Vidéo de la leçon: Ensemble de définition et ensemble image d’une fonction racine 𝑛-ième Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image d'une fonction racine 𝑛-ième à partir de sa représentation graphique ou de sa règle de définition. En particulier, nous nous concentrerons sur l’ensemble de définition et l’ensemble image de fonctions contenant des racines carrées et cubiques.

Commençons par rappeler les définitions de l’ensemble de définition et de l’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑥 telles que l’expression 𝑓 de 𝑥 soit définie. Dans les formules, nous pouvons considérer l’ensemble de définition d’une fonction comme l’ensemble de toutes les valeurs sur lesquelles la fonction agit, ou ses valeurs d’entrée. L’ensemble image d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs possibles que l’expression 𝑓 de 𝑥 peut prendre lorsque 𝑥 est un nombre quelconque de l’ensemble de définition de la fonction. Nous pouvons donc penser à l’ensemble image d’une fonction comme un ensemble de valeurs produites par la fonction, ou ses valeurs de sortie.

Commençons par considérer la fonction racine la plus simple : 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥. S’il y a un nombre réel 𝑦 satisfaisant 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑥, alors il s’ensuit que 𝑥 est égal à 𝑦 au carré. Nous savons que le carré d’un nombre réel n’est pas négatif, donc 𝑥 doit être positif ou nul. Cela signifie que toute valeur d’entrée de la fonction 𝑓 de 𝑥 doit être positive ou nulle, ce qui nous indique que l’ensemble de définition de la fonction racine carrée est 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Nous pouvons également l’exprimer en notation d’intervalle, car 𝑥 appartient à l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞.

Maintenant, considérons l’ensemble image de la fonction racine carrée. Voici l’allure de sa courbe représentative. Nous pouvons voir que la courbe semble devenir plus plate lorsque 𝑥 augmente. Mais sa valeur continue d’augmenter sans limite. Cela nous indique que toute valeur réelle positive est une valeur de sortie possible de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑥. Et la valeur de zéro est également incluse parce que la racine carrée de zéro vaut zéro. L’ensemble image de la fonction racine carrée est donc les nombres réels positifs ou nuls. On peut donc dire que 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Encore une fois, nous pouvons exprimer ceci avec la notation d’intervalle puisque 𝑓 de 𝑥 appartient à l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞.

Notez que nous utilisons 𝑥 pour décrire l’ensemble de définition de la fonction parce que ce sont les valeurs d’entrée, alors que nous utilisons 𝑓 de 𝑥 pour décrire l’ensemble image parce qu’il s’agit des valeurs de sortie. Notons également que, dans ce cas, les valeurs de l’ensemble de définition et de l’ensemble image de la fonction racine carrée sont en fait les mêmes. Mais ce ne sera certainement pas toujours le cas. Remarquons également à ce stade que, sur la courbe représentative d’une fonction, l’ensemble de définition de la fonction correspond à la partie de l’axe horizontal où la courbe existe, alors que l’ensemble image de la fonction correspond à la partie de l’axe vertical où la courbe existe. Cela nous donne une méthode utile pour trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction si on nous donne sa courbe représentative.

Considérons maintenant une fonction racine carrée plus générale : 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Cette fois, nous ne trouvons pas simplement la racine carrée de 𝑥, mais d’une fonction de 𝑥, que nous appelons 𝑔 de 𝑥. Nous avons donc une composition de fonction ou une fonction d’une fonction. Il résulte de ce que nous avons déjà vu que les valeurs d’entrée pour la fonction 𝑓 de 𝑥 doivent être positives ou nulles. Et donc 𝑔 de 𝑥 doit être positif ou nul. L’ensemble de définition de la composition de fonction racine carrée comme indiqué est l’ensemble de toutes les valeurs 𝑥 telles que la fonction 𝑔 de 𝑥 est supérieure ou égale à zéro. L’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 dépendra de la fonction 𝑔 de 𝑥. Mais nous pouvons déterminer l’ensemble image en considérant les valeurs les plus grandes et les plus petites que la fonction peut prendre, comme nous le verrons dans les exemples.

Commençons donc par un exemple dans lequel nous trouverons l’ensemble de définition d’une composition de fonction racine carrée.

Trouver l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de sept 𝑥 moins sept.

