Vidéo de la leçon: Scalaires, vecteurs et segments orientés Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à reconnaître, construire et exprimer des segments orientés. Nous commencerons par introduire et rappeler certains termes clés.

Un scalaire est une quantité qui est complètement décrite par une valeur. Par exemple, la longueur, le temps, la distance et la vitesse sont tous des quantités scalaires. Un segment est une partie d’une droite qui est délimitée par deux extrémités distinctes et contient chaque point appartenant à cette droite entre ses extrémités.

Nous allons maintenant considérer un segment orienté, lorsque l’une des extrémités est un point initial et que l’autre est un point final. Si 𝐴 est le point initial et 𝐵 est le point final, alors le segment orienté est écrit 𝐀𝐁 avec une demi-flèche au-dessus et peut être représenté graphiquement comme indiqué. Notez que le segment 𝐀𝐁 est différent du segment 𝐁𝐀, ce qui signifierait que 𝐵 est le point initial et 𝐴 est le point final. Nous notons que la norme, également appelée longueur, du segment orienté 𝐀𝐁 n’est que la longueur du segment 𝐀𝐁, qui est désignée par l’une des deux façons indiquées.

Notez que puisque 𝐁𝐀 appartient au même segment que 𝐀𝐁, nous pouvons conclure qu’il a la même norme. En outre, on peut dire que les segments orientés sont équivalents, ce qui est défini comme suit. Si deux segments orientés ont la même norme et le même sens, ils sont équivalents. À titre d’exemple, considérons le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. Puisque le segment orienté 𝐀𝐁 a la même norme et le même sens que 𝐃𝐂, ils sont équivalents. Il en va de même pour les segments 𝐀𝐃 et 𝐁𝐂. Prenons maintenant un exemple où nous devons appliquer l’idée de segments orientés équivalents.

Sur la figure, lequel des segments orientés suivants est équivalent à 𝐀𝐁 ? Est-ce (A) 𝐅𝐂, (B) 𝐃𝐄, (C) 𝐁𝐂, (D) 𝐆𝐂 ou (E) 𝐆𝐅 ?

Dans cette question, on nous a donné plusieurs segments orientés. Dans chaque cas, ils peuvent être identifiés par leur point initial et leur point final. Par exemple, le segment commence au point 𝐴 et va au point 𝐵 comme indiqué sur la figure. Nous rappelons qu’un segment orienté est équivalent à un autre segment s’il a la même norme, c’est-à-dire la longueur, et le même sens. Cela signifie que nous devons identifier laquelle des options a la même longueur que 𝐀𝐁 et va dans le même sens, c’est-à-dire horizontalement de gauche à droite. Considérons-les une par une.

Pour l’option (A), 𝐅𝐂 va dans le bon sens, mais sa longueur est le double de celle de 𝐀𝐁, donc elle ne peut pas être équivalente. Pour les options (B) et (E), 𝐃𝐄 et 𝐆𝐅 ont la même norme que 𝐀𝐁, et les segments sont horizontaux. Mais ils vont tous les deux dans le sens opposé, ils peuvent donc être exclus. Dans l’option (C), 𝐁𝐂 a la même norme mais le sens est complètement différent, donc elle ne peut pas être équivalente. Cependant, pour l’option (D), nous voyons que 𝐆𝐂 a bien le même sens et la même norme que 𝐀𝐁. Par conséquent, la bonne réponse est l’option (D). Le segment orienté 𝐆𝐂 est équivalent à 𝐀𝐁.

Nous allons maintenant considérer les vecteurs. Un vecteur est un objet qui a une norme et un sens. Le déplacement, la vitesse et l’accélération sont tous des exemples de quantités vectorielles. Les vecteurs peuvent être représentés graphiquement en utilisant un segment orienté. Cependant, contrairement aux segments orientés, les vecteurs n’ont pas de point de départ ou de fin unique. Le sens du segment représente le sens du vecteur. Et la longueur du segment représente la norme du vecteur. Considérons les trois vecteurs illustrés. Comme ces trois vecteurs ont la même norme et le même sens, nous pouvons dire qu’ils sont équivalents ou égaux. Des vecteurs égaux peuvent avoir des extrémités différentes.

