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Vidéo de la leçon : Déterminants des matrices trois trois Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer les déterminants des matrices trois trois en utilisant les cofacteurs, la méthode de Laplace ou la règle de Sarrus.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer les déterminants des matrices trois trois en utilisant les cofacteurs, la méthode de Laplace ou la règle de Sarrus. Calculer le déterminant d’une matrice carrée est vraiment utile pour obtenir des informations sur celle-ci, comme savoir si la matrice est inversible ou non.

Commençons par un bref rappel de comment calculer le déterminant d’une matrice carrée de taille deux. Ensuite, nous allons voir comment calculer le déterminant d’une matrice carrée générale de taille 𝑛 en utilisant ce que nous savons sur le calcul du déterminant d’une matrice carrée de taille deux. Considérons cette matrice carrée de taille deux. Le déterminant de 𝐴 est désigné par des barres de chaque côté de 𝐴. C’est le même symbole qu’on utilise pour la valeur absolue. Pour une matrice carrée de taille deux, la formule du déterminant est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Rappelons que, on doit être très prudent lorsqu’on manipule les éléments négatifs d’une matrice, surtout lorsqu’on veut calculer le déterminant.

Par exemple, calculez le déterminant de la matrice cinq, un, moins cinq, cinq. Appelons cette matrice 𝐵. Ainsi, le déterminant de 𝐵 est cinq fois cinq moins un fois moins cinq. Ce qui nous donne 25 moins moins cinq. Et c’est ici que nous devons être très prudents avec les éléments négatifs puisqu’on a 25 plus cinq, qui est égal à 30. Mais rappelons que, les éléments de la matrice ne sont pas toujours des nombres. Par exemple, calculez le déterminant de la matrice 𝐶 égale 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥. En utilisant la même règle, cette matrice a pour déterminant 𝑥 au carré moins 𝑦𝑧.

Lorsqu’on considère les matrices carrées de taille trois, il existe des méthodes spécifiques pour calculer leur déterminant. Mais ici, nous allons développer une approche plus générale afin de pouvoir l’appliquer à des matrices plus grandes. La première chose que nous allons considérer pour calculer les déterminants des matrices carrées de taille trois sont les mineurs. Considérez une matrice 𝐴 d’ordre 𝑚 𝑛, alors le mineur, 𝐴 𝑖𝑗, est la matrice qu’on obtient après avoir supprimé la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice initiale 𝐴. Cela signifie que 𝐴 𝑖𝑗 est une matrice d’ordre 𝑚 moins un 𝑛 moins un. Rappelons que l’ordre d’une matrice est la taille de celle-ci, donc une matrice 𝑚 𝑛 est une matrice avec 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes. La meilleure façon de comprendre les mineurs est avec un exemple.

Considérons cette matrice 𝐴. Calculons le mineur 𝐴 deux trois. Cela signifie qu’on supprime la deuxième ligne et la troisième colonne de la matrice initiale. On peut voir que les éléments qui restent sont moins deux, trois, zéro, moins trois. Donc, voici le mineur 𝐴 deux trois. Calculons également le mineur 𝐴 trois un. Cela signifie qu’on supprime la troisième ligne et la première colonne. Et on peut voir qu’on obtient la matrice carrée de taille deux : trois, moins trois, trois, six.

Nous allons utiliser ce concept avec la définition de la forme générale du déterminant d’une matrice. Considérez une matrice carrée 𝐴 de taille 𝑛, on peut calculer le déterminant de 𝐴 de deux manières, qui impliquent toutes deux le déterminant des mineurs spécifiques de 𝐴. On peut choisir de calculer le déterminant en utilisant une ligne. On peut également choisir d’utiliser une colonne. Ceci est une importante définition du déterminant. Et cela a beaucoup plus de sens lorsqu’on voit cela dans un exemple.

Calculez le déterminant de la matrice un, deux, trois, trois, deux, deux, zéro, neuf, huit.

