Vidéo : Règle de dérivation des puissances

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la règle de dérivation des puissances et la dérivée d’une somme de fonctions pour déterminer les dérivées de polynômes et des fonctions de puissances générales.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons présenter et apprendre à utiliser la règle de dérivation des puissances. Cela nous permettra de dériver les fonctions de puissance avec des exposants positifs, négatifs et fractionnaires. Nous discuterons également des règles de recherche de la dérivée d’une somme ou d’une différence de termes, ce qui nous permettra de déterminer les dérivées de fonctions polynomiales avec des exposants réels. Nous appliquerons ensuite ces règles à une série d’exemples.

Commençons par rappeler la forme ou la définition de la dérivée d’une fonction. Pour la fonction 𝑓 de 𝑥, sa dérivée, désignée comme 𝑓 prime de 𝑥, est donnée par la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ aux points où cette limite existe. D’où vient cette définition ? Eh bien, nous allons examiner la courbe d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 dont nous voulons déterminer la dérivée en un point avec la coordonnée 𝑥 générale 𝑥. Si nous prenons un autre point à une courte distance avec une coordonnée 𝑥 égale à 𝑥 plus ℎ, nous pouvons esquisser une corde reliant ces deux points.

La pente de cette corde va donner une approximation de la pente de la courbe, et donc la dérivée première de la courbe, au point avec la coordonnée 𝑥 égale à 𝑥. Nous pouvons esquisser un triangle rectangle au-dessous de cette corde, puis déterminer une expression pour sa pente en utilisant variation de 𝑦 sur variation de 𝑥. La variation de 𝑦 sera la fonction évaluée à 𝑥 plus ℎ moins la fonction évaluée à 𝑥. C’est 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥. Et la variation horizontale sera 𝑥 plus ℎ moins 𝑥. Bien sûr, les 𝑥 au dénominateur s’éliminent. Et nous sommes juste à gauche avec 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Rappelez-vous cependant que c’est la pente de cette petite corde, pas la pente de la courbe elle-même. Bien que si ℎ soit suffisamment petit, cela donnera une bonne approximation.

Ce que nous faisons alors, c’est que nous considérons une suite de cordes de plus en plus courtes. Nous réduisons donc la valeur de ℎ pour que ces deux points se rapprochent. Comme ℎ tend vers zéro, cette séquence de cordes aura tendance à la tangente à la courbe de 𝑓 au point 𝑥. La pente de la tangente puis — qui, rappelons, est la pente de la courbe et sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥 est la limite lorsque ℎ tend vers zéro de cette quantité, 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. C’est ce que nous avons écrit plus tôt dans notre définition formelle.

Donc c’est génial. Nous connaissons la définition formelle pour déterminer la dérivée d’une fonction. Et nous savons d’où ça vient. Mais, dans la pratique, l’utilisation de cette définition peut être un processus fastidieux et fastidieux. Il serait donc intéressant de pouvoir appliquer certaines règles générales. Mais d’abord, nous allons utiliser cette définition pour déterminer une expression pour la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré, qui est appelé premier principe de dérivation. Et ensuite, nous utiliserons ceci pour voir si nous pouvons généraliser.

Des principes d’abord, puis, 𝑓 prime de 𝑥, pour cette fonction 𝑓 de 𝑥, sera la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑥 plus ℎ tous moins au carré 𝑥 au carré sur ℎ. La distribution entre parenthèses donnera la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑥 au carré plus deux 𝑥ℎ plus ℎ carré moins 𝑥 carré le tout sur ℎ. Maintenant, le terme 𝑥 carré du numérateur s’annulera. Et puis, tous les autres termes ont un facteur commun de ℎ que nous pouvons simplifier par. Nous nous retrouvons avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro de deux 𝑥 plus ℎ. Et comme ℎ tend vers zéro, cette limite sera égale à deux 𝑥.

