Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver des mesures d’angle à partir d'intervalles donnés et de valeurs de fonction.
Une équation trigonométrique est une équation qui fait intervenir au moins une des fonctions suivantes : une fonction trigonométrique, telle que le sinus, cosinus ou la tangente, une fonction trigonométrique réciproque, telle que la cosécante, sécante ou cotangente, ou l’inverse de ces fonctions. Certains des exemples les plus simples de telles équations peuvent être résolus sans utiliser la calculatrice ; cependant, pour la majorité d’entre eux, il serait fastidieux d’essayer de se souvenir des valeurs spécifiques des fonctions trigonométriques. Dans ce cas, on utilise l’inverse des fonctions ainsi que les symétries et périodicités de leurs courbes afin de calculer des solutions supplémentaires.
Avant de montrer comment utiliser la symétrie de la courbe d’une fonction trigonométrique pour trouver toutes les solutions d'un intervalle donné, nous allons d’abord rappeler les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente pour un certain nombre d’angles particuliers.
On considère un triangle rectangle isocèle avec deux côtés de longueur 1 cm, comme représenté sur la figure.
En utilisant le théorème de Pythagore, on peut calculer que la longueur de l’hypoténuse vaut . Ensuite, en utilisant la convention trigonométrique pour étiqueter les côtés par rapport à l’angle du haut dans la figure, on peut calculer la valeur exacte de . 
En utilisant ce triangle isocèle et le triangle équilatéral ci-dessous, il faut savoir calculer les valeurs exactes suivantes pour le sinus, le cosinus et la tangente (comme indiqué dans le tableau).
Les valeurs exactes pour les valeurs données de sont les suivantes.
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | Indéfini |
Il est important de pouvoir retrouver ces valeurs exactes sans ressentir le besoin d’utiliser une calculatrice, et pour cette raison le lecteur est encouragé à prendre le temps de se familiariser avec ce tableau.
Dans le premier exemple, nous allons montrer comment utiliser la symétrie de la courbe de la fonction sinus ainsi que le tableau de valeurs exactes afin de trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique simple.
Exemple 1: Identifier la solution générale d'une équation trigonométrique
Quelle est la solution générale de ?
Réponse
Afin de trouver la solution générale d'une équation trigonométrique, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes peut être utile.
Pour un angle exprimé en radian, les valeurs exactes de la fonction sinus sont les suivantes.
| 0 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 |
On voit que , donc est une solution particulière de l’équation .
Pour trouver d’autres solutions, on trace la courbe de dans le graphique suivant.
Les solutions de sont trouvées en ajoutant la droite d'équation au graphique. Les valeurs de des points d’intersection de cette droite avec la courbe de la fonction sinus sont les solutions de l’équation que l'on cherche à résoudre.
Étant donné que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à , la deuxième solution dans l’intervalle est obtenue en soustrayant à :
On rappelle que la fonction sinus est périodique de période , donc on trouve de nouvelles solutions en ajoutant ou en soustrayant aux solutions particulières.
En d’autres termes, les solutions sont et , pour toute valeur entières .
Ce que l'on peut également écrire, en utilisant la notation des ensembles, comme et , où .
Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment interpréter la symétrie de la courbe de la fonction sinus afin de trouver toutes les solutions d’une équation. Un autre outil puissant qui peut être utilisé pour étendre le domaine de définition de la fonction sinus est le cercle unité. On rappelle qu’il s’agit d’un cercle centré en l’origine de rayon 1. Pour déterminer le sinus d'un angle quelconque à partir du cercle unité, on part du point de coordonnées et on se déplace le long de la circonférence du cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à ce que l’angle formé entre ce point, l’origine et l'axe des positifs soit égal à . Alors, si ce point a pour coordonnées , est égal à la valeur de .
On remarque que la valeur de la coordonnée est positive dans le premier et deuxième quadrant ; donc, la valeur de est également positive dans ces quadrants. Par ailleurs, étant donné que le cercle unité est symétrique par rapport à l'axe des , on voit que .
En continuant de se déplacer le long de la circonférence du cercle unité, on voit que pour toutes les valeurs de .
Ces résultats peuvent être généralisés comme suit.
Comment trouver les solutions d'équations simples contenant la fonction sinus
Si est une solution de l’équation , pour une constante , alors une deuxième solution est donnée par . Ainsi, l’ensemble de toutes les solutions de est
Si est exprimé en degrés, les solutions sont
Si l'on peut être tenté de mémoriser ces formules, en pratique il est beaucoup plus efficace d’esquisser le graphique de la fonction sinus ou du cercle unité pour s'aider à déduire l’ensemble des solutions d’une équation contenant la fonction sinus. Illustrons cela dans l'exemple suivant.
Exemple 2: Déterminer les solutions d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné
Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant , telles que .
