Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons parler de la représentation graphique de la vélocité. Représenter graphiquement la vélocité signifie représenter la vélocité d’un objet en fonction du temps. Et ceci peut être effectué pour un objet fixe ou en mouvement. Afin de comprendre comment cela fonctionne, prenons un graphique 𝑣 en fonction de 𝑡, graphique de la vélocité en fonction du temps, et considérons un objet dont le mouvement peut être tracé de cette manière sous la forme d’une droite horizontale. Même si nous n’avons pas indiqué de repères sur les axes de ce graphique pour indiquer les différentes vélocités et temps, on peut cependant déduire que quel que soit le temps, la vélocité reste la même. Elle a une valeur constante tout au long de l’axe du temps.
En revanche, nous pourrions également avoir un objet dont le mouvement peut être représenté de cette façon sur un graphique de vélocité en fonction du temps. Nous avons toujours une droite, mais maintenant l’inclinaison, ou la pente de cette droite est positive. Cela signifie que, au fil du temps, la vélocité de notre objet est croissante. Ainsi, sa vélocité à ce moment-là, disons, est inférieure à sa vélocité à ce moment-là, qui est inférieure à sa vélocité à ce moment-là, et ainsi de suite. Donc, dans ce cas, nous avons un objet dont la vélocité reste constante, tandis que, dans cet autre cas, la vélocité de l’objet est croissante. Toutefois, il existe une autre façon de représenter ce même mouvement d’objet. On peut utiliser ce qu’on appelle un graphique de déplacement en fonction du temps. Il est possible de tracer un tel graphique car, comme nous le verrons, il existe un lien entre la vélocité d’un objet et son déplacement.
Pour le moment, rappelons les définitions de ces termes. La vélocité indique la vitesse et la direction d’un objet. Par conséquent, la vélocité est un vecteur. Bien que le déplacement corresponde au changement de la position d’un objet selon une ligne droite, il est également un vecteur. Nous pouvons voir que la façon dont un objet se déplace est liée à la variation en ligne droite de la position de cet objet. La vélocité et le déplacement sont ainsi liés. Donc, si on revient au graphique de la vélocité en fonction du temps et le fait que la vélocité est constante ici, nous pouvons traduire ce mouvement d’objet en un graphique du déplacement par rapport au temps.
Tout d’abord, assurons-nous que le point de départ de nos deux droites corresponde, puis on pourra ensuite dire que si notre objet commence à se déplacer à cet instant, on peut définir que sa position à cet instant ci, est égale à zéro. Le déplacement initial d’un objet peut généralement être positif ou négatif ou nul, mais, dans ce cas, nous le choisirons comme étant égal à zéro pour simplifier. Par conséquent, nous allons placer un point sur l’axe horizontal de notre graphique de déplacement en fonction du temps.
Maintenant, nous avons remarqué que nous ne savons pas exactement quelle est cette valeur de vélocité. Mais nous voyons qu’elle est au-dessus de l’axe des abscisses. On peut donc supposer que cette vélocité est positive. Cela signifie que, avec le temps, cette vélocité positive se traduira par un déplacement positif sur notre graphique 𝐷 par rapport à 𝑡. Donc, nous pourrions dire qu’après un certain temps, la position de notre objet a augmenté vers cette valeur positive.
Puis, après une autre période de temps, sa position est arrivée ici et ainsi de suite jusqu’à ce que nous arrivions à la fin d’une courbe tracée sur notre graphique de la vélocité par rapport au temps. Lorsqu’on relie ces points, on voit à quoi ressemblera la courbe de déplacement en fonction du temps pour ce graphique particulier, de la vélocité en fonction du temps. Comme la vélocité est ici constante et positive, le déplacement par rapport au temps sera également positif, et toujours croissant.
Mais alors, qu’en est-il d’une courbe de vélocité en fonction du temps comme celle-ci, qui a déjà une pente ou un gradient non nul ? On peut également représenter ceci sur une courbe de déplacement en fonction du temps. Ici encore, le déplacement de cet objet commence à zéro. Mais alors, au lieu de croître à un rythme constant comme le déplacement précédent, dans ce cas, notre déplacement croît irrégulièrement. Et il est de plus en plus croissant avec le temps. On peut représenter cela de la façon suivante.
