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Vidéo de la leçon : Équations trigonométriques simples Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer des mesures d’angles étant donnés un intervalle et les valeurs d’une fonction.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la solution générale ou la solution sur un intervalle donné d’une équation trigonométrique. Une équation trigonométrique est une équation qui implique au moins une des fonctions trigonométriques suivantes : sinus, cosinus ou tangente, leurs inverses cosécante, sécante ou cotangente ou encore une de leurs réciproques. Les équations les plus simples peuvent parfois être résolues sans utiliser de calculatrice. Dans ce cas, nous devons utiliser nos connaissances sur les angles remarquables ainsi que sur la symétrie et la périodicité des courbes représentatives du sinus, cosinus et de la tangente.

Nous allons commencer cette vidéo par rappeler les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente pour plusieurs angles remarquables. Il est important de connaître par cœur les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de zéro, 30, 45, 60 et 90 degrés. Il est également important de connaître les mesures équivalentes à ces angles en radians. Bien que nous n’allons pas démontrer ces résultats dans cette vidéo, il est utile de savoir qu’ils peuvent être trouvés grâce à la trigonométrie des triangles rectangles et au théorème de Pythagore. Les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente de ces angles s’affichent à l’écran. En rappelant l’identité tan 𝜃 égale sin 𝜃 divisé par cos 𝜃, on peut calculer la tangente d’un de ces angles en divisant la valeur du sinus de l’angle par la valeur du cosinus de l’angle.

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment utiliser la symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus avec ce tableau de valeurs pour trouver toutes les solutions à une équation trigonométrique simple.

Quelle est la solution générale de sin 𝜃 égale à la racine carrée de deux sur deux?

Afin de trouver la solution générale d’une équation trigonométrique, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes peut nous aider. Pour tout angle 𝜃 exprimé en radians, les valeurs exactes de la fonction sinus sont les suivantes. On observe que sinus de 𝜋 sur quatre radians est égal à la racine carrée de deux sur deux. Cela signifie que 𝜃 égale à 𝜋 sur quatre est une solution particulière à l’équation sin 𝜃 égale à la racine carrée de deux sur deux. Pour trouver d’autres solutions, traçons la courbe représentative de 𝑦 égale à sin 𝜃 entre zéro et deux 𝜋. On peut trouver les solutions de sin 𝜃 égale à la racine carrée de deux sur deux en ajoutant la droite 𝑦 égale à la racine carrée de deux sur deux au graphique.

On remarque qu’elle coupe deux fois la courbe entre zéro et deux 𝜋. Le premier point d’intersection correspond à la solution 𝜋 sur quatre. Comme la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’axe x égale 𝜋 sur deux dans l’intervalle de zéro à 𝜋, on trouve la deuxième solution en soustrayant 𝜋 sur quatre à 𝜋. Ce qui fait trois 𝜋 sur quatre. Nous allons maintenant deux solutions de l’équation sin 𝜃 égale à la racine carrée de deux sur deux, qui sont 𝜃 égale 𝜋 sur quatre et 𝜃 égale trois 𝜋 sur quatre. En rappelant que la fonction sinus est périodique avec une période de 360 degrés ou de deux 𝜋 radians, on peut maintenant déterminer la solution générale. On a d’abord 𝜃 égale 𝜋 sur quatre plus deux 𝑛𝜋 – les autres solutions sont en effet trouvées en additionnant ou en soustrayant des multiples de deux 𝜋 ou de 360 degrés – puis 𝜃 égale trois 𝜋 sur quatre plus deux 𝑛𝜋, où 𝑛 est un entier.

Dans cette question, nous avons montré comment utiliser la symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus pour trouver toutes les solutions d’une équation. Une autre façon d’étendre le domaine de définition de la fonction sinus ce serait à l’aide du cercle trigonométrique. On rappelle que le cercle trigonométrique a pour centre l’origine et a un rayon d’une unité ; on peut donc calculer le sinus de n’importe quel angle 𝜃 en commençant au point un, zéro et en se déplaçant le long du cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à ce que l’angle entre l’axe des abscisses positives et ce point soit égal à 𝜃. Si ce point a les coordonnées 𝑥, 𝑦, alors sin 𝜃 est égal à 𝑦. La valeur de l’ordonnée est positive dans le premier et dans le deuxième quadrant. Par conséquent, la valeur de sin 𝜃 sera également positive dans ces quadrants.