Réponse
Pour résoudre cette équation trigonométrique simple, on commence par isoler la fonction sinus :
Il faut faire attention lors de la prochaine étape de calcul. On doit prendre les racines carrées positives et négatives de . Donc, on obtient une paire de solutions pour :
Notons que l'on peut aussi factoriser l’expression en puis résoudre l’équation et obtenir le même résultat.
Ensuite, pour résoudre la première équation, on rappelle les valeurs exactes de , où est exprimé en degrés, comme suit :
| 0 | 1 |
Ainsi, une solution de l’équation est . Cette valeur se situe en dehors de l’intervalle donné par l'énoncé, donc on considère la symétrie du cercle unité pour trouver d’autres solutions.
On voit que la seule solution dans l’intervalle donné est .
Maintenant, on résout la deuxième équation à nouveau en utilisant la symétrie du cercle unité. Puisque pour tout et que la valeur de est négative dans les 3e et 4e quadrants, on ajoute des triangles rectangles à la figure.
Donc, les deux solutions suivantes sont et . À ce stade, on peut être tenté de trouver d’autres solutions en ajoutant des multiples entiers de à ces solutions, mais cela donnerait des valeurs en dehors de l’intervalle demandé.
L’ensemble des valeurs satisfaisant , avec , est
Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment utiliser la symétrie du cercle unité et des informations sur les valeurs exactes pour résoudre des équations trigonométriques pour qui n’est pas un angle aigu. Remarquons que pour résoudre la deuxième équation , on aurait pu utiliser la fonction sinus inverse et une calculatrice pour trouver
Si on avait choisi cette méthode, on aurait alors dû considérer les régions du cercle unité où et appliquer les règles sur la symétrie et la périodicité comme d’habitude.
Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment utiliser la symétrie de la courbe de la fonction cosinus pour résoudre une équation trigonométrique.
Exemple 3: Résoudre une équation trigonométrique avec un angle translaté dans un intervalle donné
Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant , telles que .
Réponse
Afin de trouver les solutions d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes va nous servir.
On redéfinit d’abord l’argument de la fonction en posant tel que
L’intervalle sur lequel nos solutions sont valides est translaté de et devient alors . Ainsi, les valeurs exactes de , où est exprimé en degrés, sont les suivantes.
| 1 | 0 |
On peut voir que ; en revanche, il n’y a pas de valeurs de dans le tableau telle que . En traçant le graphique de la fonction cosinus et les droites et , on peut trouver la valeur de correspondante.
Le graphique présente une symétrie centrale sur l'intervalle autour du point de coordonnées , donc la première solution de l'équation est
En utilisant la symétrie axiale de la courbe, la solution suivante est
On pourrait croire que l'on obtient une autre solution telle que ; mais cette valeur se situe en dehors de l’intervalle .
Ainsi, les solutions de sont et .
Puisque l'on a posé , les solutions de sont
Donc, l’ensemble des solutions est
Notons qu’une technique alternative à la recherche de la solution particulière de est d’utiliser la fonction cosinus inverse de sorte que
À ce stade, les étapes restantes pour trouver les autres solutions sont les mêmes.
On rappelle que l'on peut également utiliser la symétrie du cercle unité pour obtenir le même résultat. De la même façon que la coordonnée du point d’intersection entre une droite inclinée par rapport à l'horizontale et le cercle unité indique la valeur de , la coordonnée du même point indique la valeur de .
Remarquant que la valeur de la coordonnée est positive dans les 1er et 4e quadrants, par symétrie du cercle unité, .
En utilisant la symétrie du cercle unité et la périodicité de la fonction cosinus, on peut donner la forme de la solution générale aux équations contenant cette fonction.
Comment résoudre des équations simples contenant la fonction cosinus
Si est solution de l’équation , où , une deuxième solution est donnée par . Et alors, l’ensemble de toutes les solutions de est
Si est exprimé en degrés, les solutions sont
Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment résoudre une équation trigonométrique où l’argument de la fonction trigonométrique a été transformé d’une certaine façon. Dans de tels cas, on commence par redéfinir l’argument et modifier l’intervalle sur lequel on résout, ce qui nous permet d’utiliser la symétrie des courbes trigonométriques habituelle, pour enfin résoudre les équations résultantes . C’est, en général, une voie plus raisonnable à prendre que d’essayer d’appliquer des transformations aux courbes des fonctions trigonométriques. Ceci est résumé ci-dessous.
Comment résoudre une équation trigonométrique simple contenant un argument transformé
- Redéfinir l’argument de la fonction trigonométrique (par exemple, poser ).
- Modifier l’intervalle auquel appartiennent les solutions utilisant le changement de variable (par exemple, entraîne ).
- Déterminer toutes les solutions de l’équation résultante sur ce nouvel intervalle.
