Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre une équation trigonométrique en la factorisant ou en l’élevant au carré.
Définition :
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle apparaissent une ou plusieurs fonctions trigonométriques, comme le sinus, le cosinus ou la tangente.
Avant d’étudier les méthodes présentées dans cette fiche explicative, il est nécessaire de déjà savoir résoudre, à l’aide d’une représentation graphique ou d’un diagramme CEST, les formes les plus simples d’équations trigonométriques, comme , ou . Rappelons également quelques propriétés importantes des fonctions sinus, cosinus et tangente qu’il faut connaitre :
Il est souvent utile, avant de se lancer dans la résolution d’une équation trigonométrique, de déterminer le nombre de solutions qu’elle admet ; ainsi, après résolution, on pourra s’assurer que l’on a le bon nombre de solutions. Il est possible d’identifier combien de fois une fonction trigonométrique prend une valeur donnée, sur un intervalle donné, en utilisant sa représentation graphique ; pour cela, on trace une droite horizontale au niveau de la valeur qui nous intéresse et on compte le nombre de points d’intersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction. Par exemple, si l’on souhaite déterminer le nombre de solutions de l’équation sur l’intervalle , on trace la droite d’équation sur la représentation graphique de et on compte qu’il y a deux points d’intersection sur l’intervalle donné. On en déduit que l’équation admet deux solutions sur l’intervalle .
Passons maintenant à un exemple légèrement plus complexe de ce type de problème. Pour le résoudre, nous aurons besoin de la relation liant les trois fonctions trigonométriques de base. On la rappelle ci-dessous.
Définition : Définition de la fonction tangente
Pour tout angle , on a
Exemple 1: Identifier le nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Si , alors l’équation admet un total de solutions.
Réponse
Cette équation comprend deux fonctions trigonométriques : le sinus et la tangente. Cependant, en utilisant la définition de la tangente, on peut l’exprimer en fonction du sinus et du cosinus, . En faisant la substitution dans le membre de droite de l’équation, on obtient
À ce stade, on pourrait être tenté de diviser l’équation par le facteur commun . Cependant, s’il s’avère que le facteur par lequel on souhaite diviser est nul, il est possible que l’on passe à côté de certaines solutions à l’équation. S’il existe une possibilité que le terme par lequel on souhaite diviser soit nul, il faut factoriser l’équation par ce terme et non la diviser, car la division par 0 n’est pas définie. En factorisant par , on obtient
On a maintenant un produit égal à 0. Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Pour trouver toutes les solutions possibles, on écrit que chaque facteur est égal à 0 et on résout chacune de ces nouvelles équations. Dans cet exemple, on ne cherche pas à trouver les solutions à chacune de ces équations ; il s’agit simplement ici de déterminer le nombre de solutions sur l’intervalle spécifié dans l’énoncé.
Pour le premier facteur, on pose . On utilise alors la représentation graphique de la fonction sinus, sur laquelle on observe que l’égalité est vérifiée en trois points de l’intervalle .
Bien que l’on n’ait pas besoin de ces trois valeurs de pour répondre à la question qui nous est posée, on peut remarquer au passage qu’elles sont égales à , et . On comprend donc pourquoi il est essentiel de ne pas diviser par le facteur commun, , mais de factoriser ; en effet, si l’on avait divisé l’équation, on serait passé à côté de ces trois solutions valides.
Pour le second facteur, on pose que l’on résout en procédant à quelques réarrangements. En multipliant par , on obtient
On utilise la représentation graphique de la fonction cosinus sur laquelle on trace une droite horizontale d’équation ; on observe alors qu’il y a deux valeurs de sur l’intervalle pour lesquelles :
Bien que l’on ne puisse pas lire les valeurs exactes de sur la représentation graphique, on voit tout de même clairement que ces ne sont pas les mêmes que celles pour lesquelles l’équation est vérifiée ; donc, toutes les solutions trouvées sont différentes.
Ainsi, l’équation admet 5 solutions sur l’intervalle .
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous détaillerons la résolution par factorisation d’une équation trigonométrique plus complexe.
