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Déterminez la valeur de 𝐀 vectoriel 𝐁 divisé par 𝐀 scalaire 𝐁. (A) sinus 𝜃, (B) zéro, (C) cosinus 𝜃, (D) tangente 𝜃, (E) un.
Très bien, dans cet exemple, nous avons ces deux vecteurs inconnus 𝐀 et 𝐁. Nous voulons comprendre à quoi cette combinaison particulière de ces vecteurs est égale en termes de nos options de réponse. Pour comprendre cela, nous allons rappeler quelques identités moins connues pour le produit vectoriel et le produit scalaire de deux vecteurs.
En général, si nous avons deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 et que l’angle entre ces deux vecteurs est 𝜃, alors nous pouvons écrire que le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁 est égal à la norme de ces vecteurs multipliés individuellement ensemble fois le sinus de l’angle entre les deux vecteurs dans la direction perpendiculaire à 𝐀 et 𝐁. Cela implique que si nous prenons la norme de 𝐀 vectoriel 𝐁, cela est égal à la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le sinus de 𝜃. Et notez que cette combinaison des vecteurs 𝐀 et 𝐁 correspond au numérateur de cette fraction qui nous est donnée.
Ceci étant le numérateur de notre fraction, considérons maintenant le dénominateur 𝐀 scalaire 𝐁. Si nous supposons une fois de plus que 𝐀 et 𝐁 sont deux vecteurs formant un angle 𝜃, alors si nous prenons leur produit scalaire, cela est égal à la norme de chaque vecteur multipliées ensemble fois le cosinus de l’angle entre eux. Nous avons maintenant une expression équivalente pour le dénominateur de notre fraction. Si nous divisons la première équation par la deuxième, nous obtenons cette seule équation résultante.
Notez que le côté gauche correspond exactement à l’expression qui nous a été donnée dans notre énoncé du problème. En considérant le côté droit de cette équation, notez que les normes de 𝐀 et 𝐁 se simplifient au numérateur et au dénominateur. En allant plus loin, nous pouvons rappeler l’identité trigonométrique selon laquelle le sinus d’un angle divisé par le cosinus de ce même angle est égal à la tangente de cet angle. Par conséquent, sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 est égal à la tangente de 𝜃. Nous voyons que cela est l’une de nos options de réponse. Donc, c’est le choix que nous faisons. La norme de 𝐀 vectoriel 𝐁 divisée par 𝐀 scalaire 𝐁 est égale à la tangente de l’angle entre ces deux vecteurs.