Nous allons maintenant voir comment multiplier un vecteur par une quantité scalaire. Si nous avons un vecteur 𝐚 égal à quatre, moins deux, nous pourrions le représenter graphiquement comme un segment orienté. Un autre vecteur 𝐛 est donné comme huit, moins quatre. Les vecteurs 𝐚 et 𝐛 sont parallèles et ont le même sens. Cependant, le vecteur 𝐛 est deux fois plus grand que la norme du vecteur 𝐚. Nous pourrions dire que 𝐛 est équivalent ou égal à deux 𝐚. Notez que chacune des composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur 𝐚 est multipliée par deux pour donner celles du vecteur 𝐛. Nous pouvons multiplier n’importe quel vecteur 𝐯 par n’importe quelle quantité scalaire 𝑘 pour créer un vecteur 𝑘𝐯, qui est parallèle au vecteur 𝐯.

Considérons ce qui se passe lorsque 𝑘 est égal à moins un. Moins 𝐚 est égal à moins un multiplié par quatre, moins deux, ce qui est égal à moins un multiplié par quatre, moins un multiplié par moins deux et donc moins quatre, deux. Cela peut être vu graphiquement comme indiqué. Les deux vecteurs 𝐚 et moins 𝐚 sont parallèles et ont la même norme mais ont des sens opposés.

Tout comme pour les segments orientés, nous pouvons définir l’idée de vecteurs équivalents. Deux vecteurs sont équivalents s’ils ont la même norme et le même sens ou si toutes les composantes correspondantes sont égales et de même dimension. Nous pouvons également définir les vecteurs opposés. Deux vecteurs sont opposés s’ils ont la même norme mais un sens opposé.

Nous allons maintenant considérer un vecteur 𝐯, qui a une norme et un sens illustrés par la longueur du segment et la flèche. Nous pouvons représenter ce vecteur en fonction de la variation horizontale et verticale. Le vecteur 𝐯 a une variation horizontale de six unités et une variation verticale de moins trois unités. Le vecteur 𝐯 peut donc être écrit six, moins trois comme indiqué. Nous pouvons utiliser les coordonnées des extrémités d’un vecteur pour déterminer les composantes horizontale et verticale d’un vecteur. Pour tout point 𝐴 de coordonnées 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴.

Notez que nous utilisons la notation donnée pour représenter le vecteur entre 𝐴 et 𝐵 même si c’est techniquement un segment orienté. Cela signifie vraiment qu’il s’agit du vecteur qui peut être défini par le segment orienté 𝐀𝐁. On dit souvent qu’un vecteur a un point initial et un point final. Mais comme dans l’exemple présenté ici, nous définissons simplement un vecteur en utilisant ces points. En réalité, un vecteur peut être utilisé pour représenter un groupe de tous les segments orientés équivalents avec la même norme et le même sens. Notez que nous continuerons d’utiliser cette notation pour les vecteurs tout au long de cette vidéo, car c’est une façon très courante de les écrire.

Si nous revenons à notre exemple précédent d’hexagone et que le vecteur 𝐯 est équivalent au segment orienté 𝐀𝐁, alors ce même vecteur peut être utilisé pour représenter les segments orientés 𝐄𝐃, 𝐅𝐆 et 𝐆𝐂, car ils ont tous la même norme et le même sens. Nous pouvons définir n’importe quel vecteur 𝐯 sans définir ses points initial et final car nous avons simplement besoin d’une norme et d’un sens pour le définir. Nous allons maintenant voir un exemple où nous allons utiliser certaines des propriétés des vecteurs que nous avons considérées jusqu’à présent.

Quel vecteur a le même sens que le vecteur 𝐚 ?