Exemple 2: Trouver les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné en la factorisant
Trouvez l’ensemble des solutions de l’équation , où .
Réponse
On observe l’équation et on remarque qu’il s’agit d’une équation du second degré en . Alternativement, il peut nous paraître utile de considérer la substitution Nous la considérerons la démarche à la fois avec et sans cette substitution en parallèle.
On constate que les deux méthodes mènent à la même paire d’équations. Recourir ou non à une substitution est une question de préférence personnelle. En général, plus on a l’habitude de ce type de problème, moins on a tendance à passer par l’étape de la substitution ; on a maintenant deux équations à résoudre.
Notre première équation est . On utilise la représentation graphique de la fonction tangente, sur laquelle on observe que la seule solution à notre équation sur l’intervalle est . Par ailleurs, on devrait être capable de retrouver que sans recourir à la représentation graphique. En effet, il s’agit là de l’un des angles usuels, pour lesquels on doit connaitre par cœur les valeurs des trois fonctions trigonométriques ; il est important de noter que même si , n’est pas une solution de l’équation car l’intervalle qui nous intéresse ne comprend que les valeurs de strictement inférieures à .
On peut réarranger notre seconde équation pour trouver que . En appliquant la fonction réciproque de la fonction tangente, on obtient
Cette valeur principale de est en dehors de l’intervalle qui nous intéresse. Cependant, la fonction tangente étant périodique, on peut trouver une seconde solution à l’équation en ajoutant à celle-ci :
Cette nouvelle valeur est bien dans l’intervalle qui nous intéresse, c’est donc une solution valide pour . Si l’on additionnait encore un multiple de , on dépasserait la borne supérieure de l’intervalle ; donc, on a déjà trouvé toutes les solutions.
L’ensemble des solutions de l’équation , où , est .
On notera que dans l’exemple précédent, il était indispensable de factoriser, et non pas de diviser, par . Si l’on avait divisé par , on aurait perdu l’une des solutions de l’équation d’origine. Ceci est dû au fait que, sur l’intervalle dans lequel nous cherchions des solutions, peut être égal à 0 ; or la division par 0 est indéfinie. On a d’ailleurs constaté par la suite qu’il nous fallait résoudre l’équation pour trouver toutes les solutions.
Il est important de toujours faire attention à l’intervalle sur lequel on nous demande de chercher les solutions. Il est fréquent que cet intervalle soit , mais il peut y en avoir des exceptions, comme c’était le cas dans l’exemple précédent. Il est possible que d’autres valeurs vérifient l’équation, mais si elles n’appartiennent pas à l’intervalle spécifié, alors elles sont incorrectes dans le contexte du problème.
Passons maintenant à un problème légèrement plus complexe faisant intervenir une autre fonction trigonométrique.
Exemple 3: Trouver les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné en la factorisant
Trouvez l’ensemble des solutions de l’équation , sachant que .
Réponse
Une seule fonction trigonométrique apparait dans l’équation : la fonction cosinus ; l’équation comprend un terme d’ordre 2, c’est donc une équation du second degré. Étant donné qu’elle n’a pas de terme constant (ou autrement dit que le terme constant est égal à 0), on peut la résoudre en factorisant par :
Ainsi, soit , soit .
Pour la première équation, on divise par 2 et on trouve que . On constate sur le représentation graphique de la fonction cosinus que cette équation admet deux solutions sur l’intervalle qui nous intéresse : et .
Résoudre la seconde équation s’avère un peu plus complexe. On peut la réarranger pour obtenir
En multipliant le numérateur et le dénominateur du côté droit par , on a
On reconnaît la valeur d’un angle usuel, . Cependant, ce sont les valeurs de qui vérifient qu’il nous faut trouver. On constate sur le diagramme CEST, est négatif dans les deuxième et troisième quadrants ; on trouve par symétrie que quand et .
On obtient donc deux nouvelles solutions : et .
L’ensemble des solutions de l’équation sur l’intervalle est .
Dans les deux exemples précédents, nous avons résolu des équations du second degré n’impliquant qu’une seule fonction trigonométrique. Passons maintenant à un exemple dans lequel il nous faudra résoudre une équation comprenant deux fonctions trigonométriques différentes.
