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Fiche explicative de la leçon : Règle de dérivation d’une puissance Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la règle de dérivation d’une puissance et la dérivée d’une somme de fonctions pour déterminer les dérivées des fonctions polynômes et des fonctions puissances de forme générale.

Commençons par rappeler la définition de la dérivée.

Définition : Dérivée d’une fonction

La dérivée d’une fonction 𝑓 est définie par 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)lim aux points où la limite existe.

Utiliser une telle définition pour calculer des dérivées peut être assez fastidieux. Nous aimerions donc déterminer des règles permettant de simplifier la recherche des dérivées de fonctions. Dans cette fiche explicative, nous allons étudier quelques règles clés qui nous permettront de dériver tout un ensemble de fonctions.

Nous allons commencer par étudier un des types de fonctions les plus simples:les fonctions constantes.

Exemple 1: Dérivée d’une constante

Déterminez dd𝑦𝑥 sachant que 𝑦=60.

Réponse

On rappelle la définition de la dérivée pour une fonction générale 𝑦=𝑓(𝑥):ddlim𝑦𝑥=𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

En remplaçant par 𝑓(𝑥)=60, on a ddlimlim𝑦𝑥=60(60)=0=0.

Par conséquent, la dérivée de 𝑦=60 est nulle pour toutes les valeurs de 𝑥.

Cet exemple a démontré une règle générale des dérivées:la dérivée d’une constante est nulle.

Règle : Dérivée d’une constante

Pour une constante 𝑐, dd𝑥(𝑐)=0.

Nous pouvons maintenant étudier les fonctions de la forme 𝑓(𝑥)=𝑥.

Exemple 2: Règle de dérivation d’une puissance entière positive

  1. Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥 d’après la définition de la dérivée.
  2. Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥 d’après la définition de la dérivée.
  3. Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥 d’après la définition de la dérivée.
  4. En observant le modèle, quelle est la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥?

Réponse

Partie 1

On rappelle la définition de la dérivée pour une fonction quelconque 𝑦=𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).lim

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥, on a 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥=.limlim

Comme 0, on peut éliminer le facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(𝑥)=1=1.lim

Partie 2

En utilisant la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥 et la définition de la dérivée, on a 𝑓(𝑥)=(𝑥+)𝑥.lim

En développant les parenthèses du numérateur, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥+𝑥=2𝑥+.limlim

Comme 0, on peut éliminer le facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(𝑥)=(2𝑥+)=2𝑥.lim

Partie 3

En utilisant la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥 et la définition de la dérivée, on a 𝑓(𝑥)=(𝑥+)𝑥.lim

En développant les parenthèses du numérateur, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥+3𝑥+𝑥=3𝑥+3𝑥+.limlim

Comme 0, on peut éliminer le facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥+=3𝑥.lim

Partie 4

En combinant les réponses des trois premières parties de la question, on a dddddd𝑥(𝑥)=1,𝑥𝑥=2𝑥,𝑥𝑥=3𝑥.

On peut voir que lorsque l’on calcule la dérivée d’une puissance de 𝑥, la puissance diminue de 1. En outre, on trouve une constante multiplicative égale à la puissance d’origine. Par conséquent, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.

Cet exemple nous amène à une formule générale pour dériver des puissances de 𝑥, on l’appelle la règle de dérivation d’une puissance.

Règle : Règle de dérivation d’une puissance entière positive

Pour tout entier positif 𝑛, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.

Pour démontrer la règle de dérivation d’une puissance pour des entiers positifs, nous devons utiliser la formule du binôme de Newton. On rappelle que la formule du binôme de Newton permet de développer des binômes élevés à toute puissance entière positive:(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑛1𝑎𝑏+𝑛2𝑎𝑏++𝑛𝑛1𝑎𝑏+𝑏.

Soit 𝑓(𝑥)=𝑥;en utilisant la définition de la dérivée, on a 𝑓(𝑥)=(𝑥+)𝑥.lim

En utilisant la formule du binôme de Newton, en développant (𝑥+)on obtient 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥+𝑥++𝑥+𝑥=𝑥+𝑥++𝑥+.limlim

Comme 0, on peut éliminer le facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(𝑥)=𝑛1𝑥+𝑛2𝑥++𝑛𝑛1𝑥+.lim

En prenant la limite quand 0, le seul terme sans puissance positive de est 𝑛1𝑥. Par conséquent, 𝑓(𝑥)=𝑛1𝑥=𝑛𝑥.

