Vidéo de la leçon: Équations logarithmiques de même base Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations logarithmiques de même base en utilisant les opérations sur les puissances et les lois des logarithmes. Avant cela, commençons par rappeler le fonctionnement des logarithmes. Cette équation logarithmique est composée de plusieurs éléments. On a tout d’abord un logarithme, abrégé par log. Et on la lit : log de base 𝑏 d’une valeur 𝑥 est égal à 𝑘. L’équation log de base b de 𝑥 égale 𝑘 est mathématiquement équivalente à l’équation 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑘. L’expression log de base 𝑏 de 𝑥 pose en fait la question : quelle puissance de 𝑏 est égale à 𝑥, et nous voyons ici que c’est k. Si 𝑏 puissance 𝑘 est égal à 𝑥, alors log de base 𝑏 de 𝑥 est égal à 𝑘.

Afin de résoudre des problèmes impliquant plusieurs logarithmes, dont les bases sont les mêmes, nous allons avoir besoin de quelques propriétés des logarithmes. Commençons par le logarithme d’un produit. Log de base 𝑏 de 𝑥 fois 𝑦 est égal à log de base 𝑏 de 𝑥 plus log de base 𝑏 de 𝑦.

La le logarithme d’un quotient est assez similaire. Dans ce cas, log de base 𝑏 de 𝑥 divisé par 𝑦 est égal à log de base b de 𝑥 moins log de base 𝑏 de 𝑦. On a ensuite le logarithme d’une puissance. Log de base 𝑏 de 𝑥 puissance 𝑝 est égal à 𝑝 fois log de base 𝑏 de 𝑥. Et on a le log de la base. C’est log de base 𝑏 de 𝑏, et cela est égal à un.

On rappelle que le logarithme pose la question : à quelle puissance doit-on élever 𝑏 pour obtenir 𝑏. 𝑏 puissance un égale 𝑏. Donc log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Et le dernier principe très utile pour travailler avec des logarithmes de même base est le suivant. Si log de base 𝑏 de 𝑥 est égal à log de base 𝑏 de 𝑦, alors 𝑥 est égal à 𝑦.

Étudions un exemple impliquant des logarithmes de même base.

Calculez 𝑥 tel que log de base six de 𝑥 plus log de base six de trois égale trois.

La première chose que nous remarquons ici est que nous avons deux logarithmes de base six. Pour des problèmes comme celui-ci, la première étape consiste généralement à simplifier l’équation en utilisant les lois des logarithmes. Dans cette équation, on ajoute deux logarithmes de même base, ce qui devrait nous rappeler le logarithme d’un produit qui stipule que log de base 𝑏 de 𝑥 plus log de base b de 𝑦 est égal à log de base 𝑏 de 𝑥 fois 𝑦. Cela signifie que l’on peut combiner ces deux logarithmes en multipliant leurs arguments. On obtient ainsi log de base six de trois fois 𝑥, c’est à dire trois 𝑥, donc log de base six de trois 𝑥 égale trois.

Et nous ne pouvons pas simplifier davantage ici. Nous allons donc essayer d’exprimer cette équation logarithmique sous forme exponentielle. On rappelle que si log de base 𝑏 de 𝑥 est égal à 𝑘, alors 𝑥 est égal à 𝑏 puissance 𝑘. La base 𝑏 devient la base de l’équation exponentielle. Le trois est l’exposant, et on pose cela égal à l’argument du logarithme. Comme six au cube égale 216, on a trois 𝑥 égale 216. On divise ensuite les deux membres de l’équation par trois et on obtient 𝑥 égale 72.

Nous avons donc simplifié l’équation logarithmique puis l’avons reformulée sous forme exponentielle. Cet exemple était très simple. Ce sont les étapes de simplification et de reformulation qui sont généralement les plus longues dans ce type de problèmes.

Regardons cela dans quelques exemples.

Sachant que log de base 12 de 𝑣 plus trois égale un, calculez la valeur de 𝑣.

Nous pouvons approcher ce problème de deux façons. La première consiste à réécrire ce logarithme sous forme exponentielle. Si log de base 𝑏 de 𝑥 est égal à 𝑘, alors on peut écrire 𝑏 puissance 𝑘 égale 𝑥. Pour nous, ce sera 12 puissance un égale 𝑣 plus trois. Mais on sait que 12 puissance un égale 12. On soustrait donc trois aux deux membres de l’équation. Et on trouve neuf égale 𝑣 ou plus communément 𝑣 égale neuf.

Mais y a-t-il une autre façon d’aborder cette question ? Eh bien, sachant que log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un, on peut aussi écrire un sous la forme log de base 12 de 12 puisque log de base 12 de 12 est bien égal à un. Et comme on a maintenant deux logarithmes de même base de chaque côté, on peut dire que 𝑣 plus trois égale 12. À nouveau, on soustrait trois des deux côtés et on obtient 𝑣 égale neuf. Ces deux méthodes de résolution de l’équation pour déterminer 𝑣 sont valables.

Prenons un autre exemple.

