Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les théorèmes des cordes sécantes, des sécantes ou d’une tangente et d’une sécante pour déterminer les longueurs inconnues dans un cercle
On commence par rappeler le vocabulaire des différentes parties d’un cercle.
On pourra ensuite se concentrer sur certaines propriétés spécifiques. Si un segment coupe la circonférence d’un cercle exactement une fois tel qu’il est perpendiculaire au rayon en ce point et qu’il a une extrémité sur la circonférence du cercle, alors on l’appelle un segment tangent. Si un segment a une extrémité à l’extérieur du cercle, une extrémité sur le cercle et un point entre ces deux extrémités qui coupe le cercle, on l’appelle un segment sécant.
Après avoir rappelé les noms de différents segments dans un cercle et montré comment les propriétés de ces segments peuvent nous aider à résoudre des problèmes, nous étudierons deux théorèmes qui nous aideront à résoudre d’autres problèmes impliquant des cercles.
Théorème : Théorème de l’intersection de cordes
Lorsque deux cordes se coupent à l’intérieur d’un cercle, chaque corde est divisée en deux segments. On peut les appeler des segments de corde. Dans le cercle ci-dessous, ces segments sont définis par , , et .
Si la corde et la corde se coupent en un point ,
Ou,
Cela signifie que si nous connaissons trois de ces valeurs, nous pouvons calculer la quatrième. Montrons une application simple de ce théorème.
Exemple 1: Déterminer la longueur d’une corde dans un cercle
Sachant que , et , déterminez la longueur de .
Réponse
On rappelle que le théorème de l’intersection de cordes stipule que si la corde et la corde d’un même cercle se coupent en un point ,
On sait que , et , on peut donc substituer ces valeurs dans cette formule, où et , pour obtenir
Par conséquent, la longueur de est de 10 unités.
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment appliquer ce théorème lorsque nous connaissons le rapport des longueurs de deux segments de corde.
Exemple 2: Déterminer la longueur de deux segments dans un cercle en utilisant le rapport entre eux
Si , et , déterminez les longueurs de et .
Réponse
La première chose que l’on peut faire est d’indiquer les informations fournies sur le schéma.
On rappelle alors ce que l’on sait sur l’intersection de cordes :
On peut l’utiliser pour former une équation en fonction de et , où et : 
À ce stade, il semble que l’on n’ait pas assez d’informations pour résoudre le problème.
Cependant, on sait que
Donc,
On peut alors le substituer dans pour obtenir
Remarque : il n’est pas nécessaire d’inclure la racine négative de 49 car est une longueur.
On peut donc dire que
Nous allons ensuite donner deux autres théorèmes : théorème de l’intersection de sécantes et le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente.
Théorème : Théorème de l’intersection de sécantes
Pour les segments sécants et ,
Ou,
Théorème : Théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente
Il s’agit d’un cas particulier du théorème de l’intersection de sécantes et il s’applique lorsque l’un des segments est tangent.
Sur le schéma, , et . Dans le cas où un segment est sécant et l’autre est tangent,
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser l’un de ces théorèmes pour résoudre un problème impliquant deux sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle.
Exemple 3: Déterminer une longueur inconnue dans une proportion résultant de deux sécantes se rencontrant en un même point extérieur
Si , et , déterminez la longueur de .
Réponse
Lorsque l’on observe la figure, on voit que deux segments sécants se coupent à l’extérieur du cercle en un point .
On peut ajouter les dimensions fournies au schéma.
Pour trouver , on rappelle le théorème de l’intersection de sécantes : 
En l’appliquant à cette question, on peut dire que
Si on substitue maintenant les valeurs connues, on obtient
Par conséquent, la longueur de est 12 cm
Dans l’exemple suivant, nous devons utiliser des propriétés sur les sécantes et les tangentes, mais aussi sur les triangles, pour déterminer une longueur inconnue.
Exemple 4: Déterminer la longueur d’une tangente à un cercle en utilisant des triangles isocèles
Sur la figure ci-dessous, le cercle a un rayon de 12 cm, et . Déterminez la distance entre et le centre du cercle et la longueur de en arrondissant vos réponses au dixième près.
Réponse
On commence par ajouter les informations fournies au schéma.
Les deux longueurs que l’on doit trouver sont la distance perpendiculaire de au centre du cercle et .
Pour résoudre la première partie de la question, on calcule la distance entre et .
On rappelle quelques propriétés des triangles.
On connaît la longueur de car c’est un rayon du cercle, ce qui signifie que la distance entre et est également de 12 cm.
Cela donne maintenant un triangle isocèle dont on peut calculer la hauteur ; la hauteur d’un triangle isocèle est égale à la longueur de sa médiane, qui est le segment qui relie le sommet au milieu du côté opposé. Cela signifie qu’elle divise la base en deux segments de taille égale.
On peut ensuite calculer la longueur de la base de chacun des triangles rectangles :
À partir de là, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur que l’on recherche : 
Si on l’arrondit au dixième près, on obtient 3,4 cm.
On calcule ensuite la longueur de .
Comme est tangent et qu’il coupe le segment sécant au point , on a
Lorsque l’on a déterminé , on n’a conservé que le résultat positif car on recherchait une distance qui ne peut pas être négative.
Par conséquent, la distance de au centre du cercle est 3,4 cm (au dixième près).
La longueur de est 20,5 cm (au dixième près).
Nous allons maintenant résoudre un problème qui combine des manipulations algébriques avec les compétences que nous avons apprises dans cette fiche explicative.
Exemple 5: Déterminer la longueur de cordes dans un cercle en utilisant les propriétés des cordes
Sur la figure suivante, déterminez la valeur de .
Réponse
En inspectant le schéma, on voit qu’il est composé d’un cercle et de deux cordes : et . Les deux cordes se coupent en un point à l’intérieur du cercle. On doit trouver , qui est utilisé dans les expressions des longueurs des segments des deux cordes.
Par conséquent, on doit rappeler le théorème de l’intersection de cordes pour résoudre ce problème.
Si la corde et la corde se coupent en un point , alors
On peut utiliser cela pour trouver une équation de en substituant les expressions des dimensions fournies :
On peut ensuite résoudre cette équation pour déterminer la valeur de . En distribuant les parenthèses puis en réarrangeant l’équation pour placer tous les termes sur le membre gauche, on obtient
Dans le dernier exemple, nous allons déterminer si quatre points aux extrémités de deux segments sécants peuvent être des points sur un cercle en fonction de leurs distances.
Exemple 6: Comprendre le théorème de l’intersection de cordes
Sachant que , , et , les points , , et se situent-ils sur un cercle ?
Réponse
On commence par compléter le schéma avec les longueurs fournies.
Pour que ces quatre points se situent sur un cercle, ils doivent satisfaire au théorème de l’intersection de cordes.
Par conséquent, on doit rappeler le théorème de l’intersection de cordes pour résoudre ce problème.
Si la corde et la corde se coupent en un point , alors
On vérifie maintenant si les longueurs des segments du schéma vérifient cette condition : et
D’après ces calculs, on peut voir que car et sont tous les deux égaux à 39. Par conséquent, on peut dire que les points , , et sont en effet situés sur un même cercle.
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Théorème de l’intersection de cordes
- Théorème de l’intersection de sécantes
- Théorème de l’intersection d’une tangente et d’une sécante
