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Déterminez l’ensemble des valeurs satisfaisant tangente de 𝑥 égale moins un sur la racine de trois, où 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à deux 𝜋.
Regardons l’équation que nous avons, tangente de 𝑥 est égal à moins un sur racine de trois. Une façon de résoudre cette équation est d’effectuer l’opération réciproque de tangente, c’est-à-dire prendre la tangente réciproque des deux côtés. Lorsque nous le faisons, le côté gauche devient 𝑥 et le côté droit devient la tangente réciproque de moins un sur racine de trois. Nous pourrions alors taper ceci dans une calculatrice. Cependant, la tangente réciproque de moins un sur racine de trois peut être calculée en utilisant nos valeurs trigonométriques spéciales. Rappelons-nous comment nous les calculons en utilisant un tableau. Les valeurs que nous devons connaître sont sinus, cosinus et tangente de 𝜋 sur six, 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur trois radians.
Nous remplissons les deux premières lignes en écrivant un, deux, trois, puis trois, deux, un. Nous ajoutons ensuite un dénominateur à chacun de ces nombres et ce dénominateur est deux partout. Nous prenons ensuite la racine carrée du numérateur. Bien sûr, la racine carrée de un est simplement un, donc nous ne l’écrivons pas pour un demi. Ce sont les valeurs spéciales que nous devons connaître pour sinus et cosinus de 𝜋 sur six, 𝜋 sur quatre et 𝜋 sur trois radians. Pour la tangente, ce n’est pas aussi direct. Pour trouver les valeurs de tangente associées, nous divisons la valeur du sinus par la valeur du cosinus correspondante. Puisque les dénominateurs sont les mêmes, cela ressemble à une division des numérateurs. Ainsi, tangente de 𝜋 sur six donne un sur racine de trois. Puis, tangente de 𝜋 sur quatre est égal à racine de deux sur deux divisé par racine de deux sur deux. Cela donne juste un. Ensuite, la tangente de 𝜋 sur trois est racine de trois sur deux divisé par un sur deux, ce qui donne racine de trois sur un ou simplement racine de trois.
Maintenant, nous allons comparer ces valeurs à notre équation. Nous avons la tangente réciproque de moins un sur racine de trois. Nous pouvons voir que tangente de 𝜋 sur six est un sur racine de trois. Cela signifie donc que la tangente réciproque de un sur racine carrée de trois est 𝜋 sur six. Or, cela ne correpond pas tout à fait à notre équation. Nous avons moins un sur racine de trois. Dans ce cas, que faire ensuite ? Bien, nous pouvons nous rappeler que la fonction tangente réciproque est une fonction impaire. Cela signifie que la tangente réciproque de moins 𝑥 est la même que moins la tangente réciproque de 𝑥. Ainsi, notre valeur de 𝑥 doit être égale à moins la tangente réciproque de un sur racine de trois. Nous venons de voir que la tangente réciproque de un sur racine de trois était égal à 𝜋 sur six, donc 𝑥 doit être égal à moins 𝜋 sur six.
Malheureusement, nous n’avons toujours pas terminé. On nous dit que 𝑥 prend des valeurs supérieures ou égales à zéro et strictement inférieures à deux 𝜋. Nous voyons que notre valeur de 𝑥 est actuellement en dehors de cet intervalle. Ensuite, nous rappelons que la fonction tangente est périodique ; c’est-à-dire qu’elle se répète, et ceci tous les 𝜋 radians. Nous pouvons donc trouver une deuxième valeur de 𝑥 en ajoutant 𝜋 à la valeur que nous avons. Moins 𝜋 sur six plus 𝜋 donne cinq 𝜋 sur six. Ceci est dans l’intervalle requis. Ensuite, nous pourrions remarquer que si nous ajoutons 𝜋 à nouveau, nous obtenons 11𝜋 sur six. Cette valeur est aussi dans l’intervalle. Cependant, si nous devions ajouter à nouveau 𝜋, notre valeur serait en dehors de l’intervalle.
Nous avons donc notre ensemble de valeurs. Écrivons-les simplement en utilisant la notation des ensembles. Ainsi, nous voyons que l’ensemble des valeurs est l’ensemble contenant cinq 𝜋 sur six et 11𝜋 sur six.