Exemple 4: Résoudre une équation trigonométrique impliquant les fonctions sinus et cosinus en la factorisant
Trouvez l’ensemble des solutions de l’équation , où . Donnez votre réponse à la minute près.
Réponse
On commence par factoriser par :
On a maintenant un produit égal à 0, donc on peut résoudre le problème en écrivant que chaque facteur est égal 0 et en résolvant ces nouvelles équations. Pour le premier facteur, on pose .
On utilise la représentation graphique de la fonction sinus sur laquelle on observe qu’il existe trois valeurs de qui sont solutions de notre équation sur l’intervalle qui nous intéresse : , et .
Pour le second facteur, on pose , que l’on réarrange en
Pour exprimer cette équation en fonction d’une seule fonction trigonométrique, on peut diviser par . Diviser par un terme trigonométrique n’est pas sans risque et l’on doit s’assurer de n’éliminer aucune solution de l’équation dans le processus, comme cela peut arriver lorsque le terme par lequel on divise est en fait nul. Cependant, si était égal à 0, alors on aurait ; or, il n’existe aucune valeur de pour laquelle le sinus et le cosinus sont tous les deux nuls, donc on sait qu’il n’existe aucune solution de l’équation telle que est égal à 0 ; or, il n’existe aucune valeur de pour laquelle le sinus et le cosinus sont tous les deux nuls, donc on sait qu’il n’existe aucune solution de l’équation telle que est égal à 0. On s’est correctement assuré que la division par n’entraînera pas de perte de solution, donc on peut procéder et l’on obtient
Ici, on utilise la définition de la tangente, , pour que l’équation ne soit plus exprimée qu’en fonction d’une seule fonction trigonométrique :
On résout pour trouver la valeur principale de , arrondie à la minute la plus proche, et l’on a
Pour trouver d’éventuelles solutions supplémentaires sur l’intervalle qui nous intéresse, on s’aide du diagramme CEST :
Les valeurs de sont aussi positives dans le troisième quadrant ; on trouve donc une seconde solution en ajoutant à notre valeur principale :
On aurait aussi pu trouver cette seconde valeur en utilisant la périodicité de la fonction tangente, ce qui nous aurait aussi amené à ajouter à notre valeur principale. Il n’existe pas d’autres valeurs vérifiant l’équation sur cet intervalle, donc on a trouvé toutes les solutions.
L’ensemble des solutions de l’équation, arrondies à la minute la plus proche, est .
Une autre approche pour résoudre certains types d’équations trigonométriques consiste à élever au carré chacun des côtés de l’équation. Dans certains cas, des expressions de la forme apparaissent alors, que l’on peut simplifier avec l’identité trigonométrique pythagoricienne.
Définition : L’identité trigonométrique pythagoricienne
Pour tout angle , on a
Élever au carré les deux côtés d’une équation peut être risqué si l’on ne prend pas les précautions nécessaires. Prenons par exemple l’équation . En élevant au carré chacun des côtés, on obtient ; si l’on résout ensuite cette équation en prenant la racine carrée, on trouve
Élever au carré et prendre la racine carrée ne constituent pas deux opérations bijectives, ce qui explique que l’on ait pu « créer » une solution supplémentaire à notre équation, . On appelle cette solution superflue une « racine étrangère » ; nous n’avions à l’origine qu’une seule valeur, , donc cette solution est incorrecte. Donc, dans le cas où l’on élève au carré une équation trigonométrique afin de la résoudre, il faut s’assurer ensuite que chaque solution trouvée vérifie l’équation d’origine ; si ce n’est pas le cas, il s’agit d’une solution étrangère, qui doit être écartée.
