Fiche explicative de la leçon: Déterminants d’ordre trois

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à évaluer déterminants utilisant l’expansion de cofacteur (l’expansion de Laplace) ou la règle de Sarrus.

Rappelons d’abord la définition d’un déterminant d’une matrice .

Définition : Déterminant d’une matrice 2 × 2

Soit une matrice définie par :

Le déterminant de (noté ou ) est :

Par rapport au cas , le calcul des déterminants de matrices est beaucoup plus compliqué. Il n’y a, en effet, pas de manière évidente d’étendre naturellement la définition ci-dessus à une matrice plus grande. Il se trouve que les deux cas sont tout de même liés l’un à l’autre. Comme nous le verrons dans la première des deux méthodes que nous allons explorer, le déterminant d’une matrice peut être calculé à partir de plusieurs déterminants de matrices , que nous savons déjà calculer. Afin de bien pouvoir expliquer cette première méthode, nous devons d’abord introduire un nouvel objet appelé mineurs.

Définition : Mineurs

Soit une matrice de dimension . Le mineur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue après le retrait de la ligne et de la colonne de .

Bien que cette définition s’applique aux matrices carrées de toute taille, nous ne considérerons, dans cette fiche explicative, que les matrices , ce qui signifie que les mineurs que nous traiterons seront toujours des déterminants de matrices .

Il est plus facile d’illustrer ce concept par un exemple. Soit la matrice :

Supposons que nous voulions calculer le mineur de l’élément , c’est-à-dire . Calculer signifie retirer la ligne 1 et la colonne 2 de et trouver le déterminant de la matrice résultante. Nous pouvons commencer par identifier et supprimer les éléments de la matrice qui sont alignées horizontalement et verticalement avec lui. Mettons cela en évidence :

En prenant le déterminant de la matrice , on obtient

On peut faire la même chose pour chaque élément de . Par exemple, considérons le mineur de l’élément . Comme indiqué ci-dessus, nous pouvons commencer par supprimer et la ligne et la colonne auxquelles il appartient :

Ensuite, on peut prendre le déterminant de la matrice résultante, ce qui donne :

Avant d’avancer plus dans le calcul des déterminants des matrices , regardons un exemple où nous devons rechercher le mineur d’une matrice.

Exemple 1: Identifier le mineur d’une matrice

Soit

Identifiez le déterminant dont la valeur est égale au mineur de l’élément .

Réponse

Rappelons que si est une matrice , le mineur de l’élément est le déterminant de la matrice obtenue après élimination de la ligne et de la colonne de la matrice .

Ici, comme est une matrice , le mineur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue après élimination de la ligne 2 et de la colonne 3 de . Extrayons cette matrice réduite en mettant d’abord en évidence l’élément et les lignes et colonnes correspondantes dans lesquelles il se trouve, puis en les retirant de la matrice :

Maintenant que nous avons notre matrice , on peut calculer le mineur de en calculant son déterminant. Notez que nous n’avons pas besoin de le calculer ici car on nous a seulement demandé d’écrire le déterminant.

Ainsi, le mineur de est .

La prochaine étape dans le calcul du déterminant d’une matrice par la méthode des cofacteurs est le calcul des cofacteurs de la matrice. Définissons d’abord ce que sont ces cofacteurs.

Définition : Cofacteurs

Soit une matrice . Le cofacteur de l’élément (noté ) est où est le mineur de l’élément .

Comme nous pouvons le voir, dans la définition ci-dessus, les cofacteurs peuvent être obtenus à partir des mineurs en les multipliant par , soit, en d’autres termes, 1 ou , en fonction de l’indice de . Pour illustrer cela, reprenons la matrice que nous avons utilisée précédemment pour le calcul des mineurs :

Rappelons que nous avons trouvé et . En utilisant la définition ci-dessus, nous pouvons calculer les cofacteurs et en utilisant ces mineurs. Nous avons

Ainsi, dans le cas de , puisque , on prend le signe opposé. Pour , nous avons

Ici, comme , nous avons .

Comme nous pouvons le voir, la seule difficulté à laquelle nous pouvons être confronté, lors du calcul des cofacteurs, une fois que nous avons déterminé les mineurs, est de déterminer le signe. Une façon de le faire est de vérifier si est impair ou pair. En effet :

À part calculer directement, on peut aussi se référer à la matrice suivante, qui montre comment les signes des cofacteurs alternent comme sur un échiquier :

Par exemple, la position de cette matrice nous montre que le cofacteur de l’élément aura un facteur de par rapport à son mineur.

Après avoir défini les mineurs et les cofacteurs, nous sommes maintenant en mesure de définir une formule pour calculer le déterminant d’une matrice .

Définition : Déterminant d’une matrice 3 × 3 (développement par les cofacteurs)

Soit une matrice . Pour tout ou 3, le déterminant de est où chaque est le cofacteur de l’élément . C’est ce qu’on appelle le développement par les cofacteurs (ou développement de Laplace) le long de la ligne . De même, pour tout ou 3, nous avons Ceci est le développement par les cofacteurs le long de la colonne .