Donc, en utilisant le premier principe de dérivation, nous avons constaté que la dérivée de 𝑥 carré est deux 𝑥. Nous pourrions appliquer la même méthode pour déterminer les dérivées de 𝑥 au cube, 𝑥 à la puissance quatre, et ainsi de suite. Et si nous le faisions, nous déterminerions que la dérivée de 𝑥 au cube est trois 𝑥 au carré et la dérivée de 𝑥 à la puissance quatre est quatre 𝑥 au cube. Pouvez-vous repérer une suite logique dans ces résultats ? Eh bien, nous pouvons repérer plus facilement si nous réécrivons deux 𝑥 comme deux 𝑥 à la puissance un. Ce qu’il faut remarquer, c’est que dans la dérivée, l’exposant a été réduit de un à chaque fois. Et la fonction a été multipliée par l’exposant d’origine.

Ainsi, par exemple, dans le cas de 𝑥 au cube, l’exposant a été réduit de un, de trois à deux. Et nous avons multiplié par l’exposant original de trois. Cela nous donne notre première règle générale, appelée règle de dérivation des puissances. Et il nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous réduisons l’exposant de un et le multiplions par l’exposant d’origine.

Maintenant, il est important de noter que nous avons énoncé cette règle générale. Nous ne l’avons pas prouvé. Pour ce faire, au moins pour les valeurs entières positives de 𝑛, cela nécessiterait une application de la formule du binôme. Mais il est hors de portée de cette vidéo de regarder cela ici. Cette règle fonctionne réellement pour toute valeur réelle de 𝑛. Cela inclut donc les exposants positifs, négatifs et fractionnaires.

C’est donc bien si le coefficient de notre terme est égal à un. Mais qu’en est-il si nous avons un coefficient général 𝑎 ? Nous avons donc une constante multipliée par 𝑥 réel exposant 𝑛. Maintenant, nous pourrions revenir aux principes premiers, en utilisant peut-être l’exemple de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 carré. Si nous le faisions, et que vous puissiez mettre en pause la vidéo et consulter l’algèbre ici si vous le souhaitez, nous constaterions que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à huit 𝑥. Maintenant, comment ce lien avec ce que nous avons vu la dérivée de la fonction plus simple 𝑥 carré ? Eh bien, huit 𝑥 est égal à quatre multiplié par deux 𝑥. Et deux 𝑥 est la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑥 au carré.

Nous avons donc constaté qu’en multipliant par une constante, dans ce cas quatre, la dérivée est également multipliée par cette même constante. Nous pouvons donc généraliser notre règle de puissance un peu plus loin et dire que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 pour des constantes réelles 𝑎 et 𝑛 est égal à 𝑎 multiplié par 𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous pouvons également interpréter cela en termes pratiques. Si nous rappelons que multiplier par une constante réalise un étirement vertical avec un facteur d’échelle de cette constante. Donc, la courbe de 𝑦 est égal à quatre 𝑥 carré est un tronçon vertical de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 carré par un facteur d’échelle de quatre.

La pente des tangentes à ces courbes et donc leurs dérivées pour toute donnée 𝑥 sera quatre fois plus sur la courbe de 𝑦 est égal à quatre 𝑥 au carré par rapport à ce qu’il était sur la courbe de 𝑦 égal 𝑥 au carré. Et donc, nous avons un facteur supplémentaire de quatre dans notre dérivée ou plus généralement, un facteur supplémentaire de 𝑎.

Une autre application de la règle de puissance est la règle permettant de déterminer la dérivée d’une constante. Supposons que vous souhaitiez déterminer la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale sept. Eh bien, rappelez-vous que nous pouvons aussi penser à sept que sept 𝑥 à la puissance zéro, que 𝑥 à la puissance zéro est un. En appliquant la règle de puissance donnerait que la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est égal à sept multiplié par zéro 𝑥 à la puissance zéro un moins, ce qui est égal à zéro. Donc, la dérivée de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à sept et, en fait, la dérivée de toute constante 𝑐 par rapport à 𝑥 est simplement nulle.

Nous pouvons, à nouveau, voir l’interprétation pratique de ceci si nous considérons que la courbe de 𝑓 de 𝑥 est égal à sept. C’est une droite horizontale passant par sept sur l’axe vertical. Si nous rappelons qu’une dérivée donne le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑥, nous voyons que 𝑦 ne change pas, son taux de variation sera égal à zéro. De la même façon, si l’on devait considérer les courbes de 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 et 𝑦 égal 𝑔 de 𝑥 plus 𝑐 pour une fonction 𝑔 de 𝑥 et une constante 𝑐. Nous savons que la courbe de 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 plus 𝑐 est tout simplement une translation verticale de la courbe de 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 par 𝑐 unités.

