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Vidéo de la leçon : Résoudre une équation trigonométrique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre une équation trigonométrique en utilisant la factorisation ou l’élévation au carré.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre une équation trigonométrique en utilisant la factorisation ou l’élévation au carré. Les équations qu’on va voir impliqueront au moins une des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Avant de voir ces nouvelles méthodes, nous allons nous familiariser avec la résolution d’équations trigonométriques simples.

On rappelle qu’on peut résoudre les équations de la forme sin 𝜃 égale 𝑘, cos de deux 𝜃 égale 𝑘, tan de 𝜃 moins 30 égal 𝑘 à l’aide d’un graphique ou un diagramme CAST. On doit également rappeler certaines propriétés clés relatives aux fonctions sinus, cosinus et tangente. Le sin de l’angle 𝜃 est égal au sin de 180 degrés moins 𝜃. Le cos de 𝜃 degrés est égal au cos de 360 degrés moins 𝜃. Et le tan d’un angle 𝜃 est égal au tan de 180 degrés plus 𝜃.

Avant de résoudre une équation trigonométrique, il est souvent utile de considérer le nombre de solutions que l’équation devrait avoir. On peut identifier le nombre de fois qu’une fonction trigonométrique est égale à une valeur particulière dans un intervalle donné en traçant une droite horizontale sur cette courbe à cette valeur, et compter ensuite le nombre de fois que cette droite coupe la courbe. Par exemple, si on veut déterminer le nombre de solutions qu’a l’équation sin 𝑥 égale 0,5 dans l’intervalle 𝑥 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 360 degrés, on trace une droite horizontale à 𝑦 égale 0,5. Puisque cette droite horizontale traverse la courbe deux fois dans l’intervalle donné, on peut conclure que l’équation sin 𝑥 est égale à 0,5 a deux solutions dans l’intervalle 𝑥 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 360 degrés.

On va maintenant examiner un exemple plus complexe de ce type de problème. Mais avant, on doit également rappeler une identité trigonométrique importante. Cette identité définit la relation entre les trois fonctions trigonométriques. Pour tout angle 𝜃, le tan de 𝜃 est égal au sin de 𝜃 divisé par le cos de 𝜃. On va maintenant voir un exemple dans lequel on doit utiliser cette identité.

Si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés, le nombre de solutions de l’équation quatre sin 𝑥 égale tan de 𝑥 est de.

Cette équation implique deux rapports trigonométriques : sinus et tangente. On rappelle qu’on peut exprimer la fonction tangente en fonction des fonctions sinus et cosinus. Le tan de 𝑥 est égal au sin de 𝑥 sur le cos de 𝑥. Si on substitue cela dans l’expression de droite, on obtient quatre sin 𝑥 égale sin 𝑥 sur cos 𝑥. Ensuite, on peut soustraire sin 𝑥 sur cos 𝑥 des deux côtés, ce qui nous donne quatre sin 𝑥 moins sin 𝑥 sur cos 𝑥 est égal à zéro.

À ce stade, on pourrait être tentés de diviser l’équation par le facteur commun de sin 𝑥. Cependant, cela pourrait causer la perte de certaines solutions si le facteur par lequel on divise est égal à zéro. Au lieu de cela, on va factoriser sin 𝑥 et l’écrire à gauche de notre équation. Cela nous donne sin 𝑥 multiplié par quatre moins un sur cos 𝑥 est égal à zéro.

On a maintenant un produit qui est égal à zéro. Et la seule façon dont un produit peut être égal à zéro est si au moins l’un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie qu’on doit résoudre les deux équations sin 𝑥 est égal à zéro et quatre moins un sur cos 𝑥 est égal à zéro. Sachant que la courbe de la fonction sinus est comme indiqué, on voit que sin 𝑥 est égal à zéro trois fois dans l’intervalle 𝑥 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 360 degrés. Ces solutions sont zéro, 180 et 360 degrés. Cependant, dans cette question, notre point d’intérêt c’est le nombre de solutions. sin 𝑥 est égal à zéro trois fois entre zéro et 360 degrés inclus.