Nous avons ici une composition de fonction racine carrée. Si nous appelons 𝑔 de 𝑥 la fonction sous la racine carrée, alors 𝑔 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 moins sept, donc 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une composition de fonction racine carrée de la forme 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑔 de 𝑥 peut-être trouvé en trouvant l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑔 de 𝑥 est positif ou nul. Nous devons donc résoudre l’inégalité sept 𝑥 moins sept est supérieur ou égal à zéro.

Nous pouvons le faire en ajoutant d’abord sept de chaque côté, ce qui donne sept 𝑥 supérieur ou égal à sept. Et puis nous pouvons diviser chaque membre de l’inégalité par sept pour donner 𝑥 supérieur ou égal à un. Nous pouvons exprimer ceci en notation d’intervalle comme l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de un à l’∞.

Prenons maintenant un exemple dans lequel nous allons identifier la courbe représentative d’une composition de fonction racine carrée en considérant à la fois son ensemble de définition et son ensemble image.

Laquelle des courbes représentatives suivantes est celle de 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de un moins deux 𝑥 ?

Nous allons aborder ce problème en considérant l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥. Il s’agit d’une composition de fonction racine carrée car nous pouvons la considérer comme 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑔 de 𝑥, où 𝑔 de 𝑥 est la fonction un moins deux 𝑥. Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une composition de fonction racine carrée de cette forme est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑔 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro.

On peut donc trouver l’ensemble de définition de cette fonction en résolvant l’inégalité un moins deux 𝑥 supérieur ou égal à zéro. En soustrayant un de chaque membre on obtient moins deux 𝑥 supérieur ou égal à moins un. Et puis nous divisons les deux côtés par moins deux, en nous rappelant que lorsque nous divisons une inégalité par une valeur négative, nous devons inverser l’inégalité. Nous avons donc 𝑥 inférieur ou égal à moins un sur moins deux, ce qui vaut un sur deux ou un demi. Nous avons donc constaté que l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des valeurs de moins l’∞ à un demi.

Maintenant, rappelons que, sur une courbe représentative d’une fonction, l’ensemble de définition correspond à la partie de l’axe horizontal où la courbe se trouve. Compte tenu des cinq courbes représentatives données, nous pouvons voir que cela exclut les options (A), (C) et (E) puisque ces courbes sont définies pour des valeurs de 𝑥 qui ne sont pas dans l’intervalle de moins l’∞ à un demi, alors que dans les options (B) et (D) les courbes ne sont définies que sur l’intervalle correct.

Considérons maintenant l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥. Rappelons que l’ensemble image de la fonction racine carrée est l’ensemble de tous les nombres réels positifs ou nuls, que nous pouvons exprimer en notation d’intervalle comme l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞. Comme l’ensemble image de la fonction 𝑔 de 𝑥 sous la racine carrée est tous les nombres réels, la racine carrée de 𝑔 de 𝑥 a le même intervalle que la racine carrée de 𝑥. Par conséquent, l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥 est constitué de tous les nombres réels positif ou nuls.

N’oubliez pas que, sur la courbe représentative d’une fonction, son ensemble image correspond à la partie de l’axe vertical où se trouve la courbe. Dans la courbe représentative (B), nous pouvons voir que la fonction est partout sous l’axe des 𝑥. Et donc l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble de tous les nombres réels négatifs et zéro. Cela exclut donc la courbe représentative (B). Dans la courbe représentative (D), cependant, l’ensemble image est en effet l’ensemble de tous les nombres réels positifs ou nuls, car la courbe représentative est au-dessus et sur l’axe des 𝑥. Notons également que cette courbe représentative a bien la forme correcte d’une fonction racine carrée. Et comme elle a également le bon ensemble de définition et l’ensemble image pour cette fonction racine carrée, nous pouvons être convaincus que la courbe représentative (D) est la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de un moins deux 𝑥.

Dans les exemples que nous avons considérés jusqu’à présent, nous avons trouvé l’ensemble de définition et l’ensemble image des compositions de fonctions racine carrée où l’expression à l’intérieur de la racine carrée est affine. Dans l’exemple suivant, nous trouverons l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une composition de fonction racine carrée où l’expression à l’intérieur de la racine carrée contient la fonction valeur absolue.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de quatre moins valeur absolue de 𝑥 moins cinq. Partie un, trouvez l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥, et partie deux, trouvez l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥.

Dans ce problème, nous avons une composition de fonction racine carrée de la forme 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une composition de fonction racine carrée est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑔 de 𝑥 est positif ou nul. Pour cette fonction, cela donne l’inégalité quatre moins valeur absolue de 𝑥 moins cinq supérieur ou égal à zéro.

