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Détermine l'ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux sur la racine carrée de 86 moins la valeur absolue de 𝑥.
On rappelle que le domaine de définition de toute fonction 𝑓 de 𝑥 est l'ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 soit définie. Dans la fonction donnée, nous observons deux types de restrictions au domaine de définition. Premièrement, on fait attention au dénominateur. Comme le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul, il faut exclure le cas où la racine carrée de 86 moins la valeur absolue de 𝑥 est égale à zéro. Pour que la racine carrée d'une expression algébrique soit égale à zéro, l'expression doit être égale à zéro. Par conséquent, notre fonction 𝑓 de 𝑥 ne peut pas être définie lorsque 86 moins la racine carrée de 𝑥 est égale à zéro.
Il faut également prendre en compte les restrictions imposées par la racine carrée. En particulier, on rappelle que la fonction racine carrée ne peut pas prendre comme valeur d’entrée un nombre négatif. Ainsi, 86 moins la valeur absolue de 𝑥 doit être non négatif, autrement dit, supérieur ou égal à zéro. Toutefois, si nous combinons cela avec notre première restriction, 86 moins la valeur absolue de 𝑥 doit être strictement supérieur à zéro car nous avons d'abord constaté qu'il ne peut pas être nul.
Pour résoudre l'inégalité, il faut d'abord isoler la valeur absolue d'un côté de l'inégalité. Pour cela, nous commençons par soustraire 86 de chaque membre de l'inégalité, puis nous divisons chaque membre par moins un. Lorsque nous multiplions ou divisons une inégalité par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. On se retrouve donc avec la valeur absolue de 𝑥 strictement inférieure à 86.
On rappelle que la valeur absolue de 𝑥 peut être interprétée comme la distance par rapport à zéro. Cela signifie que nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 qui se situent à moins de 86 unités de zéro. On peut représenter ces valeurs de 𝑥 sur une droite numérique, entre moins 86 et plus 86. Nous colorions ces valeurs en orange en gardant l'intervalle ouvert à gauche et à droite. Ainsi, on peut écrire les valeurs du domaine sous forme d’inégalité composée : moins 86 est inférieur à 𝑥 est inférieur à 86 ou, en notation d'intervalle, sous la forme de l'intervalle ouvert moins 86 86.
Pour trouver cette réponse, nous avons restreint le dénominateur à des valeurs non nulles et restreint l'expression sous la racine carrée à des valeurs non négatives. Nous avons ensuite résolu l'inégalité avec la valeur absolue de 𝑥. Par conséquent, le domaine de définition de 𝑓 de 𝑥 égale deux sur la racine carrée de 86 moins la valeur absolue de 𝑥 est l'ensemble des nombres réels compris strictement entre moins 86 et 86.
