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Le graphique vitesse-temps représente les variations de vitesse d’une personne qui marche pendant un intervalle de temps compris entre 𝑡 égal zéro seconde et 𝑡 égal six secondes. Le point de départ de la personne correspond à sa position à 𝑡 égal zéro seconde. Quel est le déplacement de la personne par rapport à son point de départ après trois secondes ?
Ici, on nous donne un graphique vitesse-temps qui représente les variations de vitesse d’une personne qui marche pendant un intervalle de temps compris entre zéro et six secondes. On nous demande d’utiliser ce graphique pour déterminer le déplacement de la personne pendant les trois premières secondes de son mouvement. Nous allons d’abord nous rafraîchir la mémoire sur les graphiques vitesse-temps et voir comment ils peuvent être utilisés pour déterminer le déplacement d’un objet.
En regardant le graphique, nous pouvons voir que l’axe vertical représente le vecteur vitesse de l’objet et l’axe horizontal le temps correspondant au mouvement de l’objet. Lorsqu’un objet se déplace avec une vitesse constante, lorsqu’on représente son mouvement sur un graphique vitesse-temps, la hauteur de la droite sur l’axe des vitesses ne change pas lorsque les valeurs de temps augmentent. Un mouvement à vitesse constante est donc représenté sur un graphique vitesse-temps par une droite horizontale.
Notons que les deux premières secondes du mouvement se font à vitesse constante, de même que les deux dernières secondes. Une droite diagonale sur un graphique vitesse-temps représente un mouvement avec une accélération constante. Une pente positive indique que la vitesse augmente avec le temps et correspond donc à une accélération positive. De même, une pente négative indique une vitesse décroissante et représente donc une accélération négative. Nous pouvons voir que la personne subit une accélération négative entre deux secondes et quatre secondes.
Rappelons maintenant comment déterminer le déplacement d’un objet à partir d’un graphique vitesse-temps. Le déplacement est donné par l’aire située entre la courbe représentant le mouvement de l’objet et l’axe horizontal. Lorsqu’un graphique vitesse-temps est composé de différentes sections de mouvements, il faut calculer l’aire de chaque section séparément, puis additionner ces aires pour déterminer le déplacement total.
Pour un graphique comme celui-ci qui contient à la fois des valeurs de vitesse positives et négatives, il faut faire attention. Lorsque la vitesse est positive et que la droite est située au-dessus de l’axe horizontal, le déplacement est positif, alors que lorsque la vitesse est négative et la droite est située sous l’axe horizontal, le déplacement est négatif.
Dans la question, on nous demande de déterminer le déplacement de la personne pendant les trois premières secondes du mouvement. Nous devons donc déterminer l’aire sous la courbe entre zéro seconde et trois secondes. C’est-à-dire que nous devons déterminer l’aire de la zone colorée. Heureusement, nous pouvons voir que le mouvement sur cet intervalle de temps se fait avec une vitesse positive. Et donc nous n’avons pas à nous soucier d’un déplacement négatif.
En regardant le graphique, nous pouvons le décomposer en deux sections : une colorée en rose entre zéro et deux secondes avec une vitesse constante et une colorée en orange entre deux et trois secondes avec une accélération constante. Faisons maintenant un peu de place à l’écran pour pouvoir calculer ces deux aires.
L’aire un, c’est-à-dire l’aire sous la courbe entre zéro et deux secondes, est un rectangle. Rappelons que nous pouvons déterminer l’aire d’un rectangle en multipliant sa hauteur par sa largeur. La première zone est un rectangle de hauteur trois mètres par seconde et de largeur deux secondes. Nous avons appelé la hauteur ℎ un et la largeur 𝑤 un. Ensuite, l’aire un est égale à ℎ un multiplié par 𝑤 un, ce qui correspond à trois mètres par seconde fois deux secondes. Les secondes se simplifient avec les secondes et nous obtenons que l’aire un est égale à six mètres. Donc, pendant les deux premières secondes, la personne s’est déplacée de six mètres depuis son point de départ.
Maintenant, regardons la zone deux et nous pouvons voir qu’il s’agit d’un triangle rectangle. Rappelons que l’aire d’un triangle est égale à un demi multiplié par la base multipliée par la hauteur. Nous pouvons voir que la zone deux a une hauteur de trois mètres par seconde et une base de trois secondes moins deux secondes, soit une seconde. Nous avons appelé la hauteur ℎ deux et la base 𝑏 deux. Ensuite, l’aire deux est égale à un demi multiplié par ℎ deux multiplié par 𝑏 deux, soit un demi fois trois mètres par seconde fois une seconde. Cela donne 1,5 mètres.
Donc, pendant l’intervalle compris entre deux secondes et trois secondes, la personne s’est déplacée de 1,5 mètres depuis son point de départ. Pour déterminer le déplacement total, il suffit d’additionner ces deux aires. Autrement dit, le déplacement par rapport au point de départ après trois secondes est égal à l’aire un plus l’aire deux. En remplaçant les valeurs des aires, nous avons que le déplacement est égal à six mètres plus 1,5 mètres. Ce qui donne 7,5 mètres.
Le résultat est donc que le déplacement de la personne depuis son point de départ après trois secondes est égal à 7,5 mètres.