Pour résoudre cette inégalité, nous devons d’abord isoler la fonction valeur absolue. Nous pouvons soustraire quatre de chaque membre de l’inéquation, puis multiplier ou diviser chaque côté de l’inéquation par moins un, en nous rappelant que lorsque nous le faisons, nous devons inverser l’inégalité. Nous avons donc valeur absolue de 𝑥 moins cinq inférieur ou égal à quatre. Si la valeur absolue de 𝑥 moins cinq est inférieure ou égale à quatre, cela signifie que la distance à zéro de l’expression 𝑥 moins cinq ne doit pas être supérieure à quatre. Ou en d’autres termes, 𝑥 moins cinq est supérieur ou égal à moins quatre et inférieur ou égal à quatre.

Pour résoudre cette double inégalité, nous ajoutons cinq de chaque côté, ce qui donne 𝑥 supérieur ou égal à un et inférieur ou égal à neuf. Nous avons donc trouvé que l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 est l’intervalle fermé allant de un à neuf.

Maintenant, considérons l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥. Comme l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de cette fonction, nous pouvons l’obtenir en considérant les valeurs les plus grandes et les plus petites que la fonction peut prendre. Comme notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction racine carrée, nous savons qu’elle ne peut avoir des valeurs de sortie négatives. Par conséquent, au minimum, 𝑓 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Zéro est la plus petite valeur de la fonction s’il est possible de produire zéro à partir d’une valeur de l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥.

Pour voir si zéro est en effet une valeur de sortie possible pour cette fonction, nous aurions besoin que l’expression sous la racine carrée soit égale à zéro car la racine carrée de zéro vaut zéro. Cela donnerait l’équation quatre moins valeur absolue de 𝑥 moins cinq égal zéro. La résolution de cette équation donne valeur absolue de 𝑥 moins cinq égal quatre. Cela signifie que 𝑥 moins cinq est égal à moins quatre ou quatre, conduisant à 𝑥 égal à un ou 𝑥 égal à neuf. Ces deux valeurs appartiennent à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥, ce qui signifie qu’il est possible d’atteindre zéro en utilisant une valeur de l’ensemble de définition.

Nous avons donc trouvé la plus petite valeur possible de 𝑓 de 𝑥. Maintenant considérons la plus grande valeur possible. La plus grande valeur de 𝑓 de 𝑥 correspond à la plus grande valeur de 𝑔 de 𝑥, qui à son tour correspond à la plus petite valeur possible de la valeur absolue de 𝑥 moins cinq. La fonction valeur absolue est toujours positive ou nulle, de sorte que sa plus petite valeur se produit quand elle est égale à zéro. Cela se produit lorsque 𝑥 est égal à cinq, qui est dans l’ensemble de définition de notre fonction.

Dans ce cas, 𝑔 de 𝑥 vaudra quatre moins zéro, soit quatre, et 𝑓 de 𝑥, rappelez-vous, est la racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Donc c’est la racine carrée de quatre, qui vaut deux. La plus grande valeur de 𝑓 de 𝑥 est donc deux. Comme 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue, son ensemble image sera tout ce qui se trouve entre sa plus petite valeur et sa plus grande valeur. Il s’agit donc de l’intervalle fermé allant de zéro à deux.

Nous avons donc résolu le problème. L’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’intervalle fermé un neuf. Et l’ensemble image est l’intervalle fermé zéro deux.

Considérons maintenant l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction racine cubique 𝑓 de 𝑥 égal racine cubique de 𝑥. La courbe représentative de la fonction racine cubique ressemble à ceci. Contrairement à la fonction racine carrée, nous remarquons que la fonction s’étend à la fois sur le côté gauche et le côté droit de l’axe des 𝑦, indiquant que la racine cubique peut prendre n’importe quel nombre réel comme une valeur d’entrée. Cela suggère que l’ensemble de définition de la fonction racine cubique est l’intervalle ouvert de moins l’∞ à plus l’∞.

Notons également qu’il existe des parties de la courbe à la fois au-dessus et en dessous de l’axe des 𝑥, indiquant que la fonction racine cubique génère des valeurs positives et négatives. Les valeurs de la fonction tendent vers plus et moins l’∞, lorsque 𝑥 tend vers plus et moins l’∞, respectivement. Cela indique que l’ensemble image de la fonction racine cubique est l’ensemble de tous les nombres réels. Nous avons donc vu que, contrairement à la fonction racine carrée, il n’y a en fait aucune restriction sur l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction racine cubique.

