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Détermine l’ensemble solution de l’équation log de base huit de 𝑥 moins six plus le
log de base huit de 𝑥 plus six égal au log de base huit de 64 dans l’ensemble des
nombres réels.
Pour nous permettre de commencer à résoudre ce problème et de résoudre réellement
l’équation, tout ce que nous voulons faire, c’est d’appliquer une loi de log. Et la loi de log que nous allons utiliser est la suivante : log de base 𝑎 de 𝑚𝑛,
donc 𝑚 multiplié par 𝑛, est égal à log de base 𝑎 de 𝑚 plus log de base 𝑎 de
𝑛.
Donc, si nous regardons en arrière notre équation, nous pouvons voir, eh bien, en
fait, ils ont tous la même base car le huit est notre base. C’est la même chose que notre 𝑎 dans notre loi sur le log. Donc, donc, nous pouvons dire que notre log de base huit de 𝑥 moins six plus log de
base huit de 𝑥 plus six est égal à log de base huit de 64 est égal à 𝑥 moins six
multiplié par 𝑥 plus six est égal à 64. Et c’est parce que si nous regardons notre loi de logarithme, nous pouvons voir que
le 𝑥 moins six est comme notre 𝑚. Et le 𝑥 plus six est comme notre 𝑛. Et si nous les multiplions ensemble, cela est égal à notre 64, qui était notre
𝑚𝑛.
Et maintenant, nous pouvons résoudre cette équation. Et la première chose à faire est de développer les parenthèses. Donc nous obtenons 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins six 𝑥 moins 36 est égal à 64. Et alors nous pouvons regrouper nos termes ici.
Un élément clé à examiner ici est le fait que ces deux parenthèses sont en réalité la
différence de deux carrés. Cela signifie donc qu’en réalité, nos termes 𝑥 vont s’annuler. Nous allons donc nous retrouver avec notre 𝑥 au carré moins 36. Et cela vaut à 64.
Encore une fois, nous disons qu’ils s’annulent. Cela signifie que si nous avons plus six 𝑥, puis moins six 𝑥, nous n’avons que
zéro. Ok, maintenant notre prochaine étape. Eh bien, pour notre prochaine étape, nous ajoutons en fait 36. Donc, donc, nous obtenons 𝑥 au carré est égal à 100. Et ensuite, si nous prenons la racine carrée de chaque côté, nous obtenons 𝑥 est
égal à 10. Nous pouvons donc dire que l’ensemble solution de l’équation log de base huit de 𝑥
moins six plus le log de base huit de 𝑥 plus six égal au log de base huit de 64 est
10.