Au début de notre courbe de vélocité en fonction du temps, ici, la vélocité de notre objet a une valeur positive. Comme nous l’avons vu ici dans le cas d’une vélocité constante, cela indique que le déplacement de l’objet est croissant et constant. Mais au lieu d’être constante, la vélocité de cet objet est croissante à un taux constant. Et puisque la vélocité de l’objet continue de croître, le déplacement de l’objet non seulement est croissant, mais avec un taux de plus en plus élevé.
La preuve en est que l’inclinaison ou la pente de notre courbe de déplacement en fonction du temps est croissante avec le temps. C’est-à-dire que ce graphique se courbe vers le haut. Donc, un objet qui a une vélocité positive constante a un déplacement qui est positif croissant et constant. D’autre part, si la vélocité de l’objet lui-même est croissante avec un taux constant, alors le déplacement de cet objet sera également croissant. Mais il le fera à un taux de plus en plus élevé au fil du temps.
Maintenant, si on regarde à nouveau les courbes de vélocité en fonction du temps, on sait que celles-ci ne représentent pas tous les cas de graphiques possibles qui peuvent exister. Par exemple, que se passe-t-il si la vélocité d’un objet en fonction du temps ressemble à ceci ? C’est-à-dire que la vélocité de l’objet est nulle tout au long de cet intervalle. Si on réfléchit à un objet dont la vélocité est nulle, cela signifie qu’il n’est pas en mouvement. Il est stationnaire. Et cela veut dire que son déplacement ne change pas avec le temps. Si le déplacement commence à zéro, il restera à zéro. Donc, dans ce cas, nous avons une courbe de vélocité en fonction du temps et une courbe de déplacement en fonction du temps, qui sont les mêmes. Cela ne se produit que lorsque la vélocité est nulle.
À présent, si on regarde cette courbe de vélocité en fonction du temps, on voit qu’on a une vélocité constante positive. Et si on regarde celle-ci que l’on vient de tracer, on voit que la vélocité est nulle mais constante. Mais que se passe-t-il dans le cas où on aurait un graphique de vélocité en fonction du temps avec une vélocité négative constante ? Pour montrer à quoi cela ressemble, faisons de la place au milieu, ici, puis décalons les courbes de vélocité en fonction du temps sur les graphiques situés tout à droite vers ceux au milieu. On va également tracer à nouveau ces deux graphiques sur la droite afin qu’ils permettent de représenter plus facilement les valeurs négatives. Donc, comme nous l’avons dit précédemment, ce graphique ici illustre une vélocité constante positive, alors que celui-ci montre une vélocité nulle constante.
Disons que sur ce graphique, tout à droite, nous avons un objet qui se déplace avec une vélocité négative constante. Ceci est tout-à-fait possible car les vélocités sont des vecteurs et peuvent donc avoir des valeurs positives et négatives. Nous avons donc, dans ce cas, une vélocité constante et négative pour l’objet. Voici comment cela se traduit sur le graphique de déplacement en fonction du temps correspondant.
Tout d’abord, comme avant, on peut dire que notre objet commence par un déplacement de zéro. Il n’a pas encore bougé du tout, et son déplacement par rapport à son point de départ est toujours nul. Puis, la courbe de vélocité en fonction du temps nous indique que notre objet commence à se déplacer, mais selon une direction négative. Cela signifie que notre objet subira également un déplacement dans une direction négative. Au fur et à mesure que le temps passe, cette vélocité négative constante déplace l’objet de plus en plus loin dans la direction négative, jusqu’à ce que, finalement, lorsqu’il achève son mouvement, notre objet se retrouve ici. Et si on relie ces points, on observe le déplacement de l’objet par rapport à la courbe de temps.
Maintenant que nous avons ces trois couples de graphiques pour une vélocité constante positive, nulle et négative, nous pouvons faire une observation. On note que pour la courbe de déplacement en fonction du temps ici, la pente ou l’inclinaison de cette courbe est positive. Et cela correspond à une vélocité positive. De même, on note que la pente de cette courbe de déplacement en fonction du temps est nulle. Et cela correspond à une vélocité qui vaut zéro. Et enfin, que la pente de cette courbe de déplacement en fonction du temps est négative. Et cela correspond à une vélocité constante négative. Nous voyons maintenant qu’à partir d’une courbe de vélocité en fonction du temps il est possible de produire une courbe de déplacement en fonction du temps, comme nous l’avons fait ici. Mais ce processus peut également être inversé. Nous pourrions commencer par un graphique de déplacement en fonction du temps, calculer la pente de cette droite, et cela nous donnera la vélocité correspondante de notre objet. C’est une autre façon dont la vélocité et le déplacement sont liés.