Voyons simplement pourquoi c’est le cas. S’il existe une valeur réelle 𝑦 telle que 𝑦 égal racine cubique de 𝑥, alors il s’ensuit que 𝑥 égal 𝑦 au cube. Mais nous savons que si nous prenons le cube de valeurs positives, nous obtenons une réponse positive, alors que si nous prenons le cube de valeurs négatives, nous obtenons une réponse négative. Donc cette fois, 𝑥 peut prendre des valeurs positives et négatives ainsi que zéro, ainsi que 𝑦, la valeur de la fonction.

Voyons maintenant un dernier exemple dans lequel nous déterminons l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction qui contient à la fois la racine carrée et la racine cubique.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égal à la racine cubique de 125 moins la racine carrée de deux 𝑥 plus trois. Partie (a) : Trouvez l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Partie (b) : Trouvez l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥.

Nous avons ici une fonction racine cubique puis une fonction racine carrée dans l’expression à l’intérieur de la racine cubique. Nous rappelons d’abord que l’ensemble de définition de la fonction racine cubique est l’ensemble de tous les nombres réels. Donc, comme il n’y a pas de restriction sur l’ensemble de définition de la fonction racine cubique, il suffit de considérer la restriction pour la fonction racine carrée.

L’ensemble de définition de la fonction racine carrée contient tous les nombres positifs ou nuls. Nous avons donc l’inégalité deux 𝑥 plus trois plus grand ou égal à zéro. La résolution de cette inéquation conduit à 𝑥 supérieur ou égal à moins trois sur deux. Nous constatons donc que l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 est l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de moins 1,5 à l’∞, car nous ne pouvons évaluer l’expression complète sous la racine cubique que lorsque 𝑥 se trouve dans cet intervalle.

Considérons maintenant l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons écrire la fonction comme 𝑓 de 𝑥 égal racine cubique de 125 moins 𝑎, où 𝑎 est égal à la racine carrée de deux 𝑥 plus trois. Nous savons que l’ensemble image d’une fonction racine carrée est l’ensemble de toutes les valeurs positives ou nulles. Et donc 𝑎 est supérieur ou égal à zéro. La plus grande valeur de 𝑓 de 𝑥 correspond à la plus petite valeur de 𝑎, qui est zéro. Ainsi, la plus grande valeur de 𝑓 de 𝑥 est la racine cubique de 125 moins zéro, qui est la racine cubique de 125, qui vaut cinq.

La plus petite valeur de 𝑓 de 𝑥 correspondra à la plus grande valeur de 𝑎. Ainsi, quand 𝑎 tend vers l’∞, 𝑓 de 𝑥 tendra vers la racine cubique de moins l’∞, qui elle-même tend vers moins l’∞. Comme 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue, son ensemble image inclut donc toutes les valeurs entre sa plus petite et sa plus grande valeur, qui est l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite allant de moins l’∞ à cinq.

Nous avons donc résolu le problème et trouvé l’ensemble de définition et l’ensemble image de cette fonction racine carrée assez compliquée, qui contient à la fois une racine carrée et une racine cubique. L’ensemble de définition est l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de moins 1,5 à l’∞. Et l’ensemble image est l’intervalle ouvert à droite, fermé à gauche, allant de moins l’∞ à cinq.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Premièrement, l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction racine carrée 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑥 sont tous deux l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞. Nous avons vu que l’ensemble de définition d’une fonction correspond à la partie de l’axe horizontal où la courbe existe, alors que l’ensemble image correspond à la partie de l’axe vertical où la courbe existe.

Pour une composition de fonction racine carrée 𝑓 de 𝑥 égal racine carrée de 𝑔 de 𝑥, l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑔 de 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Nous avons également vu que, pour la fonction racine cubique 𝑓 de 𝑥 égal racine cubique de 𝑥, l’ensemble de définition et l’ensemble image sont tous deux l’ensemble des nombres réels, que nous pouvons exprimer comme l’intervalle ouvert de moins l’∞ à l’∞. Pour les fonctions racine carrée ou cubique plus compliquées, l’ensemble image de la fonction dépendra des valeurs de son ensemble de définition.