Fiche explicative de la leçon: Règle de dérivation d’une puissance Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la règle de dérivation d’une puissance et la dérivée d’une somme de fonctions pour déterminer les dérivées des fonctions polynômes et des fonctions puissances de forme générale.

Commençons par rappeler la définition de la dérivée.

Utiliser une telle définition pour calculer des dérivées peut être assez fastidieux. Nous aimerions donc déterminer des règles permettant de simplifier la recherche des dérivées de fonctions. Dans cette fiche explicative, nous allons étudier quelques règles clés qui nous permettront de dériver tout un ensemble de fonctions.

Nous allons commencer par étudier un des types de fonctions les plus simples : les fonctions constantes.

Cet exemple a démontré une règle générale des dérivées : la dérivée d’une constante est nulle.

Nous pouvons maintenant étudier les fonctions de la forme .

Cet exemple nous amène à une formule générale pour dériver des puissances de , on l’appelle la règle de dérivation d’une puissance.

Pour démontrer la règle de dérivation d’une puissance pour des entiers positifs, nous devons utiliser la formule du binôme de Newton. On rappelle que la formule du binôme de Newton permet de développer des binômes élevés à toute puissance entière positive : 

Soit  ; en utilisant la définition de la dérivée, on a

En utilisant la formule du binôme de Newton, en développant on obtient

Comme , on peut éliminer le facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir

En prenant la limite quand , le seul terme sans puissance positive de est . Par conséquent,

Notez que si on définit , la fonction est constante et la règle de dérivation d’une puissance nous dit que sa dérivée est nulle, ce qui est en accord avec la formule que nous avons établie sur les dérivées des fonctions constantes.

Bien que ce soit une règle puissante qui nous permette d’étudier les dérivées d’un ensemble de fonctions beaucoup plus grand, elle reste assez restrictive car nous ne pouvons pas l’utiliser pour dériver les fonctions constituées de plusieurs termes telles que les polynômes. Nous aimerions donc disposer de règles nous permettant de dériver des fonctions multipliées par des constantes ou des sommes de fonctions. Commençons par étudier la dérivée d’une fonction , où est une constante et est une fonction dérivable.

En utilisant la définition de la dérivée, on a

En factorisant par , on obtient

Sachant que est dérivable, on peut utiliser les propriétés des limites finies et l’exprimer ainsi

Nous allons maintenant étudier la dérivée d’une fonction définie comme la somme de deux fonctions dérivables. En utilisant la définition de la dérivée, on a

Comme et sont dérivables, on a

En associant cette règle à celle de la dérivation de la multiplication par une constante, on peut voir que

En utilisant la règle de dérivation d’une somme, on a

On peut maintenant utiliser la règle de dérivation de la multiplication par une constante pour obtenir

Nous résumons ces résultats ci-dessous.

Nous avons maintenant les outils nécessaires pour pouvoir dériver des fonctions polynomiales.

Cet exemple a permis de montrer comment appliquer avec précision les règles de dérivation d’une somme, d’une différence et de la multiplication par une constante. Il n’est généralement pas nécessaire de fournir tous les détails de l’application de ces règles lorsque l’on dérive des fonctions. Dans les prochains exemples, nous n’allons pas donner le même niveau de détail quand nous appliquerons ces règles.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier si la formule de la dérivée d’une puissance se généralise pour inclure des puissances négatives.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu que

Cela peut aussi s’écrire qui est de la même forme que la règle de dérivation d’une puissance si on définit . Cela n’est pas une coïncidence et la règle de dérivation d’une puissance se généralise en fait à tous les entiers.

Nous n’allons pas démontrer cette version de la règle de dérivation d’une puissance pour le moment. Elle est cependant facile à démontrer une fois que l’on connaît la règle de dérivation d’un quotient. Dans l’exemple suivant, nous allons vérifier si la règle de dérivation d’une puissance se généralise pour inclure des exposants rationnels.

L’exemple précédent a montré que

On peut réécrire cela en utilisant une notation en exposant comme qui est exactement la règle que l’on aurait obtenue si on avait défini dans la règle de dérivation d’une puissance. Ce n’est encore une fois pas une coïncidence. En fait, non seulement la règle de dérivation d’une puissance se généralise à des puissances rationnelles, mais elle se généralise également à toute puissance réelle.

Nous n’allons pas démontrer la forme générale de la règle de dérivation d’une puissance ici. Elle est cependant facile à démontrer une fois que l’on connaît la technique de dérivation à l’aide du logarithme.

Dans les deux derniers exemples, nous allons appliquer les règles de dérivation d’une puissance, d’une somme, d’une différence et de la multiplication par une constante pour trouver des dérivées de fonctions plus générales.

Terminons par récapituler quelques concepts importants de cette fiche explicative.