Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Équations logarithmiques de mêmes bases Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations logarithmiques de mêmes bases en utilisant les opérations sur les puissances et les lois des logarithmes.

Une équation logarithmique est une équation avec une variable inconnue impliquant des fonctions logarithmiques. Dans le cas d’équations logarithmiques avec un seul logarithme, il est possible de les réécrire en utilisant les opérations sur les puissances pour les rendre plus faciles à résoudre. Rappelons la définition d’un logarithme.

Définition : Logarithmes

Soit une équation exponentielle sous la forme 𝑎=𝑛, avec 𝑎>0, cela peut s’écrire comme l’équation logarithmique log𝑛=𝑥,𝑎 est la base du logarithme, 𝑛 est l’argument, et 𝑥 est l’exposant.

Par conséquent, 𝑎=𝑛𝑛=𝑥log.

Nous pouvons voir à partir de la définition ci-dessus que si une inconnue est dans l’argument, 𝑛, alors, en réécrivant log𝑛=𝑥 comme 𝑎=𝑛 on peut transformer 𝑛 en membre à part entière de l’équation, permettant de calculer la valeur de l’inconnue.

Dans le premier exemple, nous verrons comment calculer une inconnue dans l’argument, en réécrivant l’équation sous sa forme exponentielle, en utilisant les opérations sur les puissances, comme indiqué ci-dessus.

Exemple 1: Résoudre des équations logarithmiques avec un seul logarithme

Sachant que log(𝑣+3)=1, déterminez la valeur de 𝑣.

Réponse

Comme on nous donne une équation logarithmique avec un seul logarithme, nous pouvons reformuler l’équation, sous forme exponentielle, pour faire de l’argument, 𝑣+3, un des membres de l’équation. Rappelons que log𝑛=𝑥𝑎=𝑛, avec 𝑎>0 et 𝑛>0.

Par conséquent, pour l’équation logarithmique log(𝑣+3)=1 , on peut réécrire ceci comme cela 12=𝑣+3.

En calculant 12 à la puissance 1, et en isolant 𝑣 on obtient 12=𝑣+312=𝑣+3𝑣=123=9.

Ainsi, la valeur de 𝑣 qui vérifie l’équation logarithmique log(𝑣+3)=1 est 9.

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre une autre équation logarithmique avec un seul logarithme, en la réécrivant sous forme exponentielle, mais cette fois avec une inconnue dans la base.

Exemple 2: Résoudre une équation logarithmique avec un seul logarithme

Quel est l’ensemble des solutions de l’équation log64=2?

Réponse

Comme on nous donne une équation logarithmique avec un seul logarithme, avec une variable inconnue dans la base, en la réécrivant sous forme exponentielle nous pourrons la résoudre plus facilement. Rappelons que log𝑛=𝑥𝑎=𝑛, avec 𝑎>0 et 𝑛>0.

Par conséquent, nous pouvons réécrire log64=2 comme l’équation (𝑥+2)=64.

En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, on obtient 𝑥+2=±8.

Comme la base, 𝑥+2, doit être positive, +8 est la seule solution possible, nous écartons donc 8. Isoler 𝑥, nous donne 𝑥+2=8𝑥=82=6.

Par conséquent, la solution de log64=2 est {6}.

Jusqu’à présent, nous avons étudié des équations logarithmiques avec un seul logarithme. Maintenant, nous allons voir comment résoudre des équations logarithmiques avec plusieurs logarithmes de mêmes bases.

Rappelons les lois des logarithmes de mêmes bases et quelques valeurs de références.

Règle : Lois des logarithmes de mêmes bases et valeurs de références

Soit le logarithme de base 𝑎, avec 𝑎>0, on a:

  • log𝑎=1;
  • log1=0;
  • le logarithme d’un produit:logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦, avec 𝑥>0 et 𝑦>0;
  • le logarithme d’un quotient:logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦, avec 𝑥>0 et 𝑦>0;
  • le logarithme d’une puissance:loglog𝑥=𝑛𝑥, avec 𝑥>0.

Lorsque les bases sont les mêmes, nous pouvons utiliser ces lois pour combiner d’abord les logarithmes puis résoudre, en réarrangeant ou en rendant les arguments égaux selon l’équation.

Nous montrerons comment utiliser ces lois afin de résoudre une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases dans notre prochain exemple.

Exemple 3: Déterminer l’ensemble des solutions d’une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases

Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation logloglog(𝑥6)+(𝑥+6)=64 dans .

Réponse

Dans l’équation logloglog(𝑥6)+(𝑥+6)=64, comme tous les membres de l’équation sont composés de logarithmes de base, 8, nous pouvons appliquer les lois des logarithmes afin de simplifier et de résoudre.

Comme nous avons la somme de deux logarithmes dans le membre de gauche de l’équation, nous pouvons utiliser le logarithme du produit pour simplifier cela. On a logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦, avec 𝑎>0, 𝑥>0, et 𝑦>0.

En appliquant cela dans le membre de gauche, on obtient logloglogloglog(𝑥6)+(𝑥+6)=64(𝑥6)(𝑥+6)=64.

Maintenant, comme le côté gauche et le côté droit de l’équation sont des logarithmes de mêmes bases, leurs arguments doivent être égaux, ce qui nous donne (𝑥6)(𝑥+6)=64.

En développant et en réarrangeant, on obtient 𝑥6𝑥+6𝑥36=64𝑥100=0.

En résolvant, en factorisant, on obtient 𝑥100=0(𝑥10)(𝑥+10)=0𝑥=10𝑥=10.or

Maintenant, comme l’argument d’un logarithme doit être supérieur à zéro, 𝑥6 et 𝑥+6 doivent être tous deux supérieurs à zéro. Ainsi, 10 n’est pas une solution possible;la seule solution est donc 𝑥.

