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Vidéo de question : Calculer la somme d’une série géométrique finie Mathématiques

Calculez la somme de la série géométrique (3/22) - (1/22) + (1/66) -... - (1/1782).

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Transcription de vidéo

Calculez la somme de la série géométrique trois sur 22 moins un sur 22 plus un sur 66 et ainsi de suite moins un sur 1782.

On nous dit qu’il s’agit d’une série géométrique. Rappelez-vous qu’une série géométrique est la somme d’un nombre donné de termes d’une suite géométrique. Et la formule que nous avons utilisée pour trouver la somme des 𝑛 premiers termes de la suite géométrique est 𝑎 indice un fois un moins 𝑟 à la puissance 𝑛 sur un moins 𝑟, où 𝑎 indice un est le premier terme de notre suite et 𝑟 est la raison. Eh bien, nous pouvons voir que 𝑎 indice un est ici trois sur 22. Mais quel est la raison de cette suite ? Eh bien, nous trouvons la raison en divisant un terme de la suite par le terme précédent. Nous pourrions, par exemple, diviser moins un sur 22 par trois sur 22. Et cela nous donne moins un tiers. Et nous aurions, bien sûr, obtenu le même résultat si nous avions divisé un sur 66 par moins un sur 22.

Et donc nous connaissons maintenant 𝑎 indice un et 𝑟. Mais nous ne savons pas combien de termes se trouvent dans notre suite. Alors, comment pouvons-nous trouver la valeur de 𝑛 ? Eh bien, rappelons que le 𝑛ième terme de la suite géométrique est donné par 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Maintenant, ici, 𝑎𝑛, le dernier terme de notre suite, est moins un sur 1782. On peut donc dire que moins un sur 1782 doit être égal à trois sur 22 fois moins un sur trois à la puissance 𝑛 moins un pour une certaine valeur de 𝑛. Et c’est ce que nous cherchons à trouver. Divisons par trois sur 22. Nous obtenons donc moins un sur 243 est égal à moins un tiers à la puissance 𝑛 moins un.

Maintenant, il y a plusieurs façons de résoudre ce problème. Mais, le plus simple est de remarquer que trois à la puissance cinq vaut 243. Et donc parce que c’est une puissance impaire, moins trois à la puissance cinq vaut moins 243. Nous pouvons également aller plus loin et dire que moins un tiers à la puissance cinq est égal à moins un sur 243. Donc, dans notre équation, 𝑛 moins un doit être égal à cinq, ce qui signifie que 𝑛 est égal à cinq plus un, soit six. Et nous devons donc trouver la somme des six premiers termes. C’est 𝑎 indice un, trois sur 22, fois un moins 𝑟 à la puissance 𝑛. Soit moins un tiers à la puissance six. Et le tout sur un moins 𝑟, c'est-à-dire un moins moins un tiers. Et cela nous donne 91 sur 891.

Et nous trouvons donc que la somme des six premiers termes de la suite géométrique de premier terme trois sur 22 et de raison moins un tiers est 91 sur 891. Maintenant, il y a un moyen de vérifier une partie du travail que nous avons effectué. Nous avons trouvé 𝑛 égale six. Et il pourrait en effet être judicieux de vérifier que le sixième terme de notre suite géométrique est bien moins un sur 1782. Eh bien, pour revenir à la formule du 𝑛ième terme, nous voyons que le sixième terme est trois sur 22 multiplié par moins un tiers à la puissance six moins un. Cela nous donne effectivement moins un sur 1782.

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