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Soit un cercle de centre 𝑀 et de rayon 13 centimètres. Une droite passe par les points 𝐵, 𝐶 et 𝐷, où 𝐶 et 𝐷 sont sur le cercle, 𝐵 est à 25 centimètres du point 𝑀 et 𝐶𝐵 est égal à 𝐶𝐷. Calculez la longueur du segment de droite 𝐶𝐷 ainsi que la distance 𝑥 du point 𝑀 à la droite. Arrondissez vos réponses au centième.
Commençons par réaliser un schéma. Nous avons un cercle de centre 𝑀. Puis, nous avons trois points 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Une droite passe par ces trois points. Seuls 𝐶 et 𝐷 sont sur le cercle. Si nous avons une droite qui ressemble à ceci, nous savons que 𝐶 et 𝐷 se trouvent sur le cercle. Nous savons que la distance de 𝐶 à 𝐷 est égale à la distance de 𝐵 à 𝐶. Pour le moment, nommons par 𝑎 minuscule la distance de 𝐶 à 𝐵 et la distance de 𝐶 à 𝐷. Nous savons qu’il y a un segment entre 𝐵 et 𝑀. Cette distance est de 25 centimètres. Nous voulons trouver la distance du point 𝑀 au segment 𝐶𝐷. On a nommé cette distance, 𝑥.
Nous avons donc maintenant que 𝑎 est égal à 𝐶𝐷, qui est égal à 𝐶𝐵 et que 𝑥 est la distance perpediculaire de 𝑀 à 𝐶𝐷. Nous essayons de trouver ces deux valeurs. Pour ce faire, rappelons que ce cercle a un rayon de 13 centimètres. Cela signifie que la distance de 𝐶 à 𝑀 est égale à la distance de 𝐷 à 𝑀. Ces deux longueurs mesurent 13 centimètres. Cela signifie que nous pouvons conclure que le triangle 𝐶𝑀𝐷 est un triangle isocèle.
Nous nommons 𝐴 le point d’intersection entre 𝐶𝐷 et sa perpendiculaire passant par 𝑀. Lorsque nous faisons cela, nous pouvons dire que le segment 𝑀𝐴 coupe le segment 𝐶𝐷 en son milieu car la hauteur d’un triangle isocèle coupe la base en son milieu. Nous avons nommé 𝑎 la distance 𝐶𝐷. Si nous avons un point au milieu de cela, alors nous pouvons dire que le segment 𝐶𝐴 est égal au segment 𝐷𝐴. Nous nommerons ces longueurs 𝑎 sur deux.
À partir de maintenant, nous devrons considérer certaines valeurs du triangle rectangle. Nous avons 𝐵𝐴𝑀, le plus grand triangle rectangle. Ce triangle a son côté le plus long, son hypoténuse, de 25 centimètres. Il a un côté de longueur 𝑥. Puis son dernier côté vaut 𝑎 plus 𝑎 sur deux, ce qui donne ce troisième côté de longueur égale à trois 𝑎 sur deux. Nous avons également un petit triangle rectangle, le triangle 𝐶𝐴𝑀. L’hypoténuse 𝐶𝑀 de ce triangle est un rayon de ce cercle et elle mesure 13 centimètres. Il partage le côté 𝐴𝑀, qui est de longueur 𝑥. Son dernier côté a pour longueur 𝑎 sur deux.
À ce stade, nous cherchons à écrire des équations qui nous permettrons de calculer 𝑥 et 𝑎. Pour ce faire, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est l’hypoténuse et 𝑎 et 𝑏 sont les deux autres côtés d’un triangle rectangle. En substituant les valeurs que nous connaissons dans le triangle 𝐵𝐴𝑀, nous obtenons 25 au carré égal 𝑥 au carré plus trois 𝑎 sur deux le tout au carré. Pour le triangle 𝐶𝐴𝑀, nous avons 13 au carré égale 𝑥 au carré plus 𝑎 sur deux le tout au carré.
Si nous mettons au carré tous les termes que nous connaissons, nous remarquons que chacune de ces équations a un terme égal à 𝑥 au carré. Nous pouvons réécrire cette première équation en soustrayant neuf 𝑎 au carré sur quatre à chaque membre de l’équation, ce qui nous donne 𝑥 au carré égal 625 moins neuf 𝑎 au carré sur quatre. Nous pouvons prendre la valeur que nous avons trouvée pour 𝑥 au carré et l’utiliser dans notre deuxième équation, qui dit maintenant que 169 est égal à 625 moins neuf 𝑎 au carré sur quatre plus 𝑎 au carré sur quatre. En regroupant les termes de même nature, moins neuf 𝑎 au carré sur quatre plus 𝑎 au carré sur quatre vaut moins huit 𝑎 au carré sur quatre. Huit sur quatre vaut deux.
Ensuite, nous soustrayons 625 aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne moins 456 égal moins deux 𝑎 au carré. En divisant les deux membres de l’équation par moins deux, nous avons 𝑎 au carré égal 228. En prenant la racine carrée de chaque membre, on obtient 𝑎 égal à 15,099 etc. L’arrondi au centième nous donne 15,10 centimètres. Bien que nous ayons pris la racine carrée, comme nous calculons la longueur, nous ne sommes intéressés que par la valeur positive de cette racine carrée pour 𝑎.
Rappelez-vous, nous avons déjà écrit une équation avec 𝑥 en fonction de 𝑎 : 𝑥 au carré est égal à 625 moins neuf 𝑎 au carré sur quatre. Lors de la résolution de 𝑥, nous voulons utiliser la valeur de 𝑎 non arrondie. Cela permet d’être précis car nous n’arrondissons que dans la dernière étape. Lorsque nous rentrons cela dans notre calculatrice, nous constatons que 𝑥 au carré est égal à 112. La racine carrée de cette valeur est 10,583 etc. Arrondi au centième, cela devient 10,58 centimètres.
Ainsi, pour résumer, la longueur de 𝐶𝐷 est celle que nous avons nommé 𝑎 sur notre schéma. Cela signifie que 𝐶𝐷 est égal à 15,10 centimètres au centième près. La distance 𝑥 au centième près vaut 10,58 centimètres.