Par conséquent, l’ensemble des solution de l’équation logloglog(𝑥6)+(𝑥+6)=64 est {10}.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser plusieurs lois des logarithmes pour résoudre une équation avec plusieurs logarithmes de même base.

Exemple 4: Déterminer l’ensemble solution d’une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases

Déterminez l’ensemble des solutions de 4(𝑥+5)(𝑥3)=625logloglog dans .

Réponse

Dans l’équation 4(𝑥+5)(𝑥3)=625logloglog, comme les deux côtés de l’équation ont des logarithmes de mêmes bases, 2, nous pouvons appliquer les lois des logarithmes pour simplifier puis résoudre.

Étant donné que nous avons une multiplication d’un logarithme par un nombre dans le premier membre, nous devons utiliser le logarithme d’une puissance, qui dit que loglog𝑥=𝑛𝑥, avec 𝑎>0 et 𝑥>0.

Ainsi 4(𝑥+5)=(𝑥+5)loglog ce qui donne 4(𝑥+5)(𝑥3)=625(𝑥+5)(𝑥3)=625.loglogloglogloglog

Ensuite, comme nous soustrayons deux logarithmes de mêmes bases, dans le membre de gauche de l’équation, nous pouvons simplifier cela en utilisant le logarithme d’un quotient, qui dit que logloglog𝑥𝑦=𝑥𝑦, avec 𝑎>0 , 𝑥>0, et 𝑦>0.

Ainsi, on obtient logloglogloglog(𝑥+5)(𝑥3)=625(𝑥+5)(𝑥3)=625.

Maintenant, étant donné que les deux côtés de l’équation sont des logarithmes de mêmes bases, leurs arguments doivent être égaux, ce qui nous donne 𝑥+5𝑥3=625.

Comme le numérateur et le dénominateur du côté gauche sont des puissances de 4, nous pouvons prendre les racines quatrièmes positive et négative, ce qui nous donne 𝑥+5𝑥3=±625=±5.

On résout pour +5, on obtient 𝑥+5𝑥3=5𝑥+5=5(𝑥3)𝑥+5=5𝑥154𝑥=20𝑥=5.

On résout pour 5, on obtient 𝑥+5𝑥3=5𝑥+5=5(𝑥3)𝑥+5=5𝑥+156𝑥=10𝑥=53.

Par conséquent, l’ensemble des solutions de 4(𝑥+5)(𝑥3)=625logloglog est 53,5.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser les lois des logarithmes pour résoudre un problème géométrique.

Exemple 5: Utiliser les lois des logarithmes pour résoudre un problème géométrique

Sachant que 𝐴𝐵𝐴𝐶 et 𝐴𝐷𝐵𝐶, déterminez la valeur de 𝑥. Donnez votre réponse arrondie au dixième.

Réponse

Comme on le voit sur la figure, nous avons:un grand triangle rectangle, 𝐴𝐵𝐶, dont on connait la longueur du côté 𝐴𝐵 et de l’hypoténuse 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶, puisque 𝐵𝐷 et 𝐷𝐶 sont donné, et un plus petit triangle rectangle, 𝐴𝐵𝐷, à l’intérieur du plus grand, dont on connait le côté 𝐵𝐷 et l’hypoténuse 𝐴𝐵. Comme les deux triangles sont rectangles et partagent un angle commun, 𝐵, ils sont semblables. Par conséquent, les rapports des côtés sont égaux, ce qui nous donne 𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐵𝐷, qui est équivalent à [𝐴𝐵]=𝐵𝐶×𝐵𝐷.

On peut voir sur la figure que 𝐴𝐵=83,𝐵𝐷=1024=2=102,𝐷𝐶=32=2=52,loglogloglogloglog et 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶=102+52=152.logloglog

Par conséquent, en substituant dans [𝐴𝐵]=𝐵𝐶×𝐵𝐷, on obtient 83=102152192=15022=1921502=32252=±32252=±425.logloglogloglogloglog

Comme nous travaillons avec des longueurs de côtés de triangles log2 doit être positif donc log2=425.

Pour trouver 𝑥, on peut réécrire ceci sous forme exponentielle, on rappelle que log𝑛=𝑥𝑎=𝑛, avec 𝑎>0 et 𝑛>0.

Par conséquent, log2=425𝑥=2.

Pour résoudre 𝑥, on rappelle que si 𝑥=𝑦, alors 𝑥=𝑦 ce qui nous donne 𝑥=2𝑥=2𝑥=2𝑥=1,8.arrondiaudixième

Par conséquent, 𝑥 vaut 1,8 si on arrondi au dixième.

Dans cette fiche explicative, nous avons vu comment résoudre des équations logarithmiques en utilisant leurs formes exponentielles, et en utilisant les règles des logarithmes de mêmes bases. Récapitulons les points clés.

Points Clés

  • Une équation logarithmique est une équation avec une inconnue dans une partie d’un logarithme.
  • Si une équation logarithmique a une inconnue dans sa base ou dans son argument et contient un seul logarithme, alors nous pouvons la réécrire sous forme exponentielle.
  • Si une équation logarithmique contient plusieurs logarithmes de même base, alors nous pouvons utiliser les lois des logarithmes pour la simplifier;pour résoudre, soit on utilise l’égalité des arguments si chaque côté de l’équation est un logarithme de même base, soit on réécrit l’équation sous forme exponentielle s’il n’y a qu’un seul logarithme d’un côté.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.