Transcription de la vidéo
On considère l’angle 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et strictement inférieur à 180 degrés. Déterminez l’ensemble solution de l’équation racine carrée de deux sinus 𝜃 cosinus 𝜃 moins sinus 𝜃 égal à zéro.
La première chose que nous pouvons remarquer est que les deux termes de notre équation contiennent un facteur sin 𝜃. En factorisant, nous trouvons que sinus 𝜃 multiplié par racine carrée de deux cosinus 𝜃 moins un est égal à zéro. Nous avons maintenant une équation où deux facteurs multipliés ensemble sont égaux à zéro.
Nous savons que pour que cette situation soit vraie, l’un de nos deux facteurs - appelés 𝐴 et 𝐵 dans ce cas - doit également être égal à zéro. Nous pouvons donc poser deux cas pour nos solutions : un dans lequel sinus 𝜃 est égal à zéro et un autre dans lequel racine de deux cosinus 𝜃 moins un est égal à zéro.
Voyons d’abord le cas où sinus 𝜃 est égal à zéro. Cette équation est l’un des rapports trigonométriques exacts que vous connaissez peut-être. Traçons cela sur un graphique pour aider à visualiser la solution. Tout d’abord, observons l’intervalle donné dans la question. La question nous dit que 𝜃 doit être supérieur ou égal à zéro. Cela a été représenté par une ligne continue sur la courbe lorsque 𝜃 est égal à zéro. La question nous dit aussi que 𝜃 doit être strictement inférieur à 180 degrés. Cela a été représenté par un pointillé sur la courbe en 𝜃 égal à 180.
Pour voir nos solutions sur le graphique, dessinons une autre droite en 𝑦 égale zéro et observons l’intersection des deux courbes. Ce faisant, nous trouverons les points où 𝑦 égal sinus 𝜃 est égal à zéro, comme requis pour nos solutions. En regardant notre graphique, nous pouvons voir des points d’intersection en 𝜃 égal à zéro, 𝜃 égal à 180 et 𝜃 égal à 360 degrés.
De ces trois points, nous pouvons éliminer 𝜃 égal à 360 degrés car il est clairement en dehors de notre intervalle. Nous pouvons également éliminer 𝜃 égal à 180 degrés puisque notre question indique que 𝜃 peut être inférieur, mais non égal, à 180. Enfin, nous pouvons voir que 𝜃 égal à zéro degré est inclus dans notre intervalle et est donc l’une des solutions à notre question. Cela correspond au rapport trigonométrique exact que nous avons utilisé précédemment.
Bien que nous ayons trouvé une solution, il est important de se rappeler que la question n’est pas encore terminée puisque nous n’avons pas considéré le cas où la racine carrée de deux cosinus 𝜃 moins un est égal à zéro. Essayons de réorganiser cela sous une forme plus utile.
La première chose que nous pouvons faire est d’ajouter un des deux côtés de notre équation. La prochaine chose que nous pouvons faire est de diviser les deux côtés par racine carrée de deux. Encore une fois, en regardant cela, vous pouvez reconnaître que cosinus 𝜃 égal à un sur la racine carrée de deux est l’un des rapports trigonométriques exacts. En utilisant ces connaissances, nous pouvons dire que 𝜃 est égal à 45 degrés dans ce cas.
Comme avec notre cas précédent, traçons cela sur un graphique pour nous assurer qu’il ne manque aucune solution. Ici, nous avons la courbe 𝑦 égale cosinus 𝜃. Nous avons également marqué l’intervalle qui nous intéresse sur la figure.
Traçons maintenant la droite 𝑦 égale un sur racine carrée de deux sur le diagramme et observons les points d’intersection avec notre droite. En ces points d’intersection, 𝑦 égal cosinus 𝜃 sera égal à un sur racine carrée de deux, comme requis dans notre cas. Il se peut que nous ne puissions pas immédiatement tracer cette droite. Nous pouvons donc évaluer que un sur la racine carrée de deux est approximativement égal à 0.71 au centième près.
Nous pouvons maintenant visualiser plus facilement cette droite sur notre figure. En regardant notre figure, nous pouvons voir deux points d’intersection. Cependant, il n’y a qu’un seul point situé dans l’intervalle requis. En inspectant ce point, nous pouvons voir que cela correspond à notre solution et que 𝜃 vaut en effet 45 degrés.
Maintenant que nous sommes satisfaits de la solution de notre deuxième cas, nous pouvons combiner cela avec la solution de notre cas précédent. Nous pouvons donc dire que l’ensemble de solutions qui satisfait notre équation est 𝜃 égal à zéro degré et à 45 degrés.