Il peut être utile d’écrire les formules ci-dessus en utilisant les mineurs plutôt que les cofacteurs. Ainsi, le développement par les cofacteurs le long de la ligne 1 est égal à où nous avons substitué , , et . On peut aussi écrire cela directement :

Plutôt que de calculer les cofacteurs à chaque fois, il est généralement plus rapide de trouver les mineurs et d’alterner les signes au fur et à mesure.

La meilleure façon d’illustrer ce processus est de prendre un exemple.

Exemple 2: Calcul du déterminant d’une matrice 3 × 3 par le développement de Laplace

Déterminez la valeur de

Réponse

Soit la matrice . Pour calculer le déterminant d’une matrice , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.

Dans certaines situations, il peut être utile de choisir une ligne ou une colonne particulière pour que le développement par les cofacteurs de cette ligne soit le plus simple à calculer. Cependant, comme nous n’avons aucun moyen d’identifier de tels cas pour le moment, nous choisirons simplement la première ligne de la matrice. Maintenant, nous pouvons trouver une formule pour le déterminant en fonction des mineurs en les multipliant par 1 ou par , en fonction des signes correspondants dans la matrice suivante :

Comme nous nous intéressons à la première rangée, nous utiliserons les signes , puis . On obtient ainsi la formule suivante pour le déterminant : où nous avons utilisé le fait que , et .

Pour calculer cela, commençons par calculer , et . Nous pouvons trouver chaque mineur en supprimant la ligne et la colonne contenant l’élément correspondant et en prenant le déterminant du résultat. Comme on s’intéresse à la première ligne, mettons la en évidence :

Pour chaque élément de la ligne on a :

En utilisant ces matrices, nous pouvons maintenant écrire explicitement la formule du déterminant :

Déterminons tour à tour les déterminants de chacune de ces matrices. Le premier est

Le second est

Enfin, le troisième est

Au final, nous avons

Après avoir vu comment calculer le déterminant d’une matrice en utilisant le développement par les cofacteurs, il est important de réaliser que cette méthode fonctionne parce que les cofacteurs d’une matrice sont les déterminants de matrices que nous savons calculer. Bien que nous ne le ferons pas dans cette fiche explicative, le développement par les cofacteurs peut aussi être appliqué à des matrices de dimensions plus grandes que . Ainsi, les cofacteurs d’une matrice seront les déterminants de matrices , que nous pouvons ensuite calculer en utilisant le développement par les cofacteurs de manière récursive. De même, on peut réduire le déterminant d’une matrice en déterminants de matrices que nous pouvons trouver en utilisant la méthode ci-dessus, et ainsi de suite.

L’un des principaux problèmes du développement par les cofacteurs est qu’il est assez compliqué, même si cela devient plus facile avec la pratique. Une autre façon d’obtenir le même résultat est d’utiliser la règle de Sarrus, que nous allons voir maintenant.

Comment : Calculer des déterminants de matrices 3 × 3 avec la règle de Sarrus

Soit une matrice :

Pour calculer , nous pouvons faire comme suit.

On commence par recopier les première et deuxième colonnes de à droite de .
Ensuite, on met en évidence les diagonales comme indiqué ci-dessous. Pour chaque diagonale, on prend les produits des éléments et on les additionne :
Maintenant, on met en évidence les diagonales dans la direction opposée comme indiqué ci-dessous. Pour chaque diagonale, on ajoute les opposés des produits des éléments :
Enfin, on combine les expressions des étapes 2 et 3 pour obtenir l’expression suivante du déterminant

La règle de Sarrus nous fournit un moyen de calculer le déterminant sans avoir à calculer les mineurs ou les cofacteurs. Notons, cependant, que le nombre de calculs que nous devons faire est sensiblement le même, sauf qu’il peut être plus facile de se souvenir de cette méthode. Pour démontrer cela, regardons brièvement comment fonctionne le développement par les cofacteurs le long de la ligne 1 appliqué à la même matrice. Nous avons qui est le même résultat après un léger réarrangement des termes.

Etudions un exemple où nous calculons un déterminant en utilisant la règle de Sarrus.

Exemple 3: Calculer un déterminant en utilisant la règle de Sarrus

Calculez

Réponse

Dans cette question, on nous demande de calculer le déterminant d’une matrice . Une manière de faire est d’utiliser la règle de Sarrus. Pour cela, nous commençons par réécrire la matrice en lui rajoutant les deux premières colonnes à sa droite.

Ensuite, nous mettons en évidence les trois diagonales allant de gauche à droite et prenons leurs produits que nous additionnons :

Puis, nous mettons en évidence les trois diagonales allant de droite à gauche, et nous prenons les opposés de leurs produits et les additionnons :

Le déterminant est finalement égal à la somme de ces deux résultats : .

