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Fiche explicative de la leçon : Équations trigonométriques simples Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver des mesures d’angle à partir d'intervalles donnés et de valeurs de fonction.

Une équation trigonométrique est une équation qui fait intervenir au moins une des fonctions suivantes:une fonction trigonométrique, telle que le sinus, cosinus ou la tangente, une fonction trigonométrique réciproque, telle que la cosécante, sécante ou cotangente, ou l’inverse de ces fonctions. Certains des exemples les plus simples de telles équations peuvent être résolus sans utiliser la calculatrice;cependant, pour la majorité d’entre eux, il serait fastidieux d’essayer de se souvenir des valeurs spécifiques des fonctions trigonométriques. Dans ce cas, on utilise l’inverse des fonctions ainsi que les symétries et périodicités de leurs courbes afin de calculer des solutions supplémentaires.

Avant de montrer comment utiliser la symétrie de la courbe d’une fonction trigonométrique pour trouver toutes les solutions d'un intervalle donné, nous allons d’abord rappeler les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente pour un certain nombre d’angles particuliers.

On considère un triangle rectangle isocèle avec deux côtés de longueur 1 cm, comme représenté sur la figure.

En utilisant le théorème de Pythagore, on peut calculer que la longueur de l’hypoténuse vaut 1+1=2cm. Ensuite, en utilisant la convention trigonométrique pour étiqueter les côtés par rapport à l’angle du haut dans la figure, on peut calculer la valeur exacte de sin(45).

sinopposéhypoténusesin𝜃=45=12=22.

En utilisant ce triangle isocèle et le triangle équilatéral ci-dessous, il faut savoir calculer les valeurs exactes suivantes pour le sinus, le cosinus et la tangente (comme indiqué dans le tableau).

Les valeurs exactes pour les valeurs données de 𝜃 sont les suivantes.

𝜃030=𝜋645=𝜋460=𝜋390=𝜋2
sin𝜃01212=22321
cos𝜃13212=22120
tan𝜃013=3313Indéfini

Il est important de pouvoir retrouver ces valeurs exactes sans ressentir le besoin d’utiliser une calculatrice, et pour cette raison le lecteur est encouragé à prendre le temps de se familiariser avec ce tableau.

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment utiliser la symétrie de la courbe de la fonction sinus ainsi que le tableau de valeurs exactes afin de trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique simple.

Exemple 1: Identifier la solution générale d'une équation trigonométrique

Quelle est la solution générale de sin𝜃=22?

Réponse

Afin de trouver la solution générale d'une équation trigonométrique, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes peut être utile.

Pour un angle 𝜃 exprimé en radian, les valeurs exactes de la fonction sinus sont les suivantes.

𝜃0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
sin𝜃01222321

On voit que sin𝜋4=22, donc 𝜃=𝜋4 est une solution particulière de l’équation sin𝜃=22.

Pour trouver d’autres solutions, on trace la courbe de 𝑦=𝜃sin dans le graphique suivant.

Les solutions de sin𝜃=22 sont trouvées en ajoutant la droite d'équation 𝑦=22 au graphique. Les valeurs de 𝜃 des points d’intersection de cette droite avec la courbe de la fonction sinus sont les solutions de l’équation que l'on cherche à résoudre.

Étant donné que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à 𝜋2, la deuxième solution dans l’intervalle 0𝜃𝜋 est obtenue en soustrayant 𝜋4 à 𝜋:𝜋𝜋4=3𝜋4.

On rappelle que la fonction sinus est périodique de période 2𝜋radians, donc on trouve de nouvelles solutions en ajoutant ou en soustrayant 2𝜋radians aux solutions particulières.

En d’autres termes, les solutions sont 𝜋4+2𝑛𝜋 et 3𝜋4+2𝑛𝜋, pour toute valeur entières 𝑛.

Ce que l'on peut également écrire, en utilisant la notation des ensembles, comme 𝜋4+2𝑛𝜋 et 3𝜋4+2𝑛𝜋, 𝑛.

Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment interpréter la symétrie de la courbe de la fonction sinus afin de trouver toutes les solutions d’une équation. Un autre outil puissant qui peut être utilisé pour étendre le domaine de définition de la fonction sinus est le cercle unité. On rappelle qu’il s’agit d’un cercle centré en l’origine de rayon 1. Pour déterminer le sinus d'un angle quelconque 𝜃 à partir du cercle unité, on part du point de coordonnées (1;0) et on se déplace le long de la circonférence du cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à ce que l’angle formé entre ce point, l’origine et l'axe des 𝑥 positifs soit égal à 𝜃. Alors, si ce point a pour coordonnées (𝑥;𝑦), sin𝜃 est égal à la valeur de 𝑦.

On remarque que la valeur de la coordonnée 𝑦 est positive dans le premier et deuxième quadrant;donc, la valeur de sin𝜃 est également positive dans ces quadrants. Par ailleurs, étant donné que le cercle unité est symétrique par rapport à l'axe des 𝑦, on voit que sinsin𝜃=(180𝜃).

En continuant de se déplacer le long de la circonférence du cercle unité, on voit que sinsin𝜃=(360+𝜃) pour toutes les valeurs de 𝜃.

Ces résultats peuvent être généralisés comme suit.

Comment trouver les solutions d'équations simples contenant la fonction sinus

Si 𝜃=𝜃 est une solution de l’équation sin𝜃=𝑐, pour une constante 𝑐[1;1], alors une deuxième solution est donnée par 𝜃=180𝜃. Ainsi, l’ensemble de toutes les solutions de sin𝜃=𝑐 est 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=𝜋𝜃+2𝑛𝜋,𝑛.etoù

Si 𝜃 est exprimé en degrés, les solutions sont 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=180𝜃+360𝑛,𝑛.etoù

Si l'on peut être tenté de mémoriser ces formules, en pratique il est beaucoup plus efficace d’esquisser le graphique de la fonction sinus ou du cercle unité pour s'aider à déduire l’ensemble des solutions d’une équation contenant la fonction sinus. Illustrons cela dans l'exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer les solutions d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné

Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant 4𝜃1=0sin, telles que 90𝜃360.

Réponse

Pour résoudre cette équation trigonométrique simple, on commence par isoler la fonction sinus:4𝜃1=04𝜃=1𝜃=14.sinsinsin

Il faut faire attention lors de la prochaine étape de calcul. On doit prendre les racines carrées positives et négatives de 14. Donc, on obtient une paire de solutions pour sin𝜃:sinousinsinousin𝜃=14𝜃=14,𝜃=12𝜃=12.

Notons que l'on peut aussi factoriser l’expression 4𝜃1sin en (2𝜃1)(2𝜃+1)sinsin puis résoudre l’équation (2𝜃1)(2𝜃+1)=0sinsin et obtenir le même résultat.

Ensuite, pour résoudre la première équation, on rappelle les valeurs exactes de sin𝜃, 𝜃 est exprimé en degrés, comme suit:

𝜃030456090
sin𝜃01222321

Ainsi, une solution de l’équation sin𝜃=12 est 𝜃=30. Cette valeur se situe en dehors de l’intervalle 90𝜃360 donné par l'énoncé, donc on considère la symétrie du cercle unité pour trouver d’autres solutions.

On voit que la seule solution dans l’intervalle donné est 𝜃=18030=150.

Maintenant, on résout la deuxième équation à nouveau en utilisant la symétrie du cercle unité. Puisque sin𝜃=𝑦 pour tout 𝜃 et que la valeur de 𝑦 est négative dans les 3e et 4e quadrants, on ajoute des triangles rectangles à la figure.

Donc, les deux solutions suivantes sont 𝜃=180+30=210 et 𝜃=36030=330. À ce stade, on peut être tenté de trouver d’autres solutions en ajoutant des multiples entiers de 360 à ces solutions, mais cela donnerait des valeurs en dehors de l’intervalle demandé.

L’ensemble des valeurs satisfaisant 4𝜃1=0sin, avec 90𝜃360, est {150,210,330}.

Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment utiliser la symétrie du cercle unité et des informations sur les valeurs exactes pour résoudre des équations trigonométriques pour 𝜃 qui n’est pas un angle aigu. Remarquons que pour résoudre la deuxième équation sin𝜃=12, on aurait pu utiliser la fonction sinus inverse et une calculatrice pour trouver 𝜃=12=30.sin

Si on avait choisi cette méthode, on aurait alors dû considérer les régions du cercle unité où 𝜃<0 et appliquer les règles sur la symétrie et la périodicité comme d’habitude.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment utiliser la symétrie de la courbe de la fonction cosinus pour résoudre une équation trigonométrique.

Exemple 3: Résoudre une équation trigonométrique avec un angle translaté dans un intervalle donné

Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant cos(𝜃105)=12, telles que 0<𝜃<360.

Réponse

Afin de trouver les solutions d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné, on commence par trouver une solution particulière. Dans ce cas, le tableau des valeurs trigonométriques exactes va nous servir.

On redéfinit d’abord l’argument de la fonction en posant 𝛼=𝜃105 tel que coset𝛼=12𝜃=𝛼+105.

L’intervalle sur lequel nos solutions sont valides est translaté de 105 et devient alors 105<𝛼<465. Ainsi, les valeurs exactes de cos𝛼, 𝛼 est exprimé en degrés, sont les suivantes.

𝛼030456090
cos𝛼13222120

On peut voir que cos𝛼=12;en revanche, il n’y a pas de valeurs de 𝛼 dans le tableau telle que cos𝛼=12. En traçant le graphique de la fonction cosinus et les droites 𝑦=12 et 𝑦=12, on peut trouver la valeur de 𝛼 correspondante.

Le graphique présente une symétrie centrale sur l'intervalle 0𝛼180 autour du point de coordonnées (90;0), donc la première solution de l'équation cos𝛼=12 est 𝛼=18060=120.

En utilisant la symétrie axiale de la courbe, la solution suivante est 𝛼=180+60=240.

On pourrait croire que l'on obtient une autre solution telle que 𝛼=120+360=480;mais cette valeur se situe en dehors de l’intervalle 105<𝛼<465.

Ainsi, les solutions de cos𝛼=12 sont 𝛼=120 et 𝛼=240.

Puisque l'on a posé 𝜃=𝛼+105, les solutions de cos(𝜃105)=12 sont 𝜃=120+105=225𝜃=240+105=345.et

Donc, l’ensemble des solutions est {225,345}.

Notons qu’une technique alternative à la recherche de la solution particulière de cos𝛼=12 est d’utiliser la fonction cosinus inverse de sorte que 𝛼=12=120.cos

À ce stade, les étapes restantes pour trouver les autres solutions sont les mêmes.

On rappelle que l'on peut également utiliser la symétrie du cercle unité pour obtenir le même résultat. De la même façon que la coordonnée 𝑦 du point d’intersection entre une droite inclinée par rapport à l'horizontale et le cercle unité indique la valeur de sin𝜃, la coordonnée 𝑥 du même point indique la valeur de cos𝜃.

Remarquant que la valeur de la coordonnée 𝑥 est positive dans les 1er et 4e quadrants, par symétrie du cercle unité, coscos𝜃=(360𝜃).

En utilisant la symétrie du cercle unité et la périodicité de la fonction cosinus, on peut donner la forme de la solution générale aux équations contenant cette fonction.

Comment résoudre des équations simples contenant la fonction cosinus

Si 𝜃=𝜃 est solution de l’équation cos𝜃=𝑐, 𝑐[1;1], une deuxième solution est donnée par 𝜃=360𝜃. Et alors, l’ensemble de toutes les solutions de cos𝜃=𝑐 est 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=2𝜋𝜃+2𝑛𝜋,𝑛.etoù

Si 𝜃 est exprimé en degrés, les solutions sont 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=360𝜃+360𝑛,𝑛.etoù

Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment résoudre une équation trigonométrique où l’argument de la fonction trigonométrique a été transformé d’une certaine façon. Dans de tels cas, on commence par redéfinir l’argument et modifier l’intervalle sur lequel on résout, ce qui nous permet d’utiliser la symétrie des courbes trigonométriques habituelle, pour enfin résoudre les équations résultantes 𝜃. C’est, en général, une voie plus raisonnable à prendre que d’essayer d’appliquer des transformations aux courbes des fonctions trigonométriques. Ceci est résumé ci-dessous.

