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Déterminez l’ensemble solution du déterminant de la matrice 𝑥, zéro, zéro, moins un, moins cinq 𝑥, zéro, deux, un, 𝑥 égale moins 80𝑥.
Afin de trouver l’ensemble de solutions, nous devons commencer par évaluer le déterminant de cette matrice trois trois. Si nous regardons attentivement, nous pourrions remarquer que tous les éléments au-dessus de la diagonale principale de cette matrice sont nuls. Cela signifie qu’il s’agit d’une matrice triangulaire. Puisqu’il s’agit d’une matrice triangulaire, cela nous fera gagner du temps dans le calcul du déterminant. Plus précisément, le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des coefficients sur la diagonale principale.
Dans ce cas, le déterminant de notre matrice est le produit des éléments 𝑥, moins cinq 𝑥 et 𝑥, ce qui donne moins cinq 𝑥 au cube. Nous pouvons donc réécrire notre équation initiale en remplaçant le déterminant de la matrice par l’expression moins cinq 𝑥 au cube. Nous obtenons moins cinq 𝑥 au cube égale moins 80 𝑥. Rappelez-vous, pour résoudre ce problème, nous ne pouvons pas simplement diviser par 𝑥 puisque nous ne savons pas si 𝑥 est égal à zéro. Au lieu de cela, nous allons ajouter 80𝑥 aux deux côtés et ensuite factoriser l’expression résultante. En factorisant le côté gauche, nous obtenons moins cinq 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 16 et le tout est égal à zéro. En fait, nous pouvons factoriser davantage l’expression 𝑥 au carré moins 16 en utilisant l’identité remarquable de la différence de deux carrés. Cela nous donne 𝑥 moins quatre fois 𝑥 plus quatre.
Ainsi, pour que le produit de ces trois expressions soit nul, nous savons qu’au moins une des expressions elle-même doit être nulle. Autrement dit, moins cinq 𝑥 est égal à zéro ou 𝑥 moins quatre est égal à zéro ou 𝑥 plus quatre est égal à zéro. Ensuite, en résolvant chaque équation pour 𝑥, nous constatons qu’il existe trois solutions à notre équation d’origine. Elles sont 𝑥 est égal à zéro, 𝑥 est égal à quatre et 𝑥 est égal à moins quatre.
Puisqu’on nous demande de trouver l’ensemble solution, nous allons l’écrire en notation ensembliste. Il s’agit de l’ensemble contenant les éléments zéro, quatre et moins quatre.