Exemple 5: Trouver les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné, en l’élevant au carré et en écartant les solutions étrangères
En élevant au carré chacun des côtés, ou par tout autre méthode de votre choix, résolvez l’équation , où . Veillez à éliminer toute solution étrangère. Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
L’énoncé suggère de commencer par mettre au carré chacun des deux côtés de l’équation. On élève donc au carré puis on simplifie pour obtenir
On utilise ensuite l’identité trigonométrique pythagoricienne, , pour simplifier davantage :
On trouve à la fois la fonction sinus et la fonction cosinus dans cette équation. En la combinant à l’équation d’origine, on a maintenant deux équations, toutes deux en fonction de et ; on peut donc considérer ces deux équations comme un système de deux équations à résoudre simultanément. Afin d’obtenir une équation qui ne dépendrait que de l’une des deux variables, on commence par réarranger l’équation d’origine pour exprimer en fonction de :
On peut ensuite remplacer par cette expression, à la place de , dans notre seconde équation :
On développe l’expression du côté gauche de l’équation, puis on multiple des deux côtés par 32, on rassemble tous les termes d’un seul côté et on obtient
On a maintenant une équation du second degré en , que l’on peut résoudre en utilisant la formule quadratique. Le coefficient de est 32, le coefficient de est et le terme constant est . En remplaçant par ces valeurs dans la formule quadratique, on a
En simplifiant, on trouve que l’on peut simplifier davantage en simplifiant le radical , puis en annulant le facteur de 8 mis en évidence :
On a maintenant deux équations à résoudre. On commence par la racine positive et on trouve
D’après la symétrie de la fonction cosinus, on sait qu’une seconde solution est possible :
On dit de cette solution qu’elle est « possible » parce qu’avant de conclure, il nous faudra tester toutes nos valeurs dans l’équation d’origine afin de détecter les éventuelles solutions étrangères.
On passe maintenant à la racine négative, pour laquelle on a
Une fois de plus, d’après la symétrie de la fonction cosinus, on sait qu’une seconde solution est possible ; on la trouve en calculant
On a trouvé quatre solutions possibles à l’équation, qui correspondent à l’ensemble de valeurs .
Pour finir, on doit vérifier la validité de chacune de ces « solutions » en revenant à l’équation d’origine. À tour de rôle, on remplace par chacune de ces valeurs dans le membre de gauche de l’équation d’origine et on vérifie si l’on obtient bien une valeur égale à .
Pour notre première valeur, , on a : donc est une solution valide.
Pour la deuxième valeur, on a : donc il s’avère que est une solution étrangère. De la même manière, on trouve que notre troisième valeur, est une solution valide, mais que la quatrième valeur, ne l’est pas.
L’équation admet donc deux solutions sur l’intervalle spécifié, qui, au centième près, sont et .
L’exemple précédent révèle l’importance, dans le cas d’une résolution par élévation au carré, de tester toutes nos « solutions », en nous assurant qu’elles vérifient bien l’équation d’origine. Si nous avions sauté cette étape dans l’exemple précédent, nous aurions conclu que l’équation admettait quatre solutions pour , alors que deux de ces « solutions » sont invalides et que l’équation n’en admet en fait que deux.
Dans cette fiche explicative, nous avons vu diverses méthodes de résolution pour les équations trigonométriques, parmi lesquelles la factorisation, l’élévation au carré et l’utilisation des identités trigonométriques. Il est parfois possible d’appliquer plusieurs méthodes pour résoudre une même équation ; le choix de la technique dépendra du type d’équation et de sa complexité.
Récapitulons pour finir quelques-unes des notions les plus importantes vues dans cette fiche explicative.
Points clés
- On peut résoudre certaines équations trigonométriques par factorisation. Il est très important de factoriser, et non de diviser, par les facteurs communs ; on évite ainsi de passer peut-être à côté de certaines solutions, dans le cas de facteurs communs nuls.
- On peut résoudre certaines équations trigonométriques en élevant au carré les deux côtés de l’équation. Lorsque l’on utilise cette approche, il est important de vérifier qu’aucune solution étrangère n’a été créée dans le processus.
- La définition de la tangente, , et l’identité trigonométrique pythagoricienne, , permettent de simplifier certaines équations trigonométriques.
- On peut utiliser les représentations graphiques des fonctions trigonométriques, leurs propriétés ainsi que le diagramme CEST pour trouver des solutions supplémentaires après avoir trouvé une valeur principale.