En revanche, nous avons mentionné qu’il existe différents types de courbes de vélocité par rapport au temps, et jusqu’à présent, nous n’avons pas encore examiné l’une de ces courbes qui traverse l’axe des abscisses. En d’autres termes, nous n’avons pas encore examiné un graphique qui ressemble à ceci. La vélocité commence comme étant positive, puis passe par zéro, et devient négative. Un peu plus tôt, nous avons défini le terme vélocité de cette façon. Nous avons dit que la vélocité d’un objet indique la vitesse de cet objet, c’est-à-dire l’allure à laquelle il se déplace, et qu’elle indique également la direction dans laquelle l’objet se déplace. Cependant, ceci contraste avec la vitesse d’un objet. La vitesse d’un objet qualifie simplement le taux de variation de son mouvement, en d’autres termes, c’est la valeur absolue de la vélocité.
Et si on essayait de faire ça ? Et si on essayait de tracer cette courbe de vélocité en fonction du temps sur ce graphique de vitesse en fonction du temps ? Comment cette courbe serait-elle transposée, pour ainsi dire, de la vélocité à la vitesse ? Et bien, la chose importante à voir est que, alors que la vélocité indique la direction d’un objet, la vitesse ne l’indique pas. Ainsi, alors que la vélocité de l’objet étudié atteint ici des valeurs négatives, où elle est en dessous de l’axe horizontal, ceci n’est pas possible sur notre graphique de vitesse en fonction du temps. Les vitesses sont toujours positives ou nulles, mais jamais négatives. Cela s’explique par le fait que la vitesse ne renseigne pas sur la direction d’un objet. Donc, qu’un objet bouge ou ne bouge pas, sa vélocité sera toujours supérieure ou égale à zéro.
Sur notre courbe de vitesse en fonction du temps correspondante, nous commencerions à la même valeur sur la courbe de vélocité en fonction du temps. Et jusqu’à ce que nous arrivions à zéro, ces deux courbes vont être identiques. Mais ensuite, comme nous l’avons dit, comme les vitesses ne sont jamais négatives, nous ne continuerons pas à suivre la ligne 𝑣 en fonction de 𝑡. Au lieu de cela, ce qui se passe, et c’est assez intéressant, c’est que cette droite va se réfléchir sur l’axe horizontal. Ce que nous entendons par là, c’est que, pour chaque valeur du temps, la distance entre notre droite en pointillés et l’axe horizontal est égale à la distance entre notre courbe de vitesse réelle en fonction du temps et ce même axe. La courbe de vitesse en fonction du temps a une valeur positive, alors que la ligne en pointillés passe par des valeurs négatives.
Cette différence entre vitesse et vélocité découle du fait que la vélocité est une quantité vectorielle alors que la vitesse est un scalaire. La vitesse nous indique avec quelle rapidité un objet se déplace, mais pas sa direction. Et par conséquent, la vitesse est toujours positive ou nulle, tandis que la vélocité d’un objet inclut la direction et peut donc être inférieure à zéro. Toutefois, la vélocité et la vitesse ne sont pas le seul couple vecteur-scalaire que nous connaissons. Nous connaissons également le déplacement et la distance. La relation entre ces deux quantités est la suivante. Admettons que nous avons un objet qui a parcouru ce chemin, commençant ici et se terminant ici.
Pour calculer la distance parcourue par cet objet, on peut mesurer la distance au sol couverte par l’objet lors de son mouvement. Cette valeur totale est égale à la distance parcourue. En revanche, le déplacement de l’objet est égal à la distance en ligne droite qu’il parcourt du début à la fin. Et comme le déplacement est un vecteur, la direction dans laquelle l’objet se déplace est également enregistrée. Alors, que se passe-t-il si nous échangeons nos courbes de vélocité en fonction du temps et de vitesse en fonction du temps, avec les courbes de déplacement en fonction du temps, et de distance en fonction du temps ? À présent, c’est le déplacement de notre objet qui passe du positif à zéro, puis au négatif.