En rappelant que la dérivée première d’une fonction donne sa pente en ce point, nous voyons que la pente des deux courbes est identique pour chaque valeur de 𝑥. L’un est positionné verticalement au-dessus de l’autre. Nous voyons donc à nouveau que l’ajout d’une constante à une fonction n’a aucune incidence sur sa dérivée. Et ainsi, la dérivée d’un terme constant est égal à zéro.

Enfin, nous considérons la dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions ou plus. En revenant aux principes premiers, nous pourrions prouver que la dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou la différence des dérivées de ces fonctions. La dérivée par rapport au 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus ou moins 𝑔 de 𝑥 est la dérivée par rapport au 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus ou moins la dérivée par rapport au 𝑥 de 𝑔 de 𝑥. Comme le polynôme n’est que la somme des termes de puissance, que nous savons maintenant dériver, nous pouvons déterminer la dérivée des fonctions polynomiales en combinant ces règles, sans qu’il soit nécessaire de revenir aux principes de base. Considérons maintenant quelques exemples de cela.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥, étant donné que 𝑦 est égal à 22𝑥 à la puissance quatre.

La fonction qu’on nous a demandé de dériver n’est qu’un terme de puissance générale. Nous pouvons donc répondre à cette question en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cela nous indique que les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la 𝑛 e puissance est 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant d’origine puis réduisons l’exposant de un. Dans cette question, la valeur de 𝑎, qui est le coefficient, est 22. Et la valeur de 𝑛, qui est l’exposant, est de quatre. Ainsi, l’application de la règle de puissance alors, nous avons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑎, qui est 22, multiplié par 𝑛, qui est quatre, multiplié par 𝑥 à la puissance quatre moins un.

En termes pratiques, rappelez-vous, nous avons multiplié l’exposant initial puis réduit l’exposant de un. Nous pouvons simplifier le coefficient ; 22 multiplié par quatre est 88. Et puis simplifier l’exposant ; quatre moins un est trois. Donc, en appliquant la règle de dérivation des puissances, nous avons constaté que si 𝑦 est égal à 22𝑥 à la puissance quatre, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 88𝑥 au cube.

Déterminer la dérivée première de la fonction 𝑦 égale deux 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 carré — trois 𝑥 plus 10𝑥.

Pour commencer, simplifions notre fonction 𝑦 en distribuant les parenthèses. Nous avons deux 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 carré, ce qui donne 18𝑥 au cube. Et puis deux 𝑥 multipliés par moins trois 𝑥, ce qui donne moins six 𝑥 au carré. Donc, notre fonction 𝑦 est égale à 18𝑥 au cube moins six 𝑥 carré plus 10𝑥. Nous voyons alors que notre fonction 𝑦 est simplement la somme des termes de puissance de 𝑥. C’est un polynôme. On peut donc déterminer sa dérivée en utilisant la règle de puissance. Ce qui nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 pour des constantes réelles 𝑎 et 𝑛 est égale à 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant puis réduisons l’exposant de un.

Nous devons également nous rappeler que pour déterminer la dérivée de la somme ou de la différence de fonctions, nous pouvons simplement prendre la somme ou la différence de leurs dérivées. Nous pouvons donc dériver chaque terme séparément et ensuite ajouter ou soustraire. Dérivons terme par terme alors. La dérivée de 18𝑥 au cube est 18 multiplié par trois 𝑥 au carré. Nous avons multiplié par l’exposant de trois, puis réduit l’exposant de un. La dérivée de six moins 𝑥 carré est moins six multiplié par deux 𝑥. Et pour déterminer la dérivée de 10𝑥, on peut déterminer utile de penser à ce que 10𝑥 à la puissance un donne. La dérivée est donc 10 multipliée par un multipliée par 𝑥 à la puissance zéro.

