Vidéo de la leçon: Segments spéciaux dans un cercle Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les théorèmes de l’intersection des cordes, des sécantes ou d’une sécante et d’une tangente pour déterminer les longueurs manquantes dans un cercle.

Commençons par récapituler les noms des différentes parties d’un cercle. À ce stade, vous devez être en mesure d’identifier une corde, un rayon ou un diamètre d’un cercle. Ensuite, nous savons qu’une droite qui coupe la circonférence d’un cercle exactement une fois et est perpendiculaire à un diamètre de ce cercle s’appelle la tangente. Si la tangente a une extrémité sur la circonférence du cercle, nous l’appelons alors la demi-droite tangente. Et il est important de noter que la demi-droite tangente s’étend à l’infini dans une direction.

Ensuite, nous avons une droite sécante. Ceci est une droite qui coupe une courbe en un minimum de deux points distincts. La sécante d’un cercle coupe la circonférence exactement deux fois, tandis qu’une demi-droite sécante la coupe deux fois, mais une extrémité se trouve sur la circonférence de ce cercle. Maintenant que nous avons ces définitions, nous allons examiner quelques théorèmes qui peuvent nous aider à résoudre des problèmes impliquant des cercles.

Le premier est le théorème de l’intersection des cordes. Nous avons donc une paire de cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 qui se croisent au point 𝐸. Le théorème de l’intersection des cordes nous dit que les produits de la longueur des segments de droite sur chaque corde sont égaux. Donc dans le cas présent, 𝐴𝐸 fois 𝐸𝐵 est égal au produit de 𝐶𝐸 et 𝐸𝐷. Si nous définissons le segment 𝐴𝐸 comme mesurant 𝑎, 𝐸𝐵 mesurant 𝑏 et ainsi de suite, nous pouvons alors écrire cela comme 𝑎 fois 𝑏 égale 𝑐 fois 𝑑. Et cela est vraiment utile car nous pouvons le réorganiser pour représenter ces longueurs proportionnellement telles que 𝑎 sur 𝑐 est égal à 𝑑 sur 𝑏. Et donc l’avantage de ce théorème, est que si nous connaissons trois de ces valeurs, nous pouvons déterminer la quatrième.

Maintenant que nous avons le théorème de l’intersection des cordes, nous allons le mettre en œuvre dans un exemple pour nous aider à déterminer une longueur manquante.

Si 𝐸𝐴 sur 𝐸𝐵 est égal à huit septièmes, 𝐸𝐶 est égal à sept centimètres et 𝐸𝐷 est égal à huit centimètres, déterminez la longueur des segments de droite 𝐸𝐵 et 𝐸𝐴.

Nous avons aussi la figure d’un cercle qui a deux cordes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. Nous remarquons que ces cordes se croisent en un point. Il s’agit du point 𝐸. Cela est vraiment utile car nous pouvons utiliser le théorème de l’intersection des cordes pour lier entre elles les longueurs des segments de droite 𝐸𝐶, 𝐸𝐵, 𝐸𝐴 et 𝐸𝐷. Le théorème de l’intersection des cordes nous dit que le produit de 𝐸𝐶 et 𝐸𝐷 est égal au produit des longueurs des segments de droite 𝐸𝐵 et 𝐸𝐴. Alors dans ce cas, 𝐸𝐶 fois 𝐸𝐷 égale 𝐸𝐵 fois 𝐸𝐴.

La question nous dit que 𝐸𝐶 est égal à sept centimètres tandis que 𝐸𝐷 est égal à huit centimètres. En substituant ces valeurs dans notre formule, nous obtenons sept fois huit est égal à 𝐸𝐵 fois 𝐸𝐴 ou 56 est égal à 𝐸𝐵 fois 𝐸𝐴. A première vue, il peut sembler que nous n’avons pas assez d’informations pour répondre à cette question. Mais nous n’avons pas utilisé la relation proportionnelle entre 𝐸𝐴 et 𝐸𝐵. Autrement dit, 𝐸𝐴 sur 𝐸𝐵 est égal à huit septièmes. En multipliant les deux côtés de cette équation par 𝐸𝐵, nous constatons que 𝐸𝐴 est égal à huit septièmes de 𝐸𝐵. Alors nous pouvons remplacer 𝐸𝐴 par cette expression dans notre équation précédente.

