Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations logarithmiques de mêmes bases en utilisant les opérations sur les puissances et les lois des logarithmes.
Une équation logarithmique est une équation avec une variable inconnue impliquant des fonctions logarithmiques. Dans le cas d’équations logarithmiques avec un seul logarithme, il est possible de les réécrire en utilisant les opérations sur les puissances pour les rendre plus faciles à résoudre. Rappelons la définition d’un logarithme.
Définition : Logarithmes
Soit une équation exponentielle sous la forme , avec , cela peut s’écrire comme l’équation logarithmique où est la base du logarithme, est l’argument, et est l’exposant.
Par conséquent, .
Nous pouvons voir à partir de la définition ci-dessus que si une inconnue est dans l’argument, , alors, en réécrivant comme on peut transformer en membre à part entière de l’équation, permettant de calculer la valeur de l’inconnue.
Dans le premier exemple, nous verrons comment calculer une inconnue dans l’argument, en réécrivant l’équation sous sa forme exponentielle, en utilisant les opérations sur les puissances, comme indiqué ci-dessus.
Exemple 1: Résoudre des équations logarithmiques avec un seul logarithme
Sachant que , déterminez la valeur de .
Réponse
Comme on nous donne une équation logarithmique avec un seul logarithme, nous pouvons reformuler l’équation, sous forme exponentielle, pour faire de l’argument, , un des membres de l’équation. Rappelons que avec et .
Par conséquent, pour l’équation logarithmique , on peut réécrire ceci comme cela
En calculant 12 à la puissance 1, et en isolant on obtient
Ainsi, la valeur de qui vérifie l’équation logarithmique est 9.
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre une autre équation logarithmique avec un seul logarithme, en la réécrivant sous forme exponentielle, mais cette fois avec une inconnue dans la base.
Exemple 2: Résoudre une équation logarithmique avec un seul logarithme
Quel est l’ensemble des solutions de l’équation ?
Réponse
Comme on nous donne une équation logarithmique avec un seul logarithme, avec une variable inconnue dans la base, en la réécrivant sous forme exponentielle nous pourrons la résoudre plus facilement. Rappelons que avec et .
Par conséquent, nous pouvons réécrire comme l’équation
En prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation, on obtient
Comme la base, , doit être positive, est la seule solution possible, nous écartons donc . Isoler , nous donne
Par conséquent, la solution de est .
Jusqu’à présent, nous avons étudié des équations logarithmiques avec un seul logarithme. Maintenant, nous allons voir comment résoudre des équations logarithmiques avec plusieurs logarithmes de mêmes bases.
Rappelons les lois des logarithmes de mêmes bases et quelques valeurs de références.
Règle : Lois des logarithmes de mêmes bases et valeurs de références
Soit le logarithme de base , avec , on a :
- ;
- ;
- le logarithme d’un produit : avec et ;
- le logarithme d’un quotient : avec et ;
- le logarithme d’une puissance : avec .
Lorsque les bases sont les mêmes, nous pouvons utiliser ces lois pour combiner d’abord les logarithmes puis résoudre, en réarrangeant ou en rendant les arguments égaux selon l’équation.
Nous montrerons comment utiliser ces lois afin de résoudre une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases dans notre prochain exemple.
Exemple 3: Déterminer l’ensemble des solutions d’une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation dans .
Réponse
Dans l’équation , comme tous les membres de l’équation sont composés de logarithmes de base, 8, nous pouvons appliquer les lois des logarithmes afin de simplifier et de résoudre.
Comme nous avons la somme de deux logarithmes dans le membre de gauche de l’équation, nous pouvons utiliser le logarithme du produit pour simplifier cela. On a avec , , et .
En appliquant cela dans le membre de gauche, on obtient
Maintenant, comme le côté gauche et le côté droit de l’équation sont des logarithmes de mêmes bases, leurs arguments doivent être égaux, ce qui nous donne
En développant et en réarrangeant, on obtient
En résolvant, en factorisant, on obtient
Maintenant, comme l’argument d’un logarithme doit être supérieur à zéro, et doivent être tous deux supérieurs à zéro. Ainsi, n’est pas une solution possible ; la seule solution est donc .
Par conséquent, l’ensemble des solution de l’équation est .
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser plusieurs lois des logarithmes pour résoudre une équation avec plusieurs logarithmes de même base.
Exemple 4: Déterminer l’ensemble solution d’une équation avec plusieurs logarithmes de mêmes bases
Déterminez l’ensemble des solutions de dans .
Réponse
Dans l’équation , comme les deux côtés de l’équation ont des logarithmes de mêmes bases, 2, nous pouvons appliquer les lois des logarithmes pour simplifier puis résoudre.
Étant donné que nous avons une multiplication d’un logarithme par un nombre dans le premier membre, nous devons utiliser le logarithme d’une puissance, qui dit que avec et .
Ainsi ce qui donne
Ensuite, comme nous soustrayons deux logarithmes de mêmes bases, dans le membre de gauche de l’équation, nous pouvons simplifier cela en utilisant le logarithme d’un quotient, qui dit que avec , , et .
Ainsi, on obtient
Maintenant, étant donné que les deux côtés de l’équation sont des logarithmes de mêmes bases, leurs arguments doivent être égaux, ce qui nous donne
Comme le numérateur et le dénominateur du côté gauche sont des puissances de 4, nous pouvons prendre les racines quatrièmes positive et négative, ce qui nous donne
On résout pour , on obtient
On résout pour , on obtient
Par conséquent, l’ensemble des solutions de est .
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser les lois des logarithmes pour résoudre un problème géométrique.
Exemple 5: Utiliser les lois des logarithmes pour résoudre un problème géométrique
Sachant que et , déterminez la valeur de . Donnez votre réponse arrondie au dixième.
Réponse
Comme on le voit sur la figure, nous avons : un grand triangle rectangle, , dont on connait la longueur du côté et de l’hypoténuse , puisque et sont donné, et un plus petit triangle rectangle, , à l’intérieur du plus grand, dont on connait le côté et l’hypoténuse . Comme les deux triangles sont rectangles et partagent un angle commun, , ils sont semblables. Par conséquent, les rapports des côtés sont égaux, ce qui nous donne qui est équivalent à
On peut voir sur la figure que et
Par conséquent, en substituant dans , on obtient
Comme nous travaillons avec des longueurs de côtés de triangles doit être positif donc
Pour trouver , on peut réécrire ceci sous forme exponentielle, on rappelle que avec et .
Par conséquent,
Pour résoudre , on rappelle que si , alors ce qui nous donne
Par conséquent, vaut 1,8 si on arrondi au dixième.
Dans cette fiche explicative, nous avons vu comment résoudre des équations logarithmiques en utilisant leurs formes exponentielles, et en utilisant les règles des logarithmes de mêmes bases. Récapitulons les points clés.
Points Clés
- Une équation logarithmique est une équation avec une inconnue dans une partie d’un logarithme.
- Si une équation logarithmique a une inconnue dans sa base ou dans son argument et contient un seul logarithme, alors nous pouvons la réécrire sous forme exponentielle.
- Si une équation logarithmique contient plusieurs logarithmes de même base, alors nous pouvons utiliser les lois des logarithmes pour la simplifier ; pour résoudre, soit on utilise l’égalité des arguments si chaque côté de l’équation est un logarithme de même base, soit on réécrit l’équation sous forme exponentielle s’il n’y a qu’un seul logarithme d’un côté.