Déterminez l’ensemble des solutions réelles de l’équation log de base huit de 𝑥 moins six plus log de base huit de 𝑥 plus six égale log de base huit de 64.

En observant l’équation, on remarque que l’on additionne des logarithmes de même base, ce qui signifie que l’on peut utiliser le logarithme d’un produit : log de base 𝑏 de 𝑥 plus log de base 𝑏 de 𝑦 égale log de base 𝑏 de 𝑥 fois 𝑦. Cependant, nous devons être prudents ici. Dans ces logarithmes, grand X, l’argument du premier log, est 𝑥 moins six et grand Y, l’argument du deuxième log, est 𝑥 plus six. On obtient donc log de base huit de 𝑥 moins six fois 𝑥 plus six égale log de base huit de 64.

Pour s’assurer de traiter correctement l’argument du logarithme, on peut utiliser la double distributivité. Ou on peut reconnaître qu’il s’agit d’une différence de carrés. On rappelle en effet que 𝑥 plus 𝑎 fois 𝑥 moins 𝑎 égale 𝑥 carré moins 𝑎 carré. Dans notre cas, cela fait 𝑥 carré moins six au carré, soit 36. On a donc log de base huit de 𝑥 au carré moins 36 égale log de base huit de 64. Maintenant qu’il y a un seul logarithme de chaque côté et qu’ils ont la même base, on peut dire que x au carré moins 36 doit être égal à 64.

Pour résoudre cela, on ajoute 36 aux deux membres de l’équation. Et on trouve 𝑥 au carré égale 100. Si on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, on obtient alors 𝑥 égale plus ou moins 10. Mais nous devrons faire très attention ici. Puisque 𝑥 est dans les arguments de deux logarithmes et que nous savons que nous ne pouvons pas calculer le logarithme d’une valeur négative, si on remplace 𝑥 par moins 10, on essaye de calculer le logarithme d’une valeur négative, ce qui n’est pas possible. Cela signifie que 𝑥 ne peut pas être égal à moins 10. Pour la valeur plus 10, on calcule bien le logarithme de valeurs positives. Nous pouvons donc dire que la seule valeur possible de 𝑥 est 10. L’ensemble des solutions est donc par conséquent le singleton 10.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier des logarithmes de racines carrées.

Déterminez l’ensemble des solutions réelles de log de base huit de racine carrée de neuf 𝑥 moins 26 plus log de base huit de racine carrée de 𝑥 plus un égale log de base huit de 128 moins deux.

En observant cette équation, on remarque que trois des termes sont des logarithmes de base huit. Mais le quatrième terme est une constante. Concentrons-nous donc d’abord sur le membre de droite de l’équation, c’est-à-dire celui avec la constante. Nous avons quelques options pour le transformer mais nous allons devoir faire preuve de créativité.

Une façon de résoudre ce problème est d’écrire deux comme un logarithme de base huit. On rappelle pour cela que log de base 𝑏 de 𝑏 égale un. Et cela signifie que l’on peut réécrire la constante deux comme deux fois log de base huit de huit. Car cela fait deux fois un. On rappelle de plus qu’une constante p fois log de base 𝑏 de 𝑥 est égal à log de base 𝑏 de 𝑥 puissance 𝑝. Donc la constante deux peut être reformulée par log de base huit de huit au carré, ce qui va beaucoup nous aider. Et on conserve ce log de base huit de 128.

On rappelle à présent que log de base 𝑏 de 𝑥 moins log de base 𝑏 de 𝑦 est égal à log de base 𝑏 de 𝑥 divisé par 𝑦. Cela signifie que l’on peut reformuler log de base huit de 128 moins log de base huit de huit au carré par log de base huit de 128 sur huit au carré. Huit au carré égale 64. 128 sur 64 égale deux, ce qui signifie que nous avons pu simplifier log de base huit de 128 moins deux par log de base huit de deux.

Nous pouvons à présent nous intéresser au membre de gauche de l’équation. Les deux logarithmes sont de base huit. Mais on calcule le logarithme de la racine carrée de ces termes. La suite des calculs sera plus simple si on reformule la racine carrée par une puissance un sur deux. On peut alors sortir ces puissances un sur deux des logarithmes pour obtenir un demi de log de base huit de neuf 𝑥 moins 26 plus un demi de log de base huit de x plus un. On factorise ensuite par le facteur commun un demi.

À l’intérieur de ces parenthèses, nous avons à présent une somme de deux logarithmes de même base. Et cela signifie que nous pouvons utiliser la formule log de base 𝑏 de 𝑥 plus log de base 𝑏 de 𝑦 égale log de base 𝑏 de 𝑥 fois 𝑦. On obtient ainsi log de base huit de neuf 𝑥 moins 26 fois 𝑥 plus un. On développe et on obtient neuf 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins 26𝑥 moins 26. Neuf 𝑥 moins 26𝑥 égale moins 17𝑥.