Rappelez-vous cependant que 𝑥 à la puissance zéro n’est que un. Ainsi, la dérivée de 10𝑥 est égal à 10. Simplifions les coefficients, et nous avons d𝑦 sur d𝑥 est égale à 54𝑥 carré moins 12𝑥 plus 10.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment déterminer la dérivée d’un terme de puissance avec un exposant négatif.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥, étant donné que 𝑦 égal à moins 43 sur 𝑥 à la puissance huit.

La première étape pour répondre à cette question est de rappeler qu’une inverse peut être réécrit en utilisant un exposant négatif. Un sur 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 à la puissance moins 𝑛. Donc, nous pouvons réécrire notre fonction 𝑦 comme 𝑦 égal à moins 43𝑥 à la puissance moins huit. Et maintenant, nous voyons qu’il consiste en un terme de puissance générale dont nous pouvons déterminer la dérivée en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cela nous indique que les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un.

Donc, en appliquant la règle de puissance, nous avons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 43 multiplié par moins huit 𝑥 à la puissance moins neuf. Nous devons faire très attention à l’exposant ici. Cette valeur de moins neuf provient de la réduction de l’exposant initial de moins huit de un. Rappelez-vous, nous en soustrayons un. Mais parce que c’est un exposant négatif, une erreur courante consiste à changer l’exposant en moins sept. Mais ce serait en fait ajouter un. Assurez-vous de faire attention à cela lors de la dérivation des termes avec des exposants négatifs.

On peut alors simplifier le coefficient. Le nombre moins 43 multiplié par le nombre moins huit donne 344. Enfin, réécrivez 𝑥 à la puissance moins neuf comme un inverse. Nous avons trouvé alors que si 𝑦 est égal à moins 43 sur 𝑥 à la puissance huit, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 344 sur 𝑥 à la puissance neuf.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment déterminer la dérivée d’une expression impliquant une racine carrée.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 si 𝑦 est égal à six racine 𝑥 sur sept.

Afin de répondre à cette question, nous devons réfléchir aux moyens alternatifs d’exprimer une racine carrée. Nous savons de nos lois des exposants que la 𝑛 e racine de 𝑥 peut être réécrite lorsque 𝑥 à la puissance l’un sur 𝑛. Bien que nous ne rédigeons pas le petit deux pour une racine carrée, qui est notre valeur de 𝑛. Nous pouvons donc réécrire la racine carrée de 𝑥 sous la forme 𝑥 à la puissance un demi. Notre expression 𝑦 peut donc être réécrite en six septièmes 𝑥 à la puissance un demi. Et nous voyons que nous avons un terme de puissance générale. Nous pouvons dériver cela en utilisant la règle de dérivation des puissances qui nous dit que pour les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un.

Alors on y va. On multiplie d’abord par l’exposant 𝑛 ; c’est un demi. Et puis, nous avons réduit l’exposant de un, donnant d𝑦 sur d𝑥 égal à six septièmes multiplié par un demi multiplié par 𝑥 à la puissance un demi moins un. Nous pouvons simplifier le coefficient en éliminant un facteur commun de deux. Et puis un demi moins un est égal à moins un demi. Nous nous rappelons ensuite une autre de nos lois sur les exposants, à savoir qu’un exposant négatif définit une inverse. Donc 𝑥 à la puissance moins un demi est un sur 𝑥 à la puissance un demi ou un sur la racine carrée de 𝑥. Nous avons alors constaté que d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois sur sept 𝑥.

Résumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Dans sa forme la plus simple, la règle de la puissance de la dérivation nous dit que pour un vrai exposant 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. De manière plus générale, si nous avons un coefficient de 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous avons également vu qu’une application à cela est que la dérivée par rapport à 𝑥 de toute constante 𝑐 n’est que de zéro.

Enfin, nous avons vu que la dérivée d’une somme ou d’une différence de termes ou de fonctions n’est que la somme ou la différence de leurs dérivées individuelles. Nous avons vu comment appliquer ces règles aux puissances de dérivation de 𝑥, y compris avec des exposants fractionnaires ou négatifs. Et nous avons vu comment dériver les polynômes sans revenir aux principes de base. À l’avenir, nous pourrons également appliquer ces règles pour dériver une classe de fonctions plus étendue.

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