- Convertir ces solutions dans la variable d’origine en utilisant le changement de variable (par exemple, ).
Nous allons maintenant montrer comment utiliser cette technique pour résoudre une équation contenant un angle triple.
Exemple 4: Résoudre une équation trigonométrique contenant un angle triple dans un intervalle donné
Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant , avec .
Réponse
Pour résoudre , on commence par redéfinir l’argument. Soit de sorte que , l’équation devient alors , avec . Pour simplifier cet intervalle, on multiplie par 3 pour obtenir .
Maintenant, on peut résoudre l’équation sur ce nouvel intervalle. Pour un angle donné en radian, les valeurs exactes de la fonction sinus sont les suivantes.
| 0 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 |
Ainsi, une solution de l’équation est . Afin de trouver d’autres solutions, on trace la courbe de sur l’intervalle , en se rappelant que la fonction sinus est périodique de période .
On peut voir que les solutions sont séparées de , donc nos solutions supplémentaires sont et .
Donc, l’ensemble des solutions de sur l’intervalle demandé est
Puisque , on peut trouver l’ensemble des solutions de en divisant chacune de ces valeurs par 3. L’ensemble des solutions est alors
Nous allons maintenant montrer comment appliquer ce processus pour résoudre des équations contenant la fonction tangente.
Exemple 5: Résoudre une équation trigonométrique contenant un angle double translaté dans un intervalle spécifique
Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant , avec .
Réponse
Pour résoudre cette équation, on commence par redéfinir l’argument afin d’utiliser la symétrie de la fonction tangente. Soit , alors pour .
Ensuite, on peut utiliser le tableau des valeurs exactes et la connaissance de la périodicité de la fonction tangente pour résoudre cette nouvelle équation.
On rappelle pour exprimé en radians, les valeurs exactes de sont les suivantes.
| 0 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | Indéfini |
On peut voir que , donc utilisons cette valeur pour déterminer les solutions , de . La courbe de est tracée sur l’intervalle ci-dessous.
On peut voir que la courbe de la fonction tangente admet la symétrie centrale , où . Ainsi, la première solution de est . De même, comme la fonction est périodique de période , les solutions restantes sont trouvées en additionnant des multiples de à cette valeur :
On a maintenant quatre solutions pour sur l’intervalle demandé. Puisque l'on a défini , on peut trouver la valeur de en posant dans chaque cas et en trouvant . Dans le cas de la première valeur de , cela donne
De la même manière, les valeurs restantes de sont et . Ainsi, l’ensemble des valeurs satisfaisant , avec , est
Dans l’exemple précédent, on a considéré la périodicité de la fonction tangente. Comme pour les fonctions sinus et cosinus, on peut citer les solutions générales des équations contenant cette fonction.
Comment résoudre des équations simples contenant la fonction tangente
Si est une solution de l’équation , pour une constante , l’ensemble des solutions de est
Si est exprimé en degrés, la solution est
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les fonctions trigonométriques habituellles : sinus, cosinus et tangente. Il est important de comprendre que le processus est valable pour les fonctions réciproques : cosécante, sécante et cotangente. Nous allons le démontrer dans l’exemple suivant.
Exemple 6: Déterminer la solution générale d'une équation trigonométrique réciproque
Déterminer la solution générale de l’équation .
Réponse
On rappelle que la fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus. En d’autres termes,
Donc, l’équation peut être réécrite comme
On sait que pour un angle exprimé en radians, les valeurs exactes de la fonction cosinus sont les suivantes.
| 0 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
On trouve que la valeur de est , mais il n’y a pas de valeur pour . Alors, nous allons tracer la courbe de pour en déduire les solutions pertinentes.
La courbe admet la symétrie centrale sur de centre , de sorte que la première solution de est
De même, la solution suivante est donnée par
Étant donné que la fonction cosinus est périodique de période , d’autres solutions sont obtenues en ajoutant des multiples entiers à l’une de ces solutions. Par exemple, on peut trouver une autre solution en soustrayant à :
En d’autres termes, la solution générale de est
Ou encore,
Dans cette fiche explicative, nous avons montré comment utiliser la symétrie et la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangente pour trouver toutes les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné ou sa solution générale. Nous allons maintenant récapituler les concepts clés.
Points clés
- On peut résoudre des équations trigonométriques simples en utilisant des tableaux de valeurs exactes ou des fonctions trigonométriques inverses.
- Pour s'aider à calculer toutes les solutions d’une équation donnée dans un intervalle donné, on peut tracer la courbe de la fonction trigonométrique en question ou utiliser le cercle unité.
- La symétrie et la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangentes nous permettent de calculer d’autres solutions des équations trigonométriques ou les solutions générales à l'aide des multiples entiers de ou pour le sinus et le cosinus et ou pour la tangente.
