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Fiche explicative de la leçon : Ensemble de définition et ensemble image d'une fonction racine 𝑛-ième Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction racine à partir de sa représentation graphique ou de sa définition.

En particulier, nous nous intéresserons au domaine de définition et à l’ensemble image des fonctions composées impliquant les racines carrées et les racines cubiques.

Commençons par rappeler les définitions de domaine de définition et d’ensemble image d’une fonction.

Théorème : Domaine de définition et ensemble image d’une fonction

Le domaine de définition d’une function d’expression 𝑓(𝑥) est l’ensemble de toutes les valeurs possibles 𝑥 de sorte que l’expression 𝑓(𝑥) est définie.

L’ensemble image d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est l’ensemble de toutes les valeurs possibles que l’expression 𝑓(𝑥) peut prendre, quand 𝑥 est un nombre quelconque appartenant au domaine de définition de la fonction.

Par exemple, considérons la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥. S’il y a un nombre réel 𝑦 satisfaisant 𝑦=𝑥 , il doit y avoir 𝑥=𝑦. Nous savons que le carré d’un nombre réel est positif;ainsi 𝑥 doit être positif. Cela nous indique que le domaine de définition de la fonction racine carrée est 𝑥0, qui est exprimé par l’intervalle comme [0;+[.

Le graphique de la fonction racine carrée est illustré ci-dessous.

Sur la figure ci-dessus, la fonction racine carrée est représentée graphiquement sur l’intervalle [0;2]. Bien que le graphique de la fonction semble devenir plus plat pour des valeurs plus grandes de 𝑥, elle continue de croitre sans limite. Nous pouvons observer cela en représentant graphiquement la fonction de la racine carrée sur un plus grand intervalle, [0;1000].

On peut voir que la valeur 𝑦 continue d’augmenter pour des valeurs plus grandes de 𝑥. En fait, pour tout grand nombre positif 𝑦, on sait que 𝑦=𝑦. De plus, nous savons que 0=0. Donc, l’ensemble image de la fonction racine carrée est [0;+[.

Théorème : Domaine de définition et ensemble image de la fonction racine carrée

Le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction racine carrée définie par 𝑓(𝑥)=𝑥 , est [0;+[.

Plus généralement, le domaine de définition d’une fonction composée avec la racine carrée 𝑔(𝑥) peut être identifié en déterminant les valeurs de 𝑥 satisfaisant 𝑔(𝑥)0.

Considérons quelques exemples où nous identifions le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions impliquant la racine carrée.

Exemple 1: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction racine carré

Considérons la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥.

  1. Déterminer le domaine de définition de 𝑓(𝑥).
  2. Détermine l’ensemble image de 𝑓(𝑥).

Réponse

Partie 1

Nous rappelons que la racine carrée ne peut pas prendre un nombre négatif comme argument. Donc, le domaine de définition de la fonction donnée est déterminé en cherchant les valeurs pour lesquelles l’expression à l’intérieur de la racine carrée est supérieure ou égale à zéro. En d’autres termes, 𝑥0.

Cela conduit à 𝑥0, qui est ];0] en notation par intervalles.

Le domaine de définition de 𝑓(𝑥) est ];0].

Partie 2

L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs images par la fonction. On sait que l’ensemble image de la fonction racine carrée 𝑥 est [0;+[. En d’autres termes, pour tout nombre 𝑦 dans l’intervalle [0;+[, on peut trouver un certain nombre 𝑥 qui satisfait 𝑦=𝑥. Cela signifie que le nombre 𝑥 satisfait 𝑓(𝑥)=(𝑥)=𝑥=𝑦.

Donc, tout nombre dans l’intervalle [0;+[ est une valeur de possible de 𝑓(𝑥)=𝑥.

L’ensemble image de 𝑓(𝑥) est [0;+[.

Considérons un autre exemple pour obtenir le domaine de définition d’une fonction composée avec la fonction racine carrée.

Exemple 2: Déterminer le domaine de définition d’une fonction racine

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=7𝑥7.