Nous pouvons également utiliser le développement par les cofacteurs pour vérifier que la valeur obtenue est correcte. On rappelle que si on développe le long de la première ligne de la matrice, la formule du développement par les cofacteurs est où , et sont les mineurs de , et respectivement. Nous pouvons calculer les mineurs dans chaque cas en supprimant la ligne et la colonne correspondantes et en calculant le déterminant de la matrice résultante. Ce qui donne :

En utilisant les formes explicites des mineurs, le déterminant est égal à

Après avoir vu deux méthodes pour calculer le déterminant, remarquons que les deux conduisent au même résultat, il nous suffit donc d’utiliser celle avec laquelle nous sommes le plus à l’aise. Pour les deux autres exemples de cette fiche, nous étudierons des problèmes algébriques impliquant des déterminants en alternant entre les deux méthodes.

Exemple 4: Résoudre une équation impliquant un déterminant

Déterminez l’ensemble des solutions de

Réponse

Dans cette question, on nous demande de résoudre une équation en impliquant un déterminant. La chose la plus naturelle à faire est de calculer d’abord le déterminant ; effectuons cela en utilisant le développement par les cofacteurs.

Pour utiliser le développement par les cofacteurs, nous devons d’abord choisir une ligne ou une colonne à développer. Soit la matrice . Rappelons la formule pour le développement le long de la ligne : où est le cofacteur de . Notez que, comme chaque terme de l’équation a son élément de ligne correspondant comme facteur, toute ligne où les éléments sont égaux à zéro est un bon choix pour le développement. C’est pourquoi nous allons choisir la première ligne de la matrice :

Ici, nous avons , et . Étant donné que deux des éléments sont égaux à zéro, le développement suivant la ligne donnera

De plus, on a , ainsi, en fonction du mineur de on a

Par conséquent, il suffit de calculer si nous développons le long de cette ligne. On peut trouver ce mineur en retirant la ligne 1 et la colonne 1 de la matrice et en calculant le déterminant du résultat :

Ainsi, le déterminant est

Rappelons l’équation : , ce qui donne

Pour trouver l’ensemble des solutions de cette équation, nous regroupons les termes d’un côté et les factorisons :

On peut voir que cette égalité est vraie si , ou . Ainsi, l’ensemble des solutions est .

Notez que, dans l’exemple ci-dessus, nous avons grandement simplifié les calculs en utilisant une ligne de la matrice avec un seul élément non nul. Bien que cela n’entre pas dans le cadre de cette fiche, il est important de noter que le calcul des déterminants peut être simplifié si nous profitons de tels cas.

Pour notre dernier exemple, étudions un problème impliquant un déterminant en utilisant la règle de Sarrus.

Exemple 5: Calculer un déterminant impliquant plusieurs variables à l’aide d’une équation donnée

Soit le déterminant

Sachant que et que , déterminez la valeur du déterminant.

Réponse

Comme on nous demande de calculer un déterminant à plusieurs variables et que les équations données ne semblent pas immédiatement simplifier les éléments de la matrice, procédons en calculant le déterminant en utilisant la règle de Sarrus et on verra si nous obtenons une expression qui peut être simplifiée.

Pour utiliser la règle de Sarrus, commençons par écrire les première et deuxième colonnes sur le côté droit de la matrice.

Maintenant, nous prenons les produits des diagonales (comme indiqué ci-dessous) et les additionnons :

Dans la mesure où on nous a donné , cela semble déjà prometteur. Ensuite, prenons les opposés des produits des diagonales dans la direction opposée (comme indiqué ci-dessous) et additionnons les :

Comme nous connaissons la valeur de , cela se calculera également. En additionnant ces deux expressions, on obtient une expression pour le déterminant :

On peut maintenant utiliser les équations données, et , pour calculer le déterminant. Cela nous donne

Ainsi, le déterminant est .

Nous pouvons également vérifier en utilisant la méthode des cofacteurs. Rappelons que le développement le long de la première ligne de la matrice nous donne

En substituant les valeurs de la matrice dans cette formule et en calculant les déterminants, on obtient

C’est la même expression que celle que nous avons trouvé un peu plus haut. Ainsi, en utilisant l’une ou l’autre des méthodes, la valeur du déterminant est .

Résumons les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

Soit une matrice de dimension . Le mineur de l’élément (noté ) est le déterminant de la matrice obtenue en retirant la ligne et la colonne de .
En utilisant la définition des mineurs ci-dessus, le cofacteur de l’élément (noté ) est égal à
En utilisant les cofacteurs, pour tout ou 3, le déterminant de la matrice : est égal à C’est ce qu’on appelle le développement par les cofacteurs (ou développement de Laplace) le long de la ligne . De la même manière, pour tout ou 3, nous avons Ceci est le développement par les cofacteurs le long de la colonne .
Si nous développons le long de la première ligne, nous pouvons écrire ceci explicitement :
On peut également calculer le déterminant en utilisant la règle de Sarrus.
- On commence par écrire les première et deuxième colonnes de à droite de .
- Ensuite, on met en évidence les diagonales comme indiqué. Pour chaque diagonale, on prend le produits des éléments et on les additionne :
- Puis, on met en évidence les diagonales dans la direction opposée comme indiqué. Pour chaque diagonale, on prend les opposés des produits des éléments et on les additionne :
- Enfin, on fait la somme des deux résultats pour obtenir