On peut alors se demander, quelle est la courbe de distance en fonction du temps correspondante ? Pour nous aider, on peut se représenter un scénario qui générerait cette courbe de déplacement en fonction du temps. Supposons que nous avons un point à l’origine pour ce déplacement, et que ce point à l’origine est ici, noté 𝑥. Et disons que nous considérons le mouvement dans cette direction vers la droite à partir de ce point à l’origine comme étant un mouvement positif. Cela signifie donc que le mouvement dans le sens inverse est considéré comme négatif. Ainsi, si nous avons un objet qui commence ici par rapport à l’origine, le déplacement initial de cet objet est positif, comme nous le voyons sur notre courbe de déplacement en fonction du temps.
Mais ensuite, admettons que notre objet commence à se déplacer vers cette origine pour finalement l’atteindre. Sur notre graphique, cela correspond au déplacement vers ce point où la droite traverse l’axe horizontal. Si notre objet continue son mouvement une fois passé l’origine, il bascule alors vers des valeurs de déplacement négatives. Et cela est représenté par cette partie de notre graphique. Aussi, puisque la pente de notre courbe de déplacement en fonction du temps est constante, cela signifie que la vitesse à laquelle notre objet se déplace, dans ce cas, de droite à gauche, est également constante. Mais maintenant que nous savons comment un objet doit se déplacer pour générer une courbe comme celle-ci, on cherche à traduire cette courbe en une courbe de distance par rapport au temps. On peut commencer ici où l’objet débute son mouvement.
En rappelant que la distance parcourue par un objet est comptabilisée à partir de son point de départ et lorsque l’objet commence à se déplacer, on peut reconnaître que vu que notre objet commence juste à se déplacer à partir de ce point, la distance qu’il a parcourue à cet instant initial est nulle. Ainsi, notre courbe de distance par rapport au temps commence sur l’axe horizontal, avec une distance parcourue qui est nulle. Mais ensuite, alors que notre objet se déplace, sa distance parcourue augmente régulièrement. Le fait que nous nous rapprochions de ce que nous avons appelé l’origine n’influence pas la distance, car la distance est simplement une indication de ce que nous pourrions appeler le terrain total couvert. Ainsi, notre courbe de distance par rapport au temps, lorsque notre objet se déplace vers l’origine, ressemblerait à ceci.
Comme la distance est une quantité scalaire, elle ne peut pas être négative. Et donc, nous voyons que ces valeurs sont toutes positives ou nulles. Et ainsi, alors que nos objets passant devant l’origine sont tous orientés selon ce que nous avons appelé la direction négative, bien que notre déplacement passe par des valeurs négatives, notre distance parcourue ne change pas de polarité et continue selon une direction positive. À la fin de son mouvement, notre objet a un déplacement négatif par rapport à ce que nous avons appelé le point d’origine, ici. En revanche, la distance totale parcourue est positive. C’est ainsi que les graphiques de déplacement en fonction du temps et de distance en fonction du temps diffèrent les uns des autres. On notera que, lorsque nous avons réalisé cette comparaison, il a été utile d’imaginer une situation générant la courbe qui nous a été donnée, dans ce cas, le déplacement en fonction du temps.
Résumons maintenant ce que nous avons appris sur la représentation graphique de la vélocité. Au début de cette leçon, nous avons vu que, en général, la courbe de la vélocité en fonction du temps représentant le mouvement d’un objet peut indiquer une vélocité constante comme celle-ci, ou une vélocité qui change en fonction du temps. Nous avons alors vu que pour traduire de telles courbes de vélocité en fonction du temps en courbes de déplacement en fonction du temps, une vélocité qui a une valeur positive constante génère un graphique de déplacement en fonction du temps ayant une pente positive constante. Alors qu’une vélocité ayant une valeur qui croit progressivement en fonction du temps génère un graphique de déplacement en fonction du temps ayant une pente croissante constante.
Parallèlement à cela, nous avons comparé les graphiques de la vélocité en fonction du temps avec les graphiques de la vitesse en fonction du temps. Et nous avons vu que, tandis que la vélocité est un vecteur et peut donc atteindre des valeurs négatives, la vitesse, qui est une quantité scalaire, est toujours positive ou nulle, mais jamais négative. Et enfin, de la même manière, nous avons différé le déplacement, qui est un vecteur, à la distance, qui est un scalaire. Et tout comme pour la vélocité et la vitesse, nous avons vu que si le déplacement d’un objet peut être négatif, la distance qu’il a parcourue n’est jamais négative, mais est toujours nulle ou positive. Ceci est un résumé de la représentation graphique de la vélocité.
