous pouvons diviser la fraction au dénominateur, en écrivant 𝑥 sur 𝑥 moins six sur 𝑥. Bien sûr, 𝑥 sur 𝑥 se simplifie en un. D’accord, en quoi cela nous aide-t-il ? Bien, je pense que maintenant que nous appliquons la loi des limites du quotient, nous n’obtiendrons pas une forme indéterminée. Voyons si j’ai raison.
En appliquant cette loi, nous avons la limite de six 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini divisé par la limite de un moins six sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Comme précédemment, nous considérons d’abord la limite au numérateur. Lorsque 𝑥 tend vers l’infini, six fois 𝑥 va certainement approcher l’infini. Nous avons donc l’infini au numérateur.
Que diriez-vous du dénominateur, où nous avons la limite de un moins six sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini ? Bien, six sur 𝑥 va devenir de plus en plus petit à mesure que 𝑥 devient de plus en plus grand. Ainsi, un moins six sur 𝑥 va se rapprocher de plus en plus de un. Bien sûr, nous pourrions montrer que la limite au dénominateur est un de manière plus formelle en utilisant le fait que la limite d’une différence de fonctions est la différence de leurs limites, que la limite d’une fonction constante est juste cette constante, que la limite d’un nombre fois une fonction est ce nombre fois la limite de la fonction et que la limite de la fonction réciproque un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers l’infini est zéro. La valeur de la limite au dénominateur est alors un moins zéro, ce qui est un comme nous l’avions dit.
Ainsi, en utilisant cette procédure, nous avons constaté que la limite de six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini est l’infini sur un. Il n’est peut-être pas évident que cette réponse soit meilleure que la réponse de l’infini sur l’infini que nous avons obtenue auparavant. Cependant, dans ce cas, la chose que nous sommes tentés de faire fonctionne. Nous pouvons dire que l’infini sur un n’est autre que l’infini. Voici notre réponse. La limite de six 𝑥 au carré sur 𝑥 moins six lorsque 𝑥 tend vers l’infini est l’infini. En effet, contrairement à l’infini sur l’infini, l’infini sur un n’est pas une forme indéterminée.
Les formes indéterminées que vous êtes susceptible de rencontrer sont les suivantes: zéro sur zéro, l’infini sur l’infini, zéro fois l’infini, un à la puissance infini, l’infini moins l’infini, zéro à la puissance zéro et l’infini à la puissance zéro. Ces formes indéterminées peuvent se produire lorsque vous essayez de trouver la valeur d’une limite. Par exemple, nous avons vu plus tôt que nous avons obtenu la forme indéterminée l’infini sur l’infini. On les appelle des formes indéterminées car elles ne donnent absolument aucune idée de la limite.
Naïvement, vous pourriez penser que l’infini sur l’infini devrait se simplifier en un. Cependant, lorsque nous avons essayé de trouver la valeur de notre limite, nous avons obtenu la forme indéterminée l’infini sur l’infini. Il s’est avéré que notre limite avait une valeur infinie. De même, vous pourriez penser que si vous obtenez l’expression zéro sur zéro lorsque vous essayez de trouver la limite d’une fonction, alors la limite de cette fonction est un. Encore une fois, ceci n’est pas nécessairement vrai. Il en va de même pour les autres formes indéterminées. La valeur évidente n’est pas nécessairement la valeur de la limite qui a produit cette forme indéterminée.