Considérons maintenant la seconde équation, quatre moins un sur cos 𝑥 est égal à zéro. Si on multiplie toute cette expression par cos de 𝑥 on obtient quatre cos de 𝑥 moins un égal à zéro. On peut alors additionner un des deux côtés et obtenir quatre cos 𝑥 est égal à un et, enfin, diviser par quatre, ce qui nous donne cos de 𝑥 est égal à un quart.

Sachant à quoi ressemble la courbe de la fonction cosinus, si on trace une droite horizontale à travers la courbe à 𝑦 est égal à un quart, on constate qu’il y a deux valeurs de 𝑥 dans l’intervalle 𝑥 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 360 degrés pour lesquelles cos de 𝑥 est égal à un quart. Bien qu’on puisse calculer ces valeurs exactes, cela n’est pas requis dans cette question. Cependant, il est clair que ce ne sont pas les mêmes valeurs pour lesquelles sin 𝑥 est égal à zéro, car l’une des solutions est comprise entre zéro et 90 degrés et l’autre solution est comprise entre 270 et 360 degrés.

On peut donc conclure que l’équation quatre sin 𝑥 égale tan 𝑥 a cinq solutions entre zéro et 360 degrés inclus. La bonne réponse est cinq.

On va maintenant voir un exemple dans lequel on doit trouver toutes les solutions d’une équation trigonométrique plus complexe à l’aide de la factorisation.

Trouvez l’ensemble des valeurs pour lesquelles tan au carré 𝜃 plus tan 𝜃 est égal à zéro, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et inférieur à 180 degrés.

Lorsqu’on examine cette expression, on constate qu’il s’agit d’une équation du second degré en tan 𝜃. On peut commencer par factoriser le côté gauche de notre équation. Cela nous donne tan 𝜃 multiplié par tan 𝜃 plus un est égal à zéro. Si on définit chacun de ces facteurs comme étant égal à zéro, on a tan 𝜃 égal à zéro ou tan 𝜃 plus un égal à zéro. Lorsqu’on soustrait un des deux côtés de la seconde équation, on a maintenant deux solutions : le tan de 𝜃 est égal à zéro et le tan de 𝜃 est égal à moins un.

Ensuite, on sait que la représentation graphique de la fonction tangente est comme ceci. Bien qu’on l’ait dessinée pour des valeurs de 𝜃 comprises entre zéro et 360 degrés, il est important de noter dans cette question qu’on ne cherche que des solutions supérieures ou égales à zéro et inférieures à 180 degrés. On peut voir à partir de la courbe que le tan de 𝜃 égale zéro à zéro degré. Et aussi à 180 et 360 degrés. Cependant, ces deux valeurs ne font pas partie de l’ensemble de valeurs de 𝜃. L’équation tan 𝜃 égale zéro a donc une solution lorsque 𝜃 est égal à zéro degré.

Si on trace une droite horizontale sur la courbe à 𝑦 est égal à moins un, on voit que cela coupe la courbe de 𝑦 égale tan 𝜃 une fois entre zéro et 180 degrés. Cette valeur se situe quelque part entre 90 et 180 degrés. Lorsqu’on considère l’équation tan 𝜃 est égale à moins un, on peut prendre la tangente inverse des deux côtés. Cela nous donne 𝜃 est égal au tan inverse de moins un.

Lorsqu’on évalue cela avec une calculatrice on obtient 𝜃 est égal à moins 45 degrés. Cette valeur est en dehors de l’intervalle requis pour 𝜃. Connaissant la périodicité de la fonction tangente, on peut trouver la deuxième solution de l’équation en additionnant 180 degrés. Car le tan de 𝜃 est égal au tan de 180 degrés plus 𝜃. On doit additionner 180 à moins 45. Cela nous donne une réponse de 135 degrés, qui se situe dans l’intervalle requis pour 𝜃. C’est donc une deuxième solution valide.