Réponse

Rappelons que le domaine de définition d’une fonction d’expression 𝑔(𝑥) est l’ensemble des valeurs 𝑥 telles que 𝑔(𝑥)0.

Dans cet exemple, 𝑔(𝑥)=7𝑥7. Donc, le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des valeurs 𝑥 telles que 7𝑥70.

Cette inégalité conduit à 𝑥1, qui s’écrit comme [1;+[ en notation par intervalles.

Le domaine de définition de 𝑓(𝑥)=7𝑥7 est [1;+[.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons le graphique correct d’une fonction composée avec la fonction racine carrée en considérant son domaine de définition et son ensemble image.

Exemple 3: Identifier la représentation graphique d’une fonction racine

Lequel des graphiques suivants représente la fonction définie par 𝑓(𝑥)=12𝑥?

Réponse

Utilisons le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=12𝑥 pour identifier sa représentation graphique. On sait que le domaine de définition de la fonction définie par 𝑔(𝑥) est l’ensemble des valeurs 𝑥 satisfaisants 𝑔(𝑥)0.

Dans cet exemple, 𝑔(𝑥)=12𝑥. Donc, le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des valeurs 𝑥 telles que 12𝑥0.

Cette inégalité conduit à 𝑥12 , qui est écrit comme ;12 en notation par intervalles. Donc, le domaine de définition de 𝑓(𝑥) est ;12.

Rappelons que l’ensemble image de la fonction racine carrée d’expression 𝑥 est [0;+[. Nous avons observé que 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)=12𝑥. Comme l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑔(𝑥)=12𝑥 est l’ensemble des nombres réels, la fonction d’expression 𝑔(𝑥) doit avoir la même ensemble image que la fonction d’expression 𝑥. Cela conduit à l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑓(𝑥), qui est [0;+[.

Identifions le graphique qui représente une fonction dont le domaine de définition est ;12 et dont l’ensemble image est [0;+[. Pour chaque graphique donné, le domaine de définition de la fonction correspondante au graphique est la partie de l’axe horizontal où le graphique existe. De plus, l’ensemble image de la fonction est la partie de l’axe vertical où le graphique existe. Nous obtenons l’ensemble de définition et l’ensemble image de chaque fonction en utilisant son graphique.

  1. Domaine de définition:12;+, ensemble image:[0;+[
  2. Domaine de définition:;12, ensemble image:];0[
  3. Domaine de définition:];+[, ensemble image:];+[
  4. Domaine de définition:;12, ensemble image:[0;+[
  5. Domaine de définition:12;+, ensemble image:[0;+[

Donc, la seule correspondance possible pour 𝑓(𝑥)=12𝑥 est D.

On se souvient que lorsqu’on travaille avec des fonctions quotient, il faut prendre soin de restreindre le domaine de définition pour s’assurer que le dénominateur de l’expression ne peut pas être égale à zéro. Montrons comment trouver le domaine de définition d’une fonction qui est un rapport entre deux fonctions composées de la racine carrée.

Exemple 4: Déterminer le domaine de définition des fonctions quotient

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+7𝑥5.

Réponse

Dans la fonction donnée, nous observons deux types de restrictions au domaine de définition.

  • Racine carrée:il y a deux expressions 𝑥+7 et 𝑥5. On rappelle que la fonction racine carrée est toujours positive.
  • Dénominateur:c’est l’expression 𝑥5. On rappelle que le dénominateur d’une fraction ne peut être égal à zéro.

Nous commençons par considérer les restrictions imposées par les racines carrées. Pour que 𝑥+7 soit bien défini, il faut 𝑥+70. Cela conduit à 𝑥7, qui est l’intervalle [7;+[.

Pour que 𝑥5 soit bien défini, il faut 𝑥50, ce qui conduit à 𝑥5, ou [5;+[.

Enfin, considérons le dénominateur. Étant donné que le dénominateur ne peut être égal à zéro, nous devons exclure le cas où 𝑥5=0. En passant à la racine carrée de chaque membre de cette équation cela donne 𝑥5=0 conduisant à 𝑥=5. Donc, nous devons imposer 𝑥5.

Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des valeurs 𝑥 satisfaisant aux trois conditions:[7;+[,[5;+[,𝑥5.

Pour voir comment ces trois restrictions interagissent, représentons ces restrictions sur un axe.

Sur le graphique ci-dessus, le surlignage violet représente l’intervalle [7;+[, le surlignage vert représente l’intervalle [5;+[, et le X rouge représente la restriction 𝑥5. On peut tracer un intervalle qui vérifie l’intersection de ces restrictions simultanément.

Donc, le domaine de définition de 𝑓(𝑥) est ]5;+[.

Exemple 5: Déterminer le domaine de définition des fonctions quotient

Détermine le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥19𝑥𝑥3.

Réponse

Dans la fonction donnée, nous observons deux types de restrictions au domaine.

  • Racine carrée:il y a les trois expressions 𝑥1 , 9𝑥 et 𝑥3. On rappelle que la fonction racine carrée est toujours positive.
  • Dénominateur:c’est l’expression 9𝑥𝑥3. On rappelle que le dénominateur ne peut être égal à zéro.

Nous commençons par considérer les restrictions imposées par les racines carrées. Pour que 𝑥1 soit bien défini, il faut 𝑥10. Cela conduit à 𝑥1, qui est l’intervalle [1;+[.

De même, les expressions 9𝑥 et 𝑥3 conduisent aux intervalles ];9] et [3;+[ respectivement.

Ensuite, considérons le dénominateur. Étant donné que le dénominateur ne peut être égal à zéro, nous devons exclure le cas où 9𝑥𝑥3=0.

On peut ajouter 𝑥3 à chaque membre de cette équation pour obtenir 9𝑥=𝑥3.

En passant à la racine carrée, cela conduit à 9𝑥=𝑥312=2𝑥𝑥=6.

Donc, nous devons imposer 𝑥6.

Nous avons trouvé quatre restrictions au domaine de définition pour 𝑓(𝑥):[1;+[,];9],[3;+[,𝑥6.

Étudions la façon dont ces restrictions interagissent.

Sur le graphique ci-dessus, le surlignage violet représente l’intervalle [1;+[, le surlignage vert représente l’intervalle ];9], le surlignage bleu représente [3;+[, et le X rouge représente la restriction 𝑥6. On peut dessiner l’ensemble satisfaisant aux quatre restrictions simultanément.

Donc, le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est [3;9]{6}.

Dans les exemples précédents, nous avons considéré le domaine de définition et l’ensemble des fonctions définie par une racine carrée d’expression affine, 𝑎𝑥+𝑏. Dans l’exemple suivant, nous allons trouver le domaine de définition et l’intervalle d’une fonction composée de la fonction racine carrée où l’expression à l’intérieur de la racine carrée comporte la fonction valeur absolue.

Exemple 6: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction composée de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue

Considérons la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=4|𝑥5|.

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥).
  2. Déterminer l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑓(𝑥).

Réponse

Partie 1

Déterminons l’ensemble de définition de la fonction donnée. On sait que le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑔(𝑥) est l’ensemble des valeurs 𝑥 satisfaisant 𝑔(𝑥)0.

Dans la fonction d’expression 𝑓(𝑥), l’expression 4|𝑥5| est sous la racine carrée. Donc, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 telles que 4|𝑥5|0.

Pour résoudre une inégalité comportant une valeur absolue, nous commençons par isoler la valeur absolue d’un côté de l’inéquation. En ajoutant |𝑥5| à chaque membre de l’inégalité, on obtient 4|𝑥5|.

Nous pouvons considérer cela dans deux situations distinctes. Premièrement, considérons le cas selon lequel 𝑥5 est positif. Étant donné que la valeur absolue ne change pas un nombre positif, l’inégalité est la même que 4𝑥5.

Deuxièmement, considérons le cas où 𝑥5 est négatif. Étant donné que la valeur absolue enlève le signe négatif, 𝑥5 doit être au moins 4 pour satisfaire l’inéquation 4|𝑥5|. En d’autres termes, 𝑥54. Ainsi, 4|𝑥5| est equivalent à 4𝑥54.

