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Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que deux sinus 𝐴 égale trois sinus 𝐵 égale quatre sinus 𝐶, de périmètre 169 centimètres. Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑐 en donnant la réponse au centimètre près.
Nous connaissons les relations entre sinus 𝐴, sinus 𝐵 et sinus 𝐶. Remarquez que ces égalités ressemblent un peu à la loi des sinus. En comparant cela à la loi des sinus dans sa forme générale, on voit que les coefficients de sinus 𝐴, sinus 𝐵 et sinus 𝐶 sont des fractions.
Pour que nos égalités ressemblent à cela, il faut les diviser par un multiple commun à deux, trois et quatre. Le plus petit commun multiple de ces trois nombres est 12. Commençons donc par diviser ces équations par 12. Nous obtenons deux sinus 𝐴 sur 12 égale trois sinus 𝐵 sur 12, égale quatre sinus 𝐶 sur 12.
Simplifions chacune de ces fractions. Divisons la première fraction par le diviseur commun deux. Cela nous donne sinus 𝐴 sur six. Puis divisons la deuxième fraction par le diviseur commun trois. Cela donne sinus 𝐵 sur quatre. Enfin, diviser la troisième fraction par le diviseur commun quatre nous donne sinus 𝐶 sur trois.
Ainsi, sinus 𝐴 sur six est égal à sinus 𝐵 sur quatre, ce qui est égal à sinus 𝐶 sur trois. Les dénominateurs de ces fractions correspondent aux longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule de la loi des sinus. Par conséquent, le rapport des longueurs des côtés du triangle 𝑎 sur 𝑏 sur 𝑐 s’écrit six sur quatre sur trois.
Or, le périmètre de ce triangle mesure 169 centimètres, le périmètre étant la somme des longueurs des côtés du triangle. Pour calculer chaque côté du triangle, il faut partager 169 centimètres en un ratio de six sur quatre sur trois. Six plus quatre plus trois égale 13. Il y a au total 13 parts.
Le côté 𝑎 représente six de ces parts. Le côté 𝑎 mesure six treizièmes du périmètre. Soit six treizièmes de 169. Six treizièmes de 169 valent 78. Donc 𝑎 mesure 78 centimètres. Le côté 𝑐 vaut trois de ces 13 parts. Il mesure trois treizièmes du périmètre. Trois treizièmes de 169 valent 39. Donc 𝑐 mesure 39 centimètres.
Vérifions notre réponse en calculant la longueur de 𝑏, qui vaut quatre treizièmes du périmètre. Quatre treizièmes de 169 valent 52. Donc 𝑏 mesure 52 centimètres. En additionnant ces trois longueurs, on obtient 169, qui est le périmètre. Cela nous indique clairement que nos calculs sont corrects.
Le côté 𝑎 mesure 78 centimètres, et le côté 𝑐 mesure 39 centimètres.