Comment résoudre une équation trigonométrique simple contenant un argument transformé

  1. Redéfinir l’argument de la fonction trigonométrique (par exemple, poser 𝑥=𝜃+30 ).
  2. Modifier l’intervalle auquel appartiennent les solutions utilisant le changement de variable (par exemple, 0𝜃360 entraîne 30𝑥390 ).
  3. Déterminer toutes les solutions de l’équation résultante sur ce nouvel intervalle.
  4. Convertir ces solutions dans la variable d’origine en utilisant le changement de variable (par exemple, 𝜃=𝑥30 ).

Nous allons maintenant montrer comment utiliser cette technique pour résoudre une équation contenant un angle triple.

Exemple 4: Résoudre une équation trigonométrique contenant un angle triple dans un intervalle donné

Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant sin3𝑥=1, avec 0𝑥2𝜋.

Réponse

Pour résoudre sin3𝑥=1, on commence par redéfinir l’argument. Soit 𝜃=3𝑥 de sorte que 𝑥=𝜃3, l’équation devient alors sin𝜃=1, avec 0𝜃32𝜋. Pour simplifier cet intervalle, on multiplie par 3 pour obtenir 0𝜃6𝜋.

Maintenant, on peut résoudre l’équation sin𝜃=1 sur ce nouvel intervalle. Pour un angle 𝜃 donné en radian, les valeurs exactes de la fonction sinus sont les suivantes.

𝜃0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
sin𝜃01222321

Ainsi, une solution de l’équation sin𝜃=1 est 𝜃=𝜋2. Afin de trouver d’autres solutions, on trace la courbe de 𝑦=𝜃sin sur l’intervalle 0𝜃6𝜋, en se rappelant que la fonction sinus est périodique de période 2𝜋radians.

On peut voir que les solutions sont séparées de 2𝜋radians, donc nos solutions supplémentaires sont 𝜃=5𝜋2 et 𝜃=9𝜋2.

Donc, l’ensemble des solutions de sin𝜃=1 sur l’intervalle demandé est 𝜋2,5𝜋2,9𝜋2.

Puisque 𝑥=𝜃3, on peut trouver l’ensemble des solutions de sin3𝑥=1 en divisant chacune de ces valeurs par 3. L’ensemble des solutions est alors 𝜋6,5𝜋6,3𝜋2.

Nous allons maintenant montrer comment appliquer ce processus pour résoudre des équations contenant la fonction tangente.

Exemple 5: Résoudre une équation trigonométrique contenant un angle double translaté dans un intervalle spécifique

Déterminer l’ensemble des valeurs satisfaisant tan2𝑥+𝜋5=1, avec 0𝑥2𝜋.

Réponse

Pour résoudre cette équation, on commence par redéfinir l’argument afin d’utiliser la symétrie de la fonction tangente. Soit 𝜃=2𝑥+𝜋5, alors tan𝜃=1 pour 𝜋5𝜃21𝜋5.

Ensuite, on peut utiliser le tableau des valeurs exactes et la connaissance de la périodicité de la fonction tangente pour résoudre cette nouvelle équation.

On rappelle pour 𝜃 exprimé en radians, les valeurs exactes de tan𝜃 sont les suivantes.

𝜃0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
tan𝜃013=3313Indéfini

On peut voir que tan𝜋4=1, donc utilisons cette valeur pour déterminer les solutions 𝜃, de tan𝜃=1. La courbe de 𝑦=𝜃tan est tracée sur l’intervalle 0𝜃21𝜋5 ci-dessous.

On peut voir que la courbe de la fonction tangente admet la symétrie centrale (𝑛𝜋;0), 𝑛. Ainsi, la première solution de tan𝜃=1 est 𝜃=𝜋𝜋4=3𝜋4. De même, comme la fonction est périodique de période 𝜋radians, les solutions restantes sont trouvées en additionnant des multiples de 𝜋 à cette valeur:𝜃=3𝜋4+𝜋=7𝜋4,𝜃=3𝜋4+2𝜋=11𝜋4,𝜃=3𝜋4+3𝜋=15𝜋4.