Appelons cette matrice, 𝐴. On peut calculer le déterminant de 𝐴 en choisissant d’abord une ligne ou une colonne. Une bonne stratégie consiste à choisir la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros. Pour cette matrice, il s’agit soit de la troisième ligne, ou de la première colonne, qui contiennent un zéro chacune. Choisissons la première colonne. Et voici la formule pour calculer le déterminant d’une matrice lorsqu’on utilise une colonne, 𝑗.

Pour cette question, lorsqu’on utilise la première colonne, 𝑗 est égal à un. Et puisque c’est une matrice carrée de taille trois, 𝑖 va de un à trois. Voici la même formule mais adaptée pour que 𝑖 aille de un à trois. Et puisqu’on utilise la première colonne, 𝑗 est égal à un. Maintenant, 𝑎 un un, 𝑎 deux un et 𝑎 trois un sont les éléments de la colonne que nous allons utiliser. Il s’agit des éléments un, trois et zéro. Et voici les déterminants des mineurs.

Rappelons qu’on obtient le mineur 𝐴 un un en supprimant la première ligne et la première colonne de la matrice initiale. Ce qui nous donne la matrice carrée de taille deux : deux, deux, neuf, huit. On calcule ensuite le déterminant de cette matrice avec la formule du déterminant d’une matrice carrée de taille deux. Et on a deux fois huit moins deux fois neuf. Qui est égal à 16 moins 18, ce qui nous donne moins deux. On peut ensuite calculer le mineur 𝐴 deux un en supprimant la deuxième ligne et la première colonne. Cela nous donne la matrice deux, trois, neuf, huit. On obtient alors que son déterminant est égal à deux fois huit moins trois fois neuf. Ce qui donne un résultat de moins 11. On fait de même pour calculer le mineur 𝐴 trois un en supprimant la troisième ligne et la première colonne de la matrice initiale. Et on obtient que son déterminant est égal à deux fois deux moins trois fois deux, ce qui est égal à moins deux.

La dernière étape consiste à calculer les valeurs moins un puissance un plus un, moins un puissance deux plus un et moins un puissance trois plus un. Et ces valeurs sont un, moins un et un. Rappelons que, moins un à une puissance paire nous donne un et moins un à une puissance impaire nous donne moins un. Introduisons maintenant les valeurs que nous avons obtenues dans cette formule. Lorsqu’on substitue ces valeurs on voit pourquoi il est utile de choisir la ligne ou la colonne qui a le plus de zéros. Puisque ce dernier terme est multiplié par zéro, tout ce terme sera égal à zéro, ce qui signifie qu’on a un terme de moins à calculer.

Lorsqu’on arrange un peu, on constate que un fois un fois moins deux nous donne moins deux et moins un fois trois fois moins 11 nous donne 33. Lorsqu’on les additionne, on obtient un résultat final de 31.

Les choses les plus importantes à noter sont la ligne ou la colonne qu’on va utiliser et évaluer attentivement chaque expression de la formule. Et nous devons toujours faire très attention aux signes négatifs. Voyons maintenant un autre exemple, bien que, cette fois, nous allons développer suivant une ligne plutôt qu’une colonne.

Calculez le déterminant de 𝐴 si 𝐴 est égal à trois, zéro, moins un, zéro, un, zéro, deux, deux, quatre.

Pour faciliter la tâche, nous allons identifier la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéro. Dans cette matrice, il s’agit de la deuxième ligne de 𝐴. Rappelons la formule générale pour calculer le déterminant d’une matrice carrée de taille 𝑛. Voici la formule. Nous savons que 𝑖 représente le numéro de la ligne et 𝑗 représente le numéro de la colonne. Eh bien, puisqu’on a trois colonnes, 𝑗 va de un à trois. Et on développe suivant la deuxième ligne, donc 𝑖 est égal à deux. Donc, voici la formule que nous allons utiliser.