Comme le cercle trigonométrique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on peut voir que sin 𝜃 est égal à sin de 180 degrés moins 𝜃. En continuant à se déplacer le long de la circonférence du cercle trigonométrique, on voit que sin 𝜃 est aussi égal à sin de 360 plus 𝜃 pour toute valeur de 𝜃. On peut alors généraliser ce résultat : l’ensemble de toutes les solutions de sin 𝜃 égales à 𝐶 sont 𝜃 égales à 𝜃 plus 360𝑛 et 𝜃 égale 180 moins 𝜃 plus 360𝑛, où 𝑛 est un entier. Notez que si 𝜃 est mesuré en radians, on remplace 360 degrés par deux 𝜋 et 180 degrés par 𝜋. Bien que nous puissions essayer de mémoriser ces formules, dans la pratique, ce serait beaucoup plus efficace de tracer la courbe représentative de la fonction ou le cercle trigonométrique.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser la symétrie de la courbe représentative de la fonction cosinus pour résoudre une équation trigonométrique.

Trouvez l’ensemble des valeurs vérifiant cos de 𝜃 moins 105 égale moins un demi, pour 𝜃 supérieur à zéro degré et inférieur à 360 degrés.

Afin de trouver les solutions d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes peut nous aider. On modifie d’abord l’argument de la fonction en définissant 𝛼 égale à 𝜃 moins 105 tel que cos 𝛼 égale à moins un demi et 𝜃 égale à 𝛼 plus 105. On doit alors modifier l’intervalle sur lequel les solutions sont définies en soustrayant 105 de chaque terme de l’inégalité : 𝛼 doit être supérieur à moins 105 degrés et inférieur à 255 degrés. Revenons vers le tableau des valeurs exactes de cos 𝛼, on voit que cos 𝛼 est égal à un demi lorsque 𝛼 est égale à 60 degrés. Il n’y a cependant pas de valeurs de 𝛼 dans le tableau telles que cos 𝛼 égale moins un demi.

En traçant la courbe représentative de la fonction cosinus ainsi que les droites 𝑦 égale à un demi et 𝑦 égale à moins un demi, on peut trouver la valeur de 𝛼 appropriée. Il apparaît sur la courbe que 𝛼 peut alors avoir deux valeurs comprises entre moins 105 et 255 degrés. Comme la courbe est symétrique par rapport au point d’abscisse 90 degrés, entre zéro et 180 degrés, la première solution est égale à 180 moins 60. Cela fait 120 degrés, ce qui est bien dans l’intervalle requis. En utilisant ensuite la symétrie de la courbe, on obtient 𝛼 égale à 180 plus 60. Cela est égal à 240 degrés, ce qui se trouve également dans l’intervalle requis. La troisième solution correspond à 120 plus 360 degrés. Cette mesure de 480 degrés se situe cependant en dehors de l’intervalle pour 𝛼. Par conséquent, les solutions de cos 𝛼 égale à moins un demi sont 𝛼 égale à 120 degrés et 𝛼 égale à 240 degrés.

Nous pouvons maintenant calculer les valeurs correspondantes de 𝜃. 120 plus 105 égale à 225, et 240 plus 105 égale à 345. L’ensemble des valeurs qui vérifient cos de 𝜃 moins 105 égale à moins un demi sont donc 225 degrés et 345 degrés. Une autre méthode pour trouver une solution particulière de cos 𝛼 égale à moins un demi consiste à utiliser la réciproque de la fonction cosinus avec 𝛼 égale au cos moins un de moins un demi, ce qui fait 120 degrés. On utilise ensuite les mêmes étapes que précédemment pour trouver les autres solutions. Nous aurions également pu la calculer en utilisant le cercle trigonométrique et cela nous aurait amené à l’identité générale : cos 𝜃 égale à cos de 360 degrés moins 𝜃.

En utilisant la symétrie du cercle trigonométrique et la périodicité de la fonction cosinus, on peut établir les formules de la solution générale des équations impliquant cette fonction. De la même manière que pour la fonction sinus, l’ensemble de toutes les solutions de cos 𝜃 égale à 𝐶 sont 𝜃 égale à 𝜃 indice 1 plus 360𝑛 et 𝜃 égale à 360 moins 𝜃 indice 1 plus 360𝑛 pour tout entier 𝑛. À nouveau, si 𝜃 est mesuré en radians, on remplace 360 degrés par deux 𝜋 radians.

