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Calculez 𝑑 sur 𝑑𝑥 de moins cinq sur la racine cubique de 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de dériver moins cinq sur la racine cubique de 𝑥. Mais la première chose que nous allons faire est de la réécrire sous forme d’exposant. Pour nous aider à la réécrire, nous avons quelques lois sur les exposants que nous allons utiliser. La première est que si nous avons 𝑥 à la puissance un tiers est égal à la racine cubique de 𝑥. Nous avons aussi 𝑥 à la puissance moins 𝑎 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑎.
Ainsi, en utilisant ces lois, nous allons obtenir moins cinq 𝑥 à la puissance moins un tiers. Ceci parce que nous avons la racine cubique de 𝑥, qui, nous l’avons déjà dit, est égal à 𝑥 à la puissance un tiers. Cependant, comme nous avons cinq sur la racine cubique de 𝑥, alors notre exposant est négatif. Ce sera donc 𝑥 moins un tiers.
Maintenant, si nous dérivons ceci, nous allons tout d’abord multiplier l’exposant par le coefficient. Nous avons donc moins un tiers multiplié par moins cinq. Puis, pour la puissance de 𝑥, nous avons un tiers moins un parce que nous avons soustrait un de l’exposant. Il convient de rappeler notre prochaine démarche, à savoir que un est la même chose que trois sur trois ou trois tiers. Ainsi, cela va nous donner cinq tiers de 𝑥 à la puissance moins quatre tiers. Ceci parce que nous avions moins un tiers multiplié par moins cinq. Bien, un négatif multiplié par un négatif est un positif. Puis, nous avons un tiers moins trois tiers. Ainsi, cela nous donne moins quatre tiers.
Maintenant, nous allons réécrire sous la forme originale en utilisant les mêmes règles que celles que nous avions utilisées auparavant, mais dans le sens inverse. Cela va donner cinq sur trois multiplié par la racine cubique de 𝑥 à la puissance quatre. Cette écriture provient de la combinaison des règles que nous avions précédemment. Nous pouvions aussi utiliser une autre loi, celle-là dit que si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑏, alors cela est égal à la racine 𝑏-ième de 𝑥 à la puissance 𝑎. Soit nous pouvons l’écrire comme la racine 𝑏-ième de 𝑥, le tout, à la puissance 𝑎.