Les éléments 𝑎 deux un, 𝑎 deux deux et 𝑎 deux trois sont respectivement zéro, un et zéro. Étant donné que deux de ces éléments sont zéro, on constate que ces deux termes seront zéro car ils sont les deux multipliés par zéro. Il n’y a donc qu’un seul terme à évaluer ici. Commençons par calculer le mineur 𝐴 deux deux. Il s’agit de la matrice carrée de taille deux qu’on obtient en supprimant la deuxième ligne et la deuxième colonne. Nous voyons donc que le mineur 𝐴 deux deux est égal à trois, moins un, deux, quatre. Mais ce dont nous avons besoin pour notre formule, c’est son déterminant. On calcule donc cela comme on le fait pour les déterminants d’une matrice carrée de taille deux. Et on a trois fois quatre moins moins un fois deux. Cela nous donne 12 moins moins deux, ce qui est égal à 14.

Il ne nous reste plus qu’à calculer la valeur de moins un puissance deux plus deux. Puisqu’il s’agit de moins un puissance quatre, qui est une puissance paire, cela nous donne un. Le déterminant de 𝐴 est donc égal à un fois un fois 14. Qui est bien sûr égal à 14. Donc, bien sélectionner la ligne ou la colonne qu’on utilise pour calculer le déterminant d’une matrice peut vraiment réduire la quantité d’opérations à effectuer.

Retenez que toutes les matrices ne contiennent pas des éléments numériques. Voyons cela dans un exemple.

Soit le déterminant 𝑥, 𝑧, 𝑦, 𝑦, 𝑥, 𝑧, 𝑧, 𝑦, 𝑥. Si 𝑥 au cube plus 𝑦 au cube plus 𝑧 au cube est égal à moins 73 et 𝑥𝑦𝑧 est égal à moins huit, calculez la valeur numérique du déterminant.

Rappelons qu’on peut calculer ce déterminant en choisissant une ligne ou une colonne. On choisit généralement la ligne ou la colonne avec le plus de zéros. Mais puisqu’il y a trois inconnus, 𝑥, 𝑦 et 𝑧, on peut juste choisir la première ligne. Et voici la formule générale pour calculer le déterminant d’une matrice de taille 𝑛, utilisant une ligne, 𝑖. Puisqu’on utilise une matrice carrée de taille trois, 𝑗 va de un à trois. Et puisqu’on utilise la première ligne, 𝑖 est égal à un. Voici donc la version spécifique de cette formule générale appliquée à notre question. Libérons de l’espace pour continuer.

J’ai gardé la formule que nous allons utiliser à l’écran. Appelons notre matrice, 𝐴. Les barres de chaque côté de la matrice désignent le déterminant. Commençons par évaluer les différentes composantes de notre formule. Petit 𝑎 un un, petit 𝑎 un deux et petit 𝑎 un trois sont les éléments de la ligne que nous utilisons. Donc 𝑎 un un est égal à 𝑥, 𝑎 un deux est égal à 𝑧 et 𝑎 un trois est égal à 𝑦.

Grand 𝐴 un un, grand 𝐴 un deux et grand 𝐴 un trois désignent les mineurs de la matrice. Rappelons que, on les obtient en supprimant une ligne et une colonne spécifique de la matrice initiale. Par exemple, on obtient 𝐴 un un en supprimant la première ligne et la première colonne, comme ceci. Et il nous reste la matrice carrée de taille deux 𝑥, 𝑧, 𝑦, 𝑥. On fait pareil pour 𝐴 un deux. On obtient ce mineur en supprimant la première ligne et la deuxième colonne. Cela nous laisse avec la matrice carrée de taille deux 𝑦, 𝑧, 𝑧, 𝑥. Et enfin, on obtient le mineur 𝐴 un trois en supprimant la première ligne et la troisième colonne. Cela nous laisse avec la matrice carrée de taille deux 𝑦, 𝑥, 𝑧, 𝑦.