On a vu dans le problème précédent comment résoudre une équation trigonométrique où l’argument était défini par une expression. Nous allons maintenant étudier un exemple similaire impliquant la fonction tangente.

Déterminez l’ensemble des valeurs vérifiant tan de deux 𝑥 plus 𝜋 sur cinq égale à moins un, pour 𝑥 supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋.

Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par modifier l’argument car cela nous permettra d’utiliser la symétrie de la fonction tangente. On définit 𝜃 égale à deux 𝑥 plus 𝜋 sur cinq. Cela signifie que nous devons résoudre tan 𝜃 égale à moins un pour 𝜃 supérieur ou égal à 𝜋 sur cinq et inférieur ou égal à 21𝜋 sur cinq en multipliant chaque terme de l’inégalité par deux, puis en additionnant 𝜋 sur cinq. On rappelle ensuite les valeurs exactes de tan 𝜃 pour 𝜃 mesuré en radians. On voit alors que tan de 𝜋 sur quatre est égale à un. On trace ensuite la courbe représentative de 𝑦 égale à tan 𝜃. À laquelle on additionne les droites horizontales 𝑦 égale à un et 𝑦 égale à moins un.

Dû à la symétrie centrale de la fonction tangente, la première solution se produit lorsque 𝜃 égale à 𝜋 moins 𝜋 sur quatre. Ce qui fait trois 𝜋 sur quatre. Comme la fonction est périodique avec une période de 𝜋 radians, on peut trouver les solutions restantes en additionnant des multiples de 𝜋 à cette valeur. Tout d’abord, trois 𝜋 sur quatre plus 𝜋 égale à sept 𝜋 sur quatre. Et on obtient ensuite les solutions 11𝜋 sur quatre et 15𝜋 sur quatre. Ce sont les quatre points d’intersection représentés sur le graphique. En faisant un peu de place et en réécrivant nos quatre solutions pour 𝜃, nous pouvons maintenant calculer les valeurs de 𝑥. Comme 𝜃 égale à deux 𝑥 plus 𝜋 sur cinq, deux 𝑥 égale à 𝜃 moins 𝜋 sur cinq. Et en divisant par deux, 𝑥 égale à 𝜃 sur deux moins 𝜋 sur 10.

Nous pouvons maintenant substituer chacune des valeurs de 𝜃 dans cette expression. Et on obtient quatre valeurs de 𝑥 égales à 11𝜋 sur 40, 31𝜋 sur 40, 51𝜋 sur 40 et 71𝜋 sur 40. Il s’agit de l’ensemble des valeurs qui vérifient l’équation tan de deux 𝑥 plus 𝜋 sur cinq égale à moins un pour 𝑥 compris entre zéro et deux 𝜋 inclus.

Comme nous l’avons fait pour les fonctions sinus et cosinus, nous pouvons maintenant en déduire une règle générale pour les solutions aux équations impliquant la fonction tangente. Lorsque 𝜃 est mesuré en degrés, les solutions sont 𝜃 égale à 𝜃 plus 180𝑛 où 𝑛 est un entier. Et si 𝜃 est mesuré en radians, elles sont 𝜃 égale 𝜃 plus 𝑛𝜋 où 𝑛 est à nouveau un entier.

Dans cette vidéo, nous avons uniquement étudié les fonctions trigonométriques standards sinus, cosinus et tangente. Bien que nous ne les avons pas abordé ici, il est important de comprendre que ce raisonnement s’applique également à leurs fonctions inverses : cosécante, sécante et cotangente.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette vidéo. On peut résoudre des équations trigonométriques simples en utilisant des tableaux de valeurs pour des angles remarquables ou les réciproques des fonctions trigonométriques. Pour faciliter la recherche de toutes les solutions à une équation dans un intervalle spécifié, on peut tracer la courbe représentative de la fonction trigonométrique appropriée ou utiliser le cercle trigonométrique. La symétrie et la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangente permettent de calculer d’autres solutions aux équations trigonométriques ou leurs solutions générales impliquant des multiples entiers de 360 degrés ou deux 𝜋 radians pour le sinus et le cosinus, et de 180 degrés ou 𝜋 radians pour la tangente.

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