À partir de la représentation graphique, on peut voir qu’il n’y a pas d’autres solutions dans l’intervalle 𝜃 supérieur ou égal à zéro et inférieur à 180 degrés. On peut donc conclure que les valeurs pour lesquelles tan au carré 𝜃 plus tan 𝜃 est égal à zéro sont zéro degré et 135 degrés.

Il est important de noter à ce stade qu’une erreur courante serait de diviser l’équation initiale par tan 𝜃. Cela signifierait, cependant, qu’on perdrait l’une des solutions de l’équation originale, car il est possible que tan 𝜃 soit égal à zéro. En effet, c’était l’une des équations qu’on doit résoudre par la suite. On doit également faire attention à l’intervalle dans lequel on cherche des solutions. Il est fréquent que l’intervalle soit 𝜃 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à 360 degrés. Cependant, comme dans cette question, ce n’est pas toujours le cas. Des valeurs supplémentaires peuvent être des solutions valables à l’équation. Mais si elles sont en dehors de l’intervalle spécifié, alors elles ne sont pas correctes dans le contexte du problème.

Avant de traiter un dernier exemple, on doit considérer une deuxième identité trigonométrique. Cette identité est connue sous le nom d’identité pythagoricienne. Et elle stipule que pour toutes valeurs de 𝜃, sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est égal à un. On peut utiliser cette identité pour résoudre certains types spécifiques d’équations trigonométriques. Dans le dernier exemple, on devra l’utiliser après avoir mis les deux côtés de l’équation au carré. Il est important de noter, cependant, que mettre les deux côtés d’une équation au carré peut être risqué si on ne fait pas très attention. En effet, évaluer le carré et la racine carrée ne sont pas des opérations biunivoques. Lorsqu’on met au carré, on peut créer une solution supplémentaire. Par conséquent, si on doit résoudre une équation trigonométrique par le carré, on doit ensuite vérifier toutes les solutions dans l’équation originale pour s’assurer de n’avoir pas obtenu de valeurs étrangères.

En mettant d’abord les deux côtés au carré, ou autrement, résolvez l’équation quatre sin 𝜃 moins quatre cos 𝜃 est égal à la racine carrée de trois, où 𝜃 est supérieur à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés. Faites attention il faut éliminer toute solution étrangère. Donnez vos réponses au centième près.

La question nous demande d’aborder le problème en mettant d’abord les deux côtés de l’équation au carré. Ce faisant, on obtient quatre sin 𝜃 moins quatre cos 𝜃 le tout au carré est égal à racine de trois au carré. Lorsqu’on développe les parenthèses, et on rassemble les termes similaires sur le côté gauche on obtient 16 sin carré 𝜃 moins 32 sin 𝜃 cos 𝜃 plus 16 cos carré 𝜃. À droite, racine de trois au carré est égale à trois.

Ensuite, on rappelle l’identité pythagoricienne, qui stipule que sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est égal à un. Si on simplifie le côté gauche on obtient 16 multiplié par sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 moins 32 sin 𝜃 cos 𝜃. Lorsqu’on remplace sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 par un on obtient l’équation 16 moins 32 sin 𝜃 cos 𝜃 égale trois. Si on soustrait 16 des deux côtés de cette équation on obtient moins 32 sin 𝜃 cos 𝜃 est égal à moins 13. On peut alors diviser par moins 32 et avoir sin 𝜃 cos 𝜃 est égal à 13 sur 32.

On a maintenant deux équations avec les deux variables sin 𝜃 et cos 𝜃. Cela signifie qu’on peut résoudre le système d’équations simultanément. Si on additionne quatre cos 𝜃 aux deux côtés de notre équation originale, on obtient quatre sin 𝜃 égale racine de trois plus quatre cos 𝜃. Et si on divise les deux côtés de cette équation par quatre, on obtient sin 𝜃 est égal à racine de trois plus quatre cos 𝜃 le tout divisé par quatre.