Nous pouvons commencer par noter que deux vecteurs sont dans le même sens si l’un est un multiple positif de l’autre. Nous pouvons écrire tous les vecteurs sous la forme 𝑥, 𝑦, où 𝑥 représente la variation horizontale entre les coordonnées 𝑥 de ses extrémités et 𝑦 représente la variation verticale entre les coordonnées 𝑦. Le vecteur 𝐚 peut être écrit comme 𝐚 est égal à quatre, deux. Tous les vecteurs de même sens peuvent être écrits comme 𝑘 multiplié par quatre, deux, avec 𝑘 comme nombre réel positif.

En observant les trois autres vecteurs sur le quadrillage, nous avons 𝐛 est égal à un, moins un ; 𝐜 est égal à un, trois ; et 𝐝 est égal à quatre, deux. Le seul vecteur qui est dans le même sens que 𝐚 est le vecteur 𝐝. Dans ce cas, les deux vecteurs sont les mêmes, même si leurs points initial et final sont différents. Cela signifie qu’ils ont la même norme et le même sens. Bien que cela ne soit pas requis pour cette question, nous pouvons remarquer que 𝐚 et 𝐝 sont également des vecteurs égaux car ils ont la même norme et le même sens. Ainsi, nous avons identifié que le vecteur de même sens que 𝐚 est le vecteur 𝐝.

Nous allons maintenant examiner comment calculer la norme d’un vecteur avant de regarder un dernier exemple de la façon de trouver la norme d’un vecteur représenté graphiquement. Pour trouver la norme du vecteur 𝐯, écrite comme indiqué, que nous avons vu plus tôt, nous utilisons le théorème de Pythagore. Cela indique que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La norme d’un vecteur 𝑎, 𝑏 est donné par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Dans notre exemple, la norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de six au carré plus moins trois au carré. Cela se simplifie à la racine carrée de 36 plus neuf, ce qui est égal à la racine de 45, ou trois racine carrée de cinq.

Notez que pour les points initial et final 𝐴 : 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 et 𝐵 : 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵, la norme du vecteur 𝐀𝐁 est égale à la racine carrée de 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴 le tout au carré plus 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴 le tout au carré. Considérons maintenant ce dernier exemple.

Trouvez la norme du vecteur 𝐯 indiqué sur le quadrillage des carrés unités ci-dessous.

La norme d’un vecteur représenté graphiquement est la longueur du segment. Nous pouvons calculer la norme du vecteur 𝐯 en utilisant le théorème de Pythagore, qui énonce que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Nous considérons les variations horizontales et verticales entre le point initial et le point final, étant donné que les carrés du quadrillage sont de longueur unitaire. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de un au carré plus deux au carré. Cela se simplifie en racine carrée de un plus quatre, ce qui équivaut à la racine carrée de cinq. Ainsi, la norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine de cinq.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Un segment orienté est un objet avec un point initial, un point final et un sens. Un vecteur est un objet qui a une norme et un sens. Nous pouvons le représenter comme un segment orienté. Pour décrire un vecteur, nous avons besoin soit d’un point initial et d’un point final, soit de sa norme et de son sens. Un vecteur 𝐀𝐁 décrit le mouvement d’un point initial 𝐴 au point final 𝐵. Pour tout point 𝐴 de coordonnées 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴. Deux vecteurs ont le même sens si l’un est un multiple positif de l’autre.

Deux vecteurs sont équivalents s’ils ont la même norme et le même sens ou si toutes les composantes correspondantes sont égales et de même dimension. Pour un vecteur 𝐚 non nul, le vecteur opposé moins 𝐚 possède la même norme que 𝐚 mais pointe dans le sens opposé. Nous pouvons trouver la norme d’un vecteur 𝑎, 𝑏 en déterminant la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Enfin, étant données les extrémités 𝐴 : 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 et 𝐵 : 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵 de tout vecteur 𝐀𝐁, nous pouvons calculer sa norme comme la racine carrée de 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴 le tout au carré plus 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴 le tout au carré.