Elle devient alors 56 est égal à 𝐸𝐵 fois huit septièmes de 𝐸𝐵 ou 56 égale huit septièmes de 𝐸𝐵 au carré. Résolvons cette équation en divisant par huit septièmes. Cela revient à la même chose que de diviser par huit puis de multiplier par sept, ce qui nous donne 49 est égal à 𝐸𝐵 au carré. La dernière étape consiste à déterminer ensuite la racine carrée positive de 49. En général, nous cherchons la racine carrée positive et négative, mais bien sûr ici nous cherchons une longueur. Nous ne sommes donc intéressés que par la valeur positive. 𝐸𝐵 est donc égal à sept ou sept centimètres.

Une fois que nous avons cette valeur, nous pouvons utiliser notre équation précédente, c’est-à-dire 𝐸𝐴 égale huit septièmes de 𝐸𝐵, pour déterminer la valeur de 𝐸𝐴. 𝐸𝐴 vaut alors huit septièmes fois sept. Bien, cela est bien sûr égal à huit ou huit centimètres. La longueur du segment de droite 𝐸𝐵 est de sept centimètres et la longueur du segment de droite 𝐸𝐴 est de huit centimètres.

Nous avons donc montré le fonctionnement du théorème de l’intersection des cordes. Nous allons maintenant présenter un deuxième théorème qui nous aidera à résoudre les problèmes de valeur manquante pour des cercles. Ce théorème dit que le produit des mesures d’un segment sécant et de son segment sécant externe est égal au produit des mesures de l’autre segment sécant et de son segment sécant externe, où les deux segments sécants doivent bien sûr se croiser. Dans notre figure, cela veut dire 𝐴𝐸 fois 𝐵𝐸 est égal à 𝐶𝐸 fois 𝐷𝐸.

En notant les longueurs des différents segments 𝑎, 𝑏 et ainsi de suite, nous pouvons également écrire ceci comme 𝑎 fois 𝑏 égale 𝑐 fois 𝑑. Et cela est utile car le théorème de l’intersection de sécantes a un cas spécifique. Nous l’appelons le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente. Si l’une ou les deux droites sont des segments tangents, alors selon notre figure ici, nous pouvons dire que 𝐴𝐵 fois 𝐵𝐸 est égal au carré de 𝐷𝐸. Donc 𝑎 fois 𝑏 égale 𝑑 au carré. Nous allons maintenant montrer comment utiliser l’un de ces théorèmes pour résoudre un problème impliquant deux droites sécantes qui se croisent en dehors du cercle.

Si 𝐸𝐶 est égal à 10 centimètres, 𝐸𝐷 est égal à six centimètres et 𝐸𝐵 est égal à cinq centimètres, déterminez la longueur du segment de droite 𝐸𝐴.

Nous avons une figure avec un cercle avec deux sécantes qui se croisent. Ce sont 𝐴𝐸 et 𝐶𝐸. Puisque nous avons affaire à une paire de segments sécants qui se croisent, nous utiliserons le théorème de l’intersection de sécantes. C’est-à-dire que le produit des mesures d’un segment sécant et de son segment sécant externe est égal au produit des mesures de l’autre segment sécant et de son segment sécant externe. Donc dans le cas de notre figure, cela signifie 𝐸𝐴 fois 𝐸𝐵 est égal à 𝐸𝐷 fois 𝐸𝐶.

On nous dit dans la question que la longueur du segment 𝐸𝐶 est de 10 centimètres, 𝐸𝐷 est de six centimètres et 𝐸𝐵 est de cinq centimètres. Remplaçons donc ces dimensions dans notre équation. Lorsque nous le faisons, nous constatons que 𝐸𝐴 fois cinq est égal à six fois dix. Ensuite, nous résolvons cette équation pour 𝐸𝐴 en divisant les deux côtés par cinq. Donc 𝐸𝐴 égale six fois dix divisé par cinq. Maintenant, nous pourrions évaluer le numérateur de cette fraction. Ou bien, nous remarquons qu’il y a un facteur commun entre dix et cinq. Nous pouvons les diviser par cinq. Cela signifie que 𝐸𝐴 est égal à six fois deux divisé par un. Et cela fait 12 ou bien 12 centimètres. La longueur du segment 𝐸𝐴 est alors de 12 centimètres.