Après avoir libéré un peu d’espace, on va maintenant voir comment résoudre ces deux équations simultanées. On va commencer par introduire l’expression sin 𝜃 de l’équation deux dans l’équation un. Cela nous donne racine de trois plus quatre cos 𝜃 sur quatre multiplié par cos 𝜃 est égal à 13 sur 32. On peut simplifier cette équation en distribuant d’abord les parenthèses. On peut alors multiplier par 32, ce qui nous donne huit racine de trois cos 𝜃 plus 32 cos carré 𝜃 est égal à 13. Enfin, si on soustrait 13 des deux côtés de cette équation, on obtient l’équation du second degré en termes de cos 𝜃 comme indiqué.

On peut la résoudre en utilisant la formule quadratique, où 𝑎 est 32, 𝑏 est huit racine de trois et 𝑐 est moins 13. Lorsqu’on substitue ces valeurs et on simplifie on obtient cos de 𝜃 est égal à moins trois plus ou moins la racine carrée de 29 le tout divisé par huit. Et lorsqu’on prend le cosinus inverse des deux côtés avec la racine positive de 29 on obtient 𝜃 est égal à 62,829 et ainsi de suite. Au centième près, cela est égal à 62,83 degrés. Lorsqu’on prend le cosinus inverse de notre équation avec la racine négative de 29 on obtient 𝜃 est égal à 152,829 et ainsi de suite. Qui, au centième près est égal à 152,83 degrés.

On nous a demandé de donner toutes les solutions qui sont supérieures ou égales à zéro degré et inférieures ou égales à 360 degrés. On doit donc considérer la symétrie de la fonction cosinus qui indique que le cos de 𝜃 est égal au cos de 360 degrés moins 𝜃. Lorsqu’on soustrait chacune de nos valeurs de 360 degrés on obtient d’autres solutions de 297,17 degrés et 207,17 degrés, au centième près.

On a donc trouvé quatre solutions possibles à l’équation donnée. Cependant, il nous a été rappelé dans la question d’éliminer toutes les solutions étrangères, ces solutions supplémentaires qui ont été créées lorsqu’on a mis notre équation originale au carré. On doit introduire chacune de nos quatre solutions dans l’équation initiale pour vérifier leur validité.

L’équation initiale était quatre sin 𝜃 moins quatre cos 𝜃 égale racine de trois. Lorsqu’on substitue 𝜃 est égal à 62,83 dans l’expression de gauche de notre équation on obtient racine de trois. Cela signifie que c’est une solution valide. Cependant, lorsqu’on substitue 𝜃 est égal à 152,83 degrés dans cette expression de gauche, on n’obtient pas racine de trois. Cela signifie que ce n’est pas une solution valide. Si on répète ce processus pour 207,17 degrés et 297,17 degrés, on constate que 207,17 est une solution valide, tandis que la quatrième réponse 297,17 ne l’est pas. On peut donc conclure qu’il existe deux valeurs de 𝜃 pour lesquelles l’équation est vraie dans l’intervalle donné, qui sont 62,83 et 207,17 degrés.

On va maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On a vu dans cette vidéo qu’on peut résoudre certaines équations trigonométriques en utilisant la factorisation. Il est extrêmement important de factoriser et non diviser par les facteurs communs, car cela évitera la perte potentielle de solutions si ces facteurs sont égaux à zéro. On a également vu qu’on peut résoudre certaines équations trigonométriques en mettant les deux côtés au carré. Chaque fois qu’on utilise cette méthode, il est important d’éviter de créer des solutions étrangères. On peut les vérifier en introduisant toutes les solutions dans l’équation originale.

On a vu que les deux identités tan de 𝜃 est égal à sin de 𝜃 divisé par cos de 𝜃 et sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 égal à un peuvent être utiles pour résoudre des équations trigonométriques. Enfin, on peut utiliser les représentations graphiques des fonctions trigonométriques, leurs propriétés et le diagramme CAST pour trouver les solutions supplémentaires après avoir déterminé un angle principal.

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