Transcription de la vidéo
Sélectionnez toutes les affirmations qui doivent être vraies si le vecteur 𝐮 et le vecteur 𝐯 sont des vecteurs équivalents. Option (A) le vecteur 𝐮 et le vecteur 𝐯 ont le même point initial. Option (B) le vecteur 𝐮 et le vecteur 𝐯 ont le même point final. Option (C) la norme du vecteur 𝐮 est égale à la norme du vecteur 𝐯. Option (D) le point initial du vecteur 𝐮 est le point final du vecteur 𝐯. Option (E) le point initial du vecteur 𝐯 est le point final du vecteur 𝐮.
Dans cette question, on nous donne deux vecteurs 𝐮 et 𝐯 et on nous dit que ce sont des vecteurs équivalents. On nous donne cinq déclarations possibles sur ces deux vecteurs. Nous devons sélectionner toutes les affirmations qui doivent être vraies.
Pour ce faire, rappelons d’abord exactement ce que signifie pour deux vecteurs d’être équivalents. En fait, il existe deux façons différentes de définir des vecteurs équivalents. Les deux sont utiles dans différentes situations. En fait, vous pourrez utiliser l’une et l’autre pour répondre à cette question. La première façon dont nous pourrions dire que deux vecteurs sont équivalents est s’ils ont la même norme et le même sens. Deux vecteurs quelconques équivalents doivent avoir la même norme et le même sens. De même, deux vecteurs quelconques de même norme et sens doivent être équivalents.
Cependant, il existe une deuxième façon de définir deux vecteurs équivalents, utile dans différentes situations. Nous savons que si toutes les composantes correspondantes de deux vecteurs sont égales et que ces deux vecteurs ont la même dimension, alors ces deux vecteurs sont équivalents. De même, si deux vecteurs sont équivalents, alors toutes les composantes correspondantes seront égales et ils auront la même dimension. En règle générale, la première définition est généralement plus utile lorsque nous considérons les choses graphiquement et la deuxième définition est plus utile lorsque nous avons les composantes des vecteurs. Cependant, nous pouvons utiliser les deux si nous le préférons.
En utilisant cela, nous pouvons immédiatement remarquer quelque chose d’intéressant sur l’option (C). L’option (C) dit que la norme du vecteur 𝐮 doit être égale à la norme du vecteur 𝐯. Cela fait exactement partie de la définition. Pour que deux vecteurs soient égaux, leur norme doit être égale et leur sens doit être le même. Ainsi, l’option (C) doit être vraie. En effet, le vecteur 𝐮 est égal au vecteur 𝐯, leurs normes doivent être égales.
Seulmeent, ce n’est pas tout parce que la question veut que nous choisissions toutes les affirmations qui doivent être vraies. En fait, nous verrons que les quatre affirmations restantes ne sont pas nécessairement vraies. Il sera plus facile de le montrer graphiquement. Commençons par une paire d’axe 𝑥 et 𝑦. Nous commencerons par le vecteur directeur unitaire dans la direction 𝑥 en commençant à l’origine. Nous allons noter ceci 𝐢.
Le point initial du vecteur 𝐢 dans notre diagramme est l’origine et le point final aura les coordonnées un, zéro. Maintenant, nous pouvons poser une question intéressante. Si nous avions exactement le même vecteur, cependant, cette fois, son point initial est le point zéro, un? La norme de ces deux vecteurs est la même. Ce sont deux vecteurs unitaires ; ils ont tous deux une norme de un. Nous pouvons voir sur notre diagramme que le sens de ces deux vecteurs est le même. Nous savons qu’ils pointent tous les deux dans le sens horizontal positif et pas du tout dans la direction verticale.
Ainsi, ces deux vecteurs représentent le même vecteur. Les deux sont le vecteur 𝐢. Nous allons placer quelques points sur notre diagramme. Nous allons marquer l’origine. Nous en placerons également un sur notre axe 𝑥. Maintenant, nous pouvons voir spécifiquement le point initial et le point final de ces deux vecteurs. Tout d’abord, nous pouvons voir que ces deux vecteurs n’ont pas le même point initial. Cependant, nous savons qu’ils sont égaux, donc l’option (A) ne peut pas être vraie.
Ensuite, nous pouvons également voir qu’ils n’ont pas le même point final. Cependant, nous savons que ces deux vecteurs sont égaux, donc l’option (B) ne peut pas être vraie non plus. De même, nous pouvons voir que le point initial d’un vecteur n’est pas le point final d’un autre vecteur. Ainsi, l’option (D) et l’option (E) ne sont pas toutes les deux vraies. Peu importe celui que nous avons appelé le vecteur 𝐮 et celui que nous avons appelé le vecteur 𝐯.
Cela nous amène à un point très intéressant sur les vecteurs. Il peut être très utile de penser aux vecteurs en fonction de leur point initial et de leur point final, car cela nous indique leur norme et leur sens. Cependant, si nous ne connaissons que la norme et le sens d’un vecteur, nous ne connaissons pas son point initial ni son point final. Cette raison précise indique que seule l’option (C) sera vérifiée si 𝐮 et 𝐯 sont des vecteurs équivalents.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐮 et 𝐯 sont deux vecteurs équivalents, alors de toutes les options présentées, seule l’option (C), la norme de 𝐮 étant égale à la norme de 𝐯, doit être vraie.