Et nous sommes à présent proches de la solution. Mais nous sommes bloqués par ce facteur un sur deux. Nous allons donc le remettre sous forme d’exposant dans le logarithme. Ce qui donne le log de base huit de neuf 𝑥 au carré moins 17𝑥 moins 26, le tout puissance un sur deux. Et vous allez comprendre pourquoi dans un instant. En faisait cela, nous avons maintenant une équation de la forme log de base 𝑏 de 𝑥 égale log de base 𝑏 de 𝑦, ce qui implique que 𝑥 est égal à 𝑦, c'est-à-dire neuf 𝑥 au carré moins 17𝑥 moins 26 puissance un sur deux égale deux dans ce cas.

On peut se débarrasser de cette puissance un sur deux en mettant les deux membres de l’équation au carré, ce qui nous donne neuf 𝑥 au carré moins 17𝑥 moins 26 égale quatre. En soustrayant quatre des deux côtés, on obtient l’équation du second degré neuf 𝑥 au carré moins 17𝑥 moins 30 égale zéro. Et nous pouvons la factoriser pour calculer 𝑥.

Cela n’implique aucune lois des logarithmes pour le moment. Nous allons simplement factoriser pour résoudre une équation du second degré. On cherche donc un produit de cette forme. Plus 10 fois moins trois donne moins 30. Et moins 27 plus 10 égale moins 17. En posant ces deux facteurs égaux à zéro, on trouve 𝑥 égale moins dix sur neuf ou 𝑥 égale trois.

D’après la définition du logarithme, nous savons cependant que nous ne pouvons pas calculer le logarithme d’une valeur négative. Si on remplace x par moins dix sur neuf dans neuf 𝑥 moins 26, on obtient une valeur négative. On en déduit donc que moins dix sur neuf n’est pas une solution valable pour 𝑥. En utilisant la même méthode pour vérifier la solution trois, neuf fois trois moins 26 est positif. Et si on substitue trois dans 𝑥 plus un, on obtient à nouveau une valeur positive. L’ensemble des solutions est donc tout simplement trois.

Dans le dernier exemple, nous allons résoudre une équation logarithmique dont la base est inconnue.

Déterminez l’ensemble des solutions réelles de log de base 𝑥 de cinq plus log de base 𝑥 de 40 moins deux log de base 𝑥 de quatre égale deux plus log de base 𝑥 de huit.

Commençons par recopier cette équation. Bien que nous puissions la résoudre de différentes manières, nous allons procéder de gauche à droite. On rappelle que log de base 𝑏 de 𝑥 plus log de base 𝑏 de 𝑦 est égal à log de base 𝑏 de 𝑥 fois 𝑦, ce qui signifie que l’on peut combiner les deux premiers termes et écrire log de base 𝑥 de cinq fois 40, soit log de base 𝑥 de 200. Puis on conserve le reste de l’équation.

Il nous reste à combiner log de base x de 200 et deux log de base 𝑥 de quatre. On utilise avant cela la loi 𝑝 fois log de base 𝑏 de 𝑥 égale log de base 𝑏 de 𝑥 puissance 𝑝, ce qui signifie que deux log de base 𝑥 de quatre est égal à log de base 𝑥 de quatre au carré. On a donc maintenant une soustraction de deux logarithmes de même base. Et on sait que c’est le logarithme du quotient de leurs arguments. Ainsi, log de base x de 200 moins log de base 𝑥 de quatre au carré est égal à log de base 𝑥 de 200 sur 16.

Il semble que ce soit tout ce que nous puissions faire dans le membre de gauche de l’équation. Mais nous pouvons maintenant déplacer ce log de base 𝑥 de huit vers le membre de gauche en soustrayant log de base 𝑥 de huit de chaque côté. Cela donne log de base x de 200 sur 16 moins log de base 𝑥 de huit. Et nous allons à nouveau utiliser le logarithme d’un quotient, qui nous donne log de base 𝑥 de 200 sur 16 divisé par huit. On sait alors que diviser par huit est la même chose que multiplier par un sur huit. En faisant cette simplification, on obtient log de base 𝑥 de 25 sur 16 égale deux.

Nous souhaitons à présent transformer cette équation logarithmique en son équivalente exponentielle. On rappelle que si log de base 𝑏 de 𝑥 égale 𝑘, alors on peut écrire 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑘. On a donc 25 sur 16 égale 𝑥 au carré. En prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, on obtient 𝑥 égale plus ou moins cinq sur quatre, puisque racine carrée de 25 égale cinq et racine carrée de 16 égale quatre. Comme nous ne cherchons que des expressions qui appartiennent à l’ensemble des nombres réels, 𝑥 ne peut pas être égale à moins cinq sur quatre. Si la base était négative, les termes seraient en effets imaginaires. Par conséquent, 𝑥 ne peut être égal qu’à cinq sur quatre, donc l’ensemble solution est simplement cinq sur quatre.

Avant de terminer, passons en revue les points clés. Pour résoudre des équations impliquant des logarithmes de même base, il faut d’abord simplifier l’équation à l’aide des lois des logarithmes. Cela peut être suffisant pour la résoudre. Si ce n’est pas le cas, il faut reformuler l’équation logarithmique sous forme exponentielle.