Ajouter 5 à chaque membre de l’inégalité conduit à 1𝑥9.

Le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est [1;9].

Partie 2

Cherchons l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑓(𝑥). L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs possibles pour la fonction. On peut obtenir l’ensemble image d’une fonction en considérant quelles sont les valeurs les plus grandes et les plus petites pour cette fonction. Comme toute valeur d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est une racine carrée d’un nombre, nous savons qu’elle ne peut pas être négatif. Ainsi, 0 serait la plus petite valeur possible pour la fonction si c’est possible. Pour cela, nous avons besoin que l’expression sous la racine carrée soit égale à zéro. Cela conduit à 4=|𝑥5|.

Ceci est possible lorsque 𝑥=1 ou 𝑥=9. Cela signifie que la plus petite valeur possible de 𝑓(𝑥) vaut 0.

Pour déterminer la plus grande valeur possible de 𝑓(𝑥), on note que |𝑥5| est un nombre positif. Comme l’expression à l’intérieur de la racine carrée est 4|𝑥5|, la fonction donnerait la plus grande valeur lorsque |𝑥5|=0, qui se produit lorsque 𝑥=5. Dans ce cas, la valeur donnée par la fonction est 4=2. Ainsi, la plus grande valeur possible de 𝑓(𝑥) vaut 2.

Pour finalement conclure que l’ensemble image de cette fonction est [0;2], il faut savoir que toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont possibles. Si 𝑦 est une valeur comprise entre 0 et 2, trouvons un nombre 𝑥 tel que 𝑓(𝑥)=𝑦. Nous avons 𝑦=4|𝑥5|.

En prenant le carré de chaque membre de l’équation, 𝑦=4|𝑥5|.

L’équation s’écrit alors, |𝑥5|=4𝑦.

Comme nous l’avons fait précédemment, nous pouvons séparer cette équation en deux équations tenant compte du signe de 𝑥5. Mais, comme il suffit de trouver une valeur 𝑥 possible, prenons simplement 𝑥5>0. Dans ce cas, nous avons 𝑥5=4𝑦, ce qui conduit à 𝑥=9𝑦. Vérifions si 𝑓9𝑦=𝑦. En remplaçant 𝑥=9𝑦 dans la fonction 𝑓(𝑥), on obtient 𝑓9𝑦=4|(9𝑦)5|=4|4𝑦|.

Comme 0𝑦2, on sait que 4𝑦>0, de sorte que nous pouvons ignorer la valeur absolue de ||4𝑦||. Ainsi:=4(4𝑦)=44+𝑦=𝑦.

Comme 𝑦>0 , 𝑦=𝑦. Ainsi, nous avons montré que, pour tout 0𝑦2, nous avons 𝑥=9𝑦 qui satisfait 𝑓(𝑥)=𝑦.

L’ensemble image de la fonction définie par 𝑓(𝑥) est [0;2].

Nous avons considéré de nombreux exemples sur le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions impliquant la racine carrée. À la différence de la racine carrée, la fonction racine cubique n’impose aucune restriction sur le domaine de définition ou l’ensemble image. Voici le graphique représentant la fonction racine cubique, 𝑥.

Contrairement à la fonction racine carrée, nous notons que la fonction racine cubique s’étend vers la gauche et la droite de l’axe 𝑦, indiquant que la racine cubique se calcule pour n’importe quel nombre réel. Nous notons également que les valeurs 𝑦 tendent vers l’infini positif ou négatif lorsque nous nous déplaçons vers la droite ou la gauche. Cela indique que l’ensemble image de la fonction racine cubique est constituée de tous les nombres réels.

Théorème : Domaine de définition et ensemble image de la fonction racine cubique

Le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction racine cubique d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥, sont l’ensemble de tous les nombres réels. Ceci est noté par ];+[ ou .

Dans l’exemple suivant, nous identifierons le domaine de définition d’une fonction racine cubique dont l’expression sous la racine cubique est affine, 𝑎𝑥+𝑏.

Exemple 7: Déterminer le domaine de définition d’une fonction racine cubique

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=4𝑥+3.

Réponse

Rappelons que le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction racine cubique d’expression 𝑥 est ];+[. En d’autres termes, la fonction racine cubique n’impose aucune restriction de domaine. Comme l’expression 4𝑥+3, sous la racine cubique n’a aucune restriction de domaine, il n’y a aucune restriction sur les valeurs 𝑥 pour cette fonction.

Donc, le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=4𝑥+3 est l’ensemble des nombres réels, .

Dans notre dernier exemple, nous allons trouver le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction qui implique à la fois les racines carrées et cubiques.

Exemple 8: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions impliquant des racines carrées et des racines cubiques

Considérons la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=1252𝑥+3.

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥).
  2. Déterminer l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑓(𝑥).

Réponse

Partie 1

Déterminons le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥). On rappelle les restrictions sur le domaine de définition des fonctions racines carrées et cubiques.

  • La fonction racine carrée d’expression, 𝑥, a pour domaine de définition [0;+[.
  • La fonction racine cubique d’expression 𝑥, n’a aucune restriction pour son domaine de définition. Le domaine de définition de la fonction racine cubique est constitué de tous les nombres réels, ou .

Comme la racine cubique n’impose aucune restriction sur ce domaine, il suffit de considérer la restriction induite par l’expression de la fonction racine carrée 2𝑥+3. On doit donc imposer à l’expression 2𝑥+3 d’être positive, 2𝑥+30.

Cette inégalité conduit à 𝑥1,5.

Le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est [1,5;+[.

Partie 2

Cherchons l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑓(𝑥). Tout d’abord, considérons l’expression 2𝑥+3. Rappelons que l’ensemble image de la fonction racine carrée d’expression 𝑥 est [0;+[. Notez que 2𝑥+3 peut être écrit comme 2𝑥+3=𝑔(2𝑥+3),𝑔(𝑥)=𝑥.où

Comme l’ensemble image de la fonction d’expression 2𝑥+3 est représenté par tous les nombres réels, l’ensemble image de la fonction d’expression 2𝑥+3 doit être le même que l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑔(𝑥). Ainsi, l’ensemble image de la fonction d’expression 2𝑥+3 est [0;+[. Cela nous dit que l’expression 2𝑥+3 affichera des valeurs positives. Alors, les valeurs possibles pour 𝑓(𝑥)=1252𝑥+3 peuvent être écrite comme 125𝑎,𝑎0.pour

La plus grande valeur possible est pour 𝑎=0, ce qui nous donne 125=5. Étant donné que la plus grande valeur donnée par la fonction est 5 et que nous savons que la fonction racine cubique, 𝑥, tend vers à gauche de l’axe 𝑦, nous aimerions conclure que l’ensemble image de la fonction est ];5]. Justifions rigoureusement cette conclusion.

Si 𝑦 est un certain nombre satisfaisant 𝑦5, nous devons montrer que 𝑦=125𝑎𝑎0.pour

On peut élever chaque membre de l’équation au cube pour obtenir 𝑦=125𝑎.

Cette équation conduit à 𝑎=125𝑦.

Comme 𝑦5, nous avons 𝑦125, ce qui signifie 𝑎0. Cela nous dit que 𝑦 est une valeur possible par la fonction tant que 𝑦5.

L’ensemble image de 𝑓(𝑥) est ];5].

Terminons par résumer quelques points importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction racine carrée 𝑓(𝑥)=𝑥 sont [0;+[.
    Plus généralement, le domaine de définition d’une fonction composée avec la fonction racine carrée d’expression 𝑔(𝑥) peut être identifié en déterminant les valeurs de 𝑥 satisfaisant 𝑔(𝑥)0.
  • Le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction racine cubique 𝑓(𝑥)=𝑥, sont l’ensemble de nombres réels. Ceci est noté comme ];+[ ou .
  • Si l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑔(𝑥) est représenté par tous les nombres réels, alors l’ensemble image de la fonction d’expression 𝑔(𝑥) ou 𝑔(𝑥) est respectivement [0;+[ ou .

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