Mais ce dont nous avons besoin pour notre formule, c’est le déterminant de chacune de ces matrices. Rappelons une méthode pour calculer le déterminant d’une matrice carrée de taille deux. Donc, le déterminant du mineur 𝐴 un un est égal à 𝑥 fois 𝑥 moins 𝑧 fois 𝑦. On peut également écrire cela comme 𝑥 au carré moins 𝑦𝑧. De même, le déterminant du mineur 𝐴 un deux est égal à 𝑦 fois 𝑥 moins 𝑧 fois 𝑧, ou simplement 𝑥𝑦 moins 𝑧 au carré. Et le déterminant du mineur 𝐴 un trois est égal à 𝑦 fois 𝑦 moins 𝑥 fois 𝑧, ce qui est équivalent à 𝑦 au carré moins 𝑥𝑧.

Il ne nous reste plus qu’à calculer les valeurs de moins un puissance un plus un, moins un puissance un plus deux et moins un puissance un plus trois. Rappelons que moins un à une puissance paire est égal à un et moins un à une puissance impaire est égal à moins un. Donc, moins un puissance un plus un est égal à moins un au carré, ce qui est égal à un. Moins un puissance un plus deux est égal à moins un au cube, qui est égal à moins un. Et enfin, moins un puissance un plus trois est égal à moins un puissance quatre, qui est égal à un.

Alors, écrivons maintenant les déterminants de cette matrice avec les composantes que nous avons calculées. À partir de là, essayons de simplifier un peu. Commençons par multiplier les parenthèses par des termes algébriques. Pour le premier, on a 𝑥 multiplié par 𝑥 au carré moins 𝑦𝑧. Donc, ce terme devient un fois 𝑥 au cube moins 𝑥𝑦𝑧. On fait ensuite la même chose avec le prochain terme. Cela nous donne moins un fois 𝑥𝑦𝑧 moins 𝑧 au cube. Et si on répète la même procédure avec le dernier terme, on obtient un fois 𝑦 au cube moins 𝑥𝑦𝑧.

Maintenant, nous avons multiplié les parenthèses contenant les termes algébriques. Multiplions chaque terme par la valeur qui se trouve devant. Le premier terme est un fois 𝑥 au cube moins 𝑥𝑦𝑧, ce qui nous donne 𝑥 au cube moins 𝑥𝑦𝑧. Le terme suivant est moins un fois 𝑥𝑦𝑧 moins 𝑧 au cube. On peut donc multiplier la deuxième parenthèse par moins un. Mais nous devons faire attention car il y a déjà un signe négatif devant 𝑧 au cube, donc cela devient positif. Nous allons donc avoir moins 𝑥𝑦𝑧 plus 𝑧 au cube. Enfin, le dernier terme est un fois 𝑦 au cube moins 𝑥𝑦𝑧. Donc, cela nous donne 𝑦 au cube moins 𝑥𝑦𝑧.

Nous pouvons maintenant simplifier cela. Nous pouvons rassembler les termes 𝑥𝑦𝑧. Lorsqu’on les rassemble, on obtient moins trois 𝑥𝑦𝑧. À partir de là, on constate qu’on a 𝑥 au cube plus 𝑧 au cube plus 𝑦 au cube. On nous dit dans la question que 𝑥 au cube plus 𝑦 au cube plus 𝑧 au cube est égal à moins 73. De plus, on a moins trois 𝑥𝑦𝑧, et on nous dit dans la question que 𝑥𝑦𝑧 est égal à moins huit. Donc, lorsqu’on substitue ces valeurs on obtient moins 73 moins trois fois moins huit, ce qui fait moins 73 plus 24. Et cela nous donne moins 49. Donc, parfois, on a affaire à des matrices qui n’ont pas de valeurs numériques, mais on peut toujours calculer le déterminant de la même manière.

Résumons maintenant les points clés de cette leçon. Pour une matrice 𝐴, le mineur 𝐴 𝑖𝑗 est la matrice qu’on obtient après avoir supprimé la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice initiale A. Et voici la formule générale pour le déterminant d’une matrice 𝐴 de taille 𝑛. On peut choisir une ligne ou une colonne. Mais il est souvent utile de choisir la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.

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