On a maintenant quatre solutions pour tan𝜃=1 sur l’intervalle demandé. Puisque l'on a défini 𝜃=2𝑥+𝜋5, on peut trouver la valeur de 𝑥 en posant 𝜃=2𝑥+𝜋5 dans chaque cas et en trouvant 𝑥. Dans le cas de la première valeur de 𝜃, cela donne 2𝑥+𝜋5=3𝜋42𝑥=11𝜋20𝑥=11𝜋40.

De la même manière, les valeurs restantes de 𝑥 sont 31𝜋40,51𝜋40 et 71𝜋40. Ainsi, l’ensemble des valeurs satisfaisant tan2𝑥+𝜋5=1, avec 0𝑥2𝜋, est 11𝜋40,31𝜋40,51𝜋40,71𝜋40.

Dans l’exemple précédent, on a considéré la périodicité de la fonction tangente. Comme pour les fonctions sinus et cosinus, on peut citer les solutions générales des équations contenant cette fonction.

Comment résoudre des équations simples contenant la fonction tangente

Si 𝜃=𝜃 est une solution de l’équation tan𝜃=𝑐, pour une constante 𝑐, l’ensemble des solutions de tan𝜃=𝑐 est 𝜃=𝜃+𝑛𝜋,𝑛.où

Si 𝜃 est exprimé en degrés, la solution est 𝜃=𝜃+180𝑛,𝑛.où

Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les fonctions trigonométriques habituellles:sinus, cosinus et tangente. Il est important de comprendre que le processus est valable pour les fonctions réciproques:cosécante, sécante et cotangente. Nous allons le démontrer dans l’exemple suivant.

Exemple 6: Déterminer la solution générale d'une équation trigonométrique réciproque

Déterminer la solution générale de l’équation sec𝜃=2.

Réponse

On rappelle que la fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus. En d’autres termes, seccos𝜃1𝜃.

Donc, l’équation sec𝜃=2 peut être réécrite comme 1𝜃=2𝜃=12=22.coscos

On sait que pour un angle 𝜃 exprimé en radians, les valeurs exactes de la fonction cosinus sont les suivantes.

𝜃0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
cos𝜃03222120

On trouve que la valeur de cos𝜋4 est 22, mais il n’y a pas de valeur pour 22. Alors, nous allons tracer la courbe de 𝑦=𝜃cos pour en déduire les solutions pertinentes.

La courbe admet la symétrie centrale sur 0𝛼180 de centre 𝜋2;0, de sorte que la première solution de cos𝜃=22 est 𝜃=𝜋𝜋4=3𝜋4.

De même, la solution suivante est donnée par 𝜃=3𝜋2𝜋4=5𝜋4.

Étant donné que la fonction cosinus est périodique de période 2𝜋radians, d’autres solutions sont obtenues en ajoutant des multiples entiers à l’une de ces solutions. Par exemple, on peut trouver une autre solution en soustrayant 2𝜋 à 5𝜋4:𝜃=5𝜋42𝜋=3𝜋4.

En d’autres termes, la solution générale de sec𝜃=2 est 3𝜋4+2𝜋𝑛,5𝜋4+2𝜋𝑛,𝑛.où

Ou encore, 3𝜋4+2𝜋𝑛,3𝜋4+2𝜋𝑛,𝑛.où

Dans cette fiche explicative, nous avons montré comment utiliser la symétrie et la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangente pour trouver toutes les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné ou sa solution générale. Nous allons maintenant récapituler les concepts clés.

Points clés

  • On peut résoudre des équations trigonométriques simples en utilisant des tableaux de valeurs exactes ou des fonctions trigonométriques inverses.
  • Pour s'aider à calculer toutes les solutions d’une équation donnée dans un intervalle donné, on peut tracer la courbe de la fonction trigonométrique en question ou utiliser le cercle unité.
  • La symétrie et la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangentes nous permettent de calculer d’autres solutions des équations trigonométriques ou les solutions générales à l'aide des multiples entiers de 360 ou 2𝜋 pour le sinus et le cosinus et 180 ou 𝜋 pour la tangente.

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