Notez que si on définit 𝑛=0, la fonction est constante et la règle de dérivation d’une puissance nous dit que sa dérivée est nulle, ce qui est en accord avec la formule que nous avons établie sur les dérivées des fonctions constantes.

Bien que ce soit une règle puissante qui nous permette d’étudier les dérivées d’un ensemble de fonctions beaucoup plus grand, elle reste assez restrictive car nous ne pouvons pas l’utiliser pour dériver les fonctions constituées de plusieurs termes telles que les polynômes. Nous aimerions donc disposer de règles nous permettant de dériver des fonctions multipliées par des constantes ou des sommes de fonctions. Commençons par étudier la dérivée d’une fonction 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥), 𝑐 est une constante et 𝑔 est une fonction dérivable.

En utilisant la définition de la dérivée, on a 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+)𝑐𝑔(𝑥).lim

En factorisant par 𝑐, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+)𝑔(𝑥).lim

Sachant que 𝑔 est dérivable, on peut utiliser les propriétés des limites finies et l’exprimer ainsi 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+)𝑔(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥).lim

Règle: Dérivation de la multiplication par une constante

Pour une constante 𝑐, dddd𝑥(𝑐𝑓(𝑥))=𝑐𝑥𝑓(𝑥).

Nous allons maintenant étudier la dérivée d’une fonction définie comme la somme de deux fonctions dérivables. En utilisant la définition de la dérivée, on a 𝐹(𝑥)=𝐹(𝑥+)𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥+)+𝑔(𝑥+)(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥+)𝑔(𝑥).limlimlim

Comme 𝑓 et 𝑔 sont dérivables, on a 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥+)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).limlim

En associant cette règle à celle de la dérivation de la multiplication par une constante, on peut voir que dddd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑥(𝑓(𝑥)+(1)𝑔(𝑥)).

En utilisant la règle de dérivation d’une somme, on a dddddd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)+𝑥(1)𝑔(𝑥).

On peut maintenant utiliser la règle de dérivation de la multiplication par une constante pour obtenir dddddddddd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)+(1)𝑥𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)𝑥𝑔(𝑥).

Nous résumons ces résultats ci-dessous.

Règle : Règle de dérivation d’une somme et d’une différence

Pour deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔, dddddd𝑥(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)±𝑥𝑔(𝑥).

Nous avons maintenant les outils nécessaires pour pouvoir dériver des fonctions polynomiales.

Exemple 3: Dérivées de polynômes

Sachant que 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑚𝑥+1, déterminez 𝑚 si 𝑓(3)=1.

Réponse

Comme nous connaissons la valeur de la dérivée en un certain point, nous devrions commencer par déterminer une expression de la dérivée. En utilisant la règle de dérivation d’une somme et d’une différence, on a 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥+𝑥(𝑚𝑥)+𝑥(1).dddddd

On utilise maintenant la règle de dérivation de la multiplication par une constante pour obtenir 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥+𝑚𝑥(𝑥)+𝑥(1).dddddd

On applique ensuite la règle de dérivation d’une puissance, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥, à chaque terme:𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑚.

Comme 𝑓(3)=1, on a 1=2(3)+𝑚=6+𝑚.

Par conséquent, 𝑚=7.

Cet exemple a permis de montrer comment appliquer avec précision les règles de dérivation d’une somme, d’une différence et de la multiplication par une constante. Il n’est généralement pas nécessaire de fournir tous les détails de l’application de ces règles lorsque l’on dérive des fonctions. Dans les prochains exemples, nous n’allons pas donner le même niveau de détail quand nous appliquerons ces règles.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier si la formule de la dérivée d’une puissance se généralise pour inclure des puissances négatives.

Exemple 4: Dériver des puissances négatives

Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥.

Réponse

En utilisant la définition de la dérivée 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)lim avec 𝑓(𝑥)=𝑥, on a 𝑓(𝑥)=11𝑥+1𝑥.lim

On peut l’exprimer sous la forme d’une seule fraction comme suit:𝑓(𝑥)=1𝑥(𝑥+)𝑥(𝑥+)=1𝑥+𝑥.limlim

Comme 0, on peut l’éliminer au numérateur et au dénominateur:𝑓(𝑥)=1𝑥+𝑥.lim

En utilisant les propriétés des limites finies, on a 𝑓(𝑥)=1𝑥+𝑥=1𝑥+𝑥.limlim

En prenant la limite quand 0, on obtient 𝑓(𝑥)=1𝑥.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu que dd𝑥𝑥=1𝑥.

Cela peut aussi s’écrire dd𝑥𝑥=(1)𝑥 qui est de la même forme que la règle de dérivation d’une puissance si on définit 𝑛=1. Cela n’est pas une coïncidence et la règle de dérivation d’une puissance se généralise en fait à tous les entiers.

Règle : Règle de dérivation d’une puissance entière

Pour tout entier 𝑛, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.

Nous n’allons pas démontrer cette version de la règle de dérivation d’une puissance pour le moment. Elle est cependant facile à démontrer une fois que l’on connaît la règle de dérivation d’un quotient. Dans l’exemple suivant, nous allons vérifier si la règle de dérivation d’une puissance se généralise pour inclure des exposants rationnels.

Exemple 5: Dériver des puissances rationnelles

Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥.

Réponse

En utilisant la définition de la dérivée 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)lim avec 𝑓(𝑥)=𝑥, on a 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥.lim

Comme cette limite vaut 00, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur, ce qui permet de transformer cette fraction en une forme dont on peut évaluer la limite. Par conséquent, 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥×𝑥++𝑥𝑥++𝑥=𝑥+𝑥𝑥++𝑥=𝑥++𝑥.limlimlim

Comme 0, on peut l’éliminer au numérateur et au dénominateur:𝑓(𝑥)=1𝑥++𝑥.lim

On peut maintenant appliquer les propriétés des limites finies pour obtenir 𝑓(𝑥)=1𝑥++𝑥=1𝑥++𝑥.limlim

Comme lim𝑥+=𝑥, on obtient 𝑓(𝑥)=12𝑥.

L’exemple précédent a montré que dd𝑥𝑥=12𝑥.

On peut réécrire cela en utilisant une notation en exposant comme dd𝑥𝑥=12𝑥, qui est exactement la règle que l’on aurait obtenue si on avait défini 𝑛=12 dans la règle de dérivation d’une puissance. Ce n’est encore une fois pas une coïncidence. En fait, non seulement la règle de dérivation d’une puissance se généralise à des puissances rationnelles, mais elle se généralise également à toute puissance réelle.

Règle : Règle générale de dérivation d’une puissance

Pour tout nombre réel 𝑟, dd𝑥(𝑥)=𝑟𝑥.

Nous n’allons pas démontrer la forme générale de la règle de dérivation d’une puissance ici. Elle est cependant facile à démontrer une fois que l’on connaît la technique de dérivation à l’aide du logarithme.

Dans les deux derniers exemples, nous allons appliquer les règles de dérivation d’une puissance, d’une somme, d’une différence et de la multiplication par une constante pour trouver des dérivées de fonctions plus générales.

Exemple 6: Utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour dériver

Sachant que 𝑦=151𝑥+13𝑥, déterminez 𝑦.

Réponse

En utilisant les propriétés des dérivées, on peut dériver chaque terme de manière indépendante:𝑦=𝑥(15)𝑥1𝑥+13𝑥𝑥.dddddd

On peut maintenant appliquer la règle de dérivation d’une puissance, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥, à chaque terme:𝑦=0(6)𝑥+13(20)𝑥=6𝑥+203𝑥.

Exemple 7: Utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour dériver

Sachant que 𝑦=3𝑥+4𝑥+𝑥2𝑥, déterminez 𝑦.

Réponse

Avant d’essayer de dériver cette fonction, nous allons simplifier son expression. Comme le dénominateur est composé d’un seul terme, on peut utiliser les propriétés des puissances pour simplifier l’expression:𝑦=3𝑥𝑥+4𝑥𝑥+𝑥𝑥2𝑥=3𝑥+4𝑥+𝑥2𝑥.

On peut maintenant utiliser la règle de dérivation d’une puissance, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥, pour dériver chaque terme:𝑦=3112𝑥+472𝑥+32𝑥212𝑥=332𝑥+14𝑥+32𝑥+𝑥.

Terminons par récapituler quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La règle de dérivation d’une puissance nous dit que pour tout nombre réel 𝑟, dd𝑥(𝑥)=𝑟𝑥.
  • La règle de dérivation d’une somme et d’une différence nous dit que pour deux fonctions dérivables 𝑓 et 𝑔, dddddd𝑥(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)±𝑥𝑔(𝑥).
  • La règle de dérivation de la multiplication par une constante nous dit que pour une constante 𝑐, dddd𝑥(𝑐𝑓(𝑥))=𝑐𝑥𝑓(𝑥).
  • En utilisant ces règles de dérivation, il est possible de déterminer les dérivées d’un grand nombre de fonctions.

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