Dans notre exemple suivant, nous montrerons comment utiliser le cas particulier du théorème de l’intersection de sécantes, c’est-à-dire le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente, où l’une des longueurs est en fait un segment tangent.

Dans la figure illustrée, le cercle a un rayon de 12 centimètres. 𝐴𝐵 est égal à 12 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 35 centimètres. Déterminez la distance entre le segment 𝐵𝐶 et le centre du cercle 𝑀 et la longueur du segment 𝐴𝐷, en arrondissant au dixième près.

Nous allons commencer par déterminer la distance entre le segment 𝐵𝐶 et le centre du cercle 𝑀. Nous pouvons rappeler que la distance la plus courte d’un point à une droite est la longueur de la perpendiculaire entre ce point et la droite. Donc nous construisons cette perpendiculaire du point 𝑀 au segment de droite 𝐵𝐶. En fait, puisque 𝑀 est le centre du cercle et 𝐵𝐶 est une corde, nous pouvons dire que cette perpendiculaire est la médiatrice de 𝐵𝐶. En définissant 𝐸 le point où cette perpendiculaire rencontre le segment de droite 𝐵𝐶, nous pouvons dire que 𝐵𝐸 est nécessairement égal à 𝐸𝐶.

Ensuite, nous allons utiliser le fait que le rayon du cercle est de 12 centimètres. Le rayon, bien sûr, est le segment de droite qui relie le point du centre du cercle à n’importe quel point de sa circonférence. Nous pouvons donc dire que 𝑀𝐵 égale 12 centimètres.

Ensuite, nous appliquons le fait que 𝐴𝐵 est égal à 12 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 35 centimètres. Puisque nous pouvons considérer le segment 𝐴𝐶 comme la somme des segments 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶, nous pouvons dire que 35 est égal à 12 plus 𝐵𝐶 et que nous pouvons déterminer la longueur de 𝐵𝐶 en soustrayant 12 des deux côtés de cette équation. 35 moins 12 égale 23. Donc 𝐵𝐶 mesure 23 centimètres de long.

Mais rappelez-vous, nous avons dit que le segment 𝑀𝐸 est la médiatrice du segment 𝐵𝐶. Donc 𝐵𝐸 est nécessairement la moitié de 𝐵𝐶, c’est-à-dire 23 divisé par deux ou 23 sur deux centimètres. Nous notons maintenant que nous avons un triangle rectangle 𝑀𝐸𝐵 pour lequel nous connaissons deux de ses côtés. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du côté 𝑀𝐸. Notons cette longueur 𝑥 ou bien 𝑥 centimètres.

En substituant ce que nous savons de ce triangle dans le théorème de Pythagore, nous constatons que 12 au carré est égal à 𝑥 au carré plus 23 sur deux au carré. Ensuite, nous isolons 𝑥 au carré en soustrayant 23 sur deux au carré des deux côtés. 12 au carré moins 23 sur deux au carré égale 47 sur quatre. Pour déterminer la longueur qui nous intéresse, 𝑥, nous allons calculer la racine carrée positive de 47 sur quatre. Et cela vaut 3,427 etc. En arrondissant au dixième le plus proche, nous constatons que cela est égal à 3,4 centimètres.

Nous passons maintenant à la deuxième partie de cette question. Celle-ci nous demande de déterminer la longueur du segment 𝐴𝐷. Nous avons observé que le segment de droite 𝐴𝐷 est en fait un segment tangent, tandis que la droite 𝐴𝐶 est un segment sécant. Cela signifie que nous pouvons utiliser une version spéciale du théorème de l’intersection de sécantes. Cela s’appelle le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente. Dans le cas de notre cercle, il nous dit que le produit des longueurs des segments de droite 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 est égal au carré de la longueur du segment de droite 𝐴𝐷.

Maintenant, on nous dit que 𝐴𝐵 égale 12 centimètres, tandis que 𝐴𝐶 égale 35. Donc 12 fois 35 est égal à 𝐴𝐷 au carré, ou 𝐴𝐷 au carré est égal à 420. Nous allons résoudre cette équation en calculant la racine carrée de 420. Cela nous donne 𝐴𝐷 égale 20,493, ce qui arrondi au dixième le plus proche vaut 20,5 centimètres. La distance entre le segment 𝐵𝐶 et le centre du cercle 𝑀 est de 3,4 centimètres et la longueur du segment 𝐴𝐷 est de 20,5 centimètres.

Dans notre exemple suivant, nous montrerons comment utiliser ces théorèmes pour établir et résoudre des équations afin de déterminer les valeurs manquantes.

Dans la figure suivante, déterminez la valeur de 𝑥.

Nous avons un cercle qui contient deux cordes. Ce sont les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. En fait, ces cordes se croisent en un point 𝐸 à l’intérieur du cercle. Nous allons donc relier les longueurs de chacun de nos segments de droite respectifs en utilisant le théorème de l’intersection des cordes. Dans le cas du cercle donné, cela nous dit que le produit de 𝐴𝐸 et 𝐸𝐵 est égal au produit de 𝐶𝐸 et 𝐸𝐷. Bien, nous voyons que 𝐴𝐸 fois 𝐸𝐵 vaut 𝑥 plus huit fois 𝑥 plus trois, tandis que 𝐶𝐸 fois 𝐸𝐷 peut s’écrire 𝑥 fois 𝑥 plus 12.

Développons toutes ces parenthèses, puis réorganisons. Le membre gauche de notre équation se développe et se simplifie en 𝑥 carré plus 11𝑥 plus 24, tandis que le membre droit se simplifie en 𝑥 carré plus 12𝑥. Nous observons ensuite que nous pouvons soustraire 𝑥 au carré des deux côtés de notre équation. Et il nous reste 11𝑥 plus 24 égale 12𝑥. Ensuite, nous soustrayons 11𝑥 des deux côtés. Sur le membre gauche, il nous reste 24, tandis qu’au membre droit, nous avons 12𝑥 moins 11𝑥, ce qui vaut simplement 𝑥. Et donc, étant donné les informations sur notre cercle, nous déduisons 𝑥 égale 24.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser le théorème de l’intersection des cordes en sens inverse.

Étant donné que 𝐸𝐴 est égal à 5,2 centimètres, 𝐸𝐶 est égal à 6 centimètres, 𝐸𝐵 est égal à 7,5 centimètres et 𝐸𝐷 est égal à 6,5 centimètres, les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 se trouvent-ils sur un cercle ?

On nous donne une figure. Alors, si ces points se trouvent sur un cercle, les segments de droite 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 doivent eux-mêmes être des cordes de ce cercle. Et donc si ces points se trouvent bien sur la circonférence du cercle, alors les segments de droite respectifs satisferont au théorème de l’intersection des cordes. Celui-ci nous dit que le produit de 𝐴𝐸 et 𝐸𝐵 est nécessairement égal au produit de 𝐷𝐸 et 𝐸𝐶.

Commençons donc par déterminer le produit de 𝐴𝐸 et 𝐸𝐵. 𝐴𝐸 ou 𝐸𝐴 est égal à 5,2 centimètres, tandis que 𝐸𝐵 est égal à 7,5 centimètres. Et donc leur produit est 5,2 fois 7,5. Et cela est égal à 39. Ensuite, nous voulons déterminer le produit de 𝐷𝐸 et 𝐸𝐶. Eh bien, 𝐸𝐶 est égal à 6 centimètres et 𝐷𝐸, qui est égal à 𝐸𝐷, est égal à 6,5 centimètres. Donc leur produit est 6,5 fois 6, ce qui fait aussi 39. Et donc nous pouvons dire, oui, les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 se trouvent nécessairement sur la circonférence d’un cercle. Nous pouvons même donner une raison et dire que puisque les segments de droite satisfont au théorème de l’intersection des cordes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont nécessairement les cordes du même cercle.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris le théorème de l’intersection des cordes. Celui-ci dit que les produits des longueurs des segments de droite de chaque corde doivent être égaux lorsque ces deux cordes se croisent. En d’autres termes, sur cette figure, 𝐴𝐸 fois 𝐸𝐵 égale 𝐶𝐸 fois 𝐸𝐷. De même, le théorème de l’intersection de sécantes dit que le produit des mesures d’un segment sécant et de son segment sécant externe est égal au produit des mesures de l’autre segment sécant et de son segment sécant externe. Dans le cas de cette figure, 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 est égal à 𝐴𝐷 fois 𝐴𝐸. Nous avons également examiné un cas particulier de ce principe appelé théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente, qui s’applique lorsque l’une ou les deux droites